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11. 某市花博会在中央商务区举行,商务区附近的某花店抓住商机,从 11 月1 日开始销售 A,B 两种花束,A 种花束每束利润率是 40%,B 种花束每束利润率是 20%. 当日,A 种花束的销量是 B 种花束销量的$\dfrac{1}{2}$,这两种花束的总利润率是 30%. 11 月 2 日在 A,B 两种花束利润率保持不变的情况下,若要想当日的总利润率达到 35%,则 A 种花束的销量与 B 种花束的销量之比是
3:2
.答案
11. $3:2$ 提示:设 A 种花束进价为 $a$ 元/束,则售价为 $1.4a$ 元/束,B 种花束进价为 $b$ 元/束,则售价为 $1.2b$ 元/束. 设 11 月 1 日售出 B 种花束 $x$ 束,则售出A 种花束 $\frac{1}{2}x$ 束. 由题意,得$\frac{0.4a× \frac{1}{2}x+0.2bx}{\frac{1}{2}ax+bx}=0.3$,解得 $a=2b$. 设 11 月 2 日 A 种花束的销量为 $m$,B 种花束的销量为 $n$,则$\frac{0.4am+0.2bn}{am+bn}=0.35$. 将 $a=2b$ 代入上式,得 $m=\frac{3}{2}n$,所以 $m:n=3:2$.
解析
【分析】
这是一道利润率相关的比例求解问题，核心思路是利用总利润率=总利润÷总成本的公式逐步推导：第一步先根据11月1日给出的A、B销量关系和30%的总利润率条件，设出A、B的进价和当日销量，代入公式后消去公共的未知销量参数，得到A、B两种花束的进价之间的数量关系；第二步再设11月2日A、B的销量为m、n，代入总利润率为35%的条件，把之前得到的进价关系代入化简，最终就能求出两类花束的销量比。
【解析】
1. 设定基础参数：
设A种花束进价为$a$元/束，由A的利润率40%可得每束A的利润为$0.4a$元；
设B种花束进价为$b$元/束，由B的利润率20%可得每束B的利润为$0.2b$元。
2. 利用11月1日的条件推导进价关系：
设11月1日售出B种花束$x$束，由题意得当日A种花束销量为$\frac{1}{2}x$束，代入总利润率公式：
$\frac{0.4a · \frac{1}{2}x + 0.2b · x}{a · \frac{1}{2}x + b · x} = 0.3$
由于$x≠0$，约去$x$后化简得：
$\frac{0.2a + 0.2b}{0.5a + b} = 0.3$
交叉相乘展开：$0.2a+0.2b=0.15a+0.3b$，移项合并同类项后解得$a=2b$。
3. 求解11月2日的销量比：
设11月2日A种花束销量为$m$，B种花束销量为$n$，代入总利润率35%的条件：
$\frac{0.4a · m + 0.2b · n}{a · m + b · n} = 0.35$
将$a=2b$代入上式，由于$b≠0$，约去$b$后化简得：
$\frac{0.8m + 0.2n}{2m + n} = 0.35$
交叉相乘展开：$0.8m+0.2n=0.7m+0.35n$，移项合并同类项得$0.1m=0.15n$，即$m=\frac{3}{2}n$，因此$m:n=3:2$。
【答案】$3:2$
【知识点】
总利润率计算，辅助参数消元，比例化简
【点评】
本题没有给出具体的进价、销量数值，需要主动设置多个辅助未知数，通过已知条件逐步消去无关参数，先推导两类花束的进价关系再求解目标比例，重点考察对利润率概念的准确理解，以及设参消元的代数运算技巧，避免被多个未知量干扰思路。
【难度系数】
0.4
这是一道利润率相关的比例求解问题，核心思路是利用总利润率=总利润÷总成本的公式逐步推导：第一步先根据11月1日给出的A、B销量关系和30%的总利润率条件，设出A、B的进价和当日销量，代入公式后消去公共的未知销量参数，得到A、B两种花束的进价之间的数量关系；第二步再设11月2日A、B的销量为m、n，代入总利润率为35%的条件，把之前得到的进价关系代入化简，最终就能求出两类花束的销量比。
【解析】
1. 设定基础参数：
设A种花束进价为$a$元/束，由A的利润率40%可得每束A的利润为$0.4a$元；
设B种花束进价为$b$元/束，由B的利润率20%可得每束B的利润为$0.2b$元。
2. 利用11月1日的条件推导进价关系：
设11月1日售出B种花束$x$束，由题意得当日A种花束销量为$\frac{1}{2}x$束，代入总利润率公式：
$\frac{0.4a · \frac{1}{2}x + 0.2b · x}{a · \frac{1}{2}x + b · x} = 0.3$
由于$x≠0$，约去$x$后化简得：
$\frac{0.2a + 0.2b}{0.5a + b} = 0.3$
交叉相乘展开：$0.2a+0.2b=0.15a+0.3b$，移项合并同类项后解得$a=2b$。
3. 求解11月2日的销量比：
设11月2日A种花束销量为$m$，B种花束销量为$n$，代入总利润率35%的条件：
$\frac{0.4a · m + 0.2b · n}{a · m + b · n} = 0.35$
将$a=2b$代入上式，由于$b≠0$，约去$b$后化简得：
$\frac{0.8m + 0.2n}{2m + n} = 0.35$
交叉相乘展开：$0.8m+0.2n=0.7m+0.35n$，移项合并同类项得$0.1m=0.15n$，即$m=\frac{3}{2}n$，因此$m:n=3:2$。
【答案】$3:2$
【知识点】
总利润率计算，辅助参数消元，比例化简
【点评】
本题没有给出具体的进价、销量数值，需要主动设置多个辅助未知数，通过已知条件逐步消去无关参数，先推导两类花束的进价关系再求解目标比例，重点考察对利润率概念的准确理解，以及设参消元的代数运算技巧，避免被多个未知量干扰思路。
【难度系数】
0.4
三、解答题
12. 一辆卡车从 A 地出发匀速开往 B 地,速度为 40 km/h,卡车出发 2 h 后,一辆出租车从 B 地出发匀速开往 A 地,卡车出发 6 h,两车同时到达各自的目的地(到达目的地后两车都停止行驶).
解答下列问题:
(1) 出租车的速度为
(2) 设卡车行驶的时间为 x h,请用含 x的代数式表示两车行驶的路程之和.
(3) 当两车相距 180 km 时,求卡车行驶的时间.
12. 一辆卡车从 A 地出发匀速开往 B 地,速度为 40 km/h,卡车出发 2 h 后,一辆出租车从 B 地出发匀速开往 A 地,卡车出发 6 h,两车同时到达各自的目的地(到达目的地后两车都停止行驶).
解答下列问题:
(1) 出租车的速度为
60
km/h.(2) 设卡车行驶的时间为 x h,请用含 x的代数式表示两车行驶的路程之和.
(3) 当两车相距 180 km 时,求卡车行驶的时间.
答案
12. 解:(1) 60
(2) 出租车未出发(即 $0≤ x≤2$)时,两车行驶的路程之和为 $40x$ km;出租车出发(即 $2＜x≤6$)后,两车行驶的路程之和为 $40x+60(x-2)=(100x-120)\mathrm{km}$.
(3) 设卡车行驶的时间为 $t$ h 时,两车相距 180 km. 当出租车未出发时,有 $40t=40×6-180$,解得 $t=1.5$;当出租车出发后,易知两车相遇前,两车距离小于 180 km,若两车相遇后相距 180 km,则有 $100t-120=40×6+180$,解得 $t=5.4$. 所以当两车相距 180 km 时,卡车行驶的时间为 1.5 h 或 5.4 h.
(2) 出租车未出发(即 $0≤ x≤2$)时,两车行驶的路程之和为 $40x$ km;出租车出发(即 $2＜x≤6$)后,两车行驶的路程之和为 $40x+60(x-2)=(100x-120)\mathrm{km}$.
(3) 设卡车行驶的时间为 $t$ h 时,两车相距 180 km. 当出租车未出发时,有 $40t=40×6-180$,解得 $t=1.5$;当出租车出发后,易知两车相遇前,两车距离小于 180 km,若两车相遇后相距 180 km,则有 $100t-120=40×6+180$,解得 $t=5.4$. 所以当两车相距 180 km 时,卡车行驶的时间为 1.5 h 或 5.4 h.
解析
【分析】
这是一道典型的分段类行程应用题，我们可以按问题逻辑逐步推导：
1. 第一问先通过卡车的全程行驶时长和速度算出A、B两地总路程，再结合出租车比卡车晚出发2小时的条件，得到出租车的全程行驶时长，用总路程除以时长就能求出出租车速度。
2. 第二问要抓住出租车晚出发2小时的时间节点，分两种情况讨论：出租车未出发（0≤x≤2）、出租车已出发（2＜x≤6），分别将两车的行驶路程相加化简即可。
3. 第三问求相距180km的时间，同样要分情况分析：出租车未出发时，两车距离等于总路程减去卡车行驶路程；出租车出发后先计算相遇时间，判断相遇前是否存在相距180km的可能，再对相遇后的情况列方程求解，最后校验解的取值范围是否符合条件。
【解析】
(1) 计算A、B两地总路程：卡车全程行驶6h，速度为40km/h，因此总路程$S_{AB}=40×6=240\ \mathrm{km}$。
出租车比卡车晚出发2h，全程行驶时长为$6-2=4\ \mathrm{h}$，因此出租车速度为$240÷4=60\ \mathrm{km/h}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤2$时，出租车尚未出发，行驶路程为0，因此两车路程之和等于卡车的行驶路程，即$40x\ \mathrm{km}$；
② 当$2＜x≤6$时，出租车已出发，行驶时长为$(x-2)\ \mathrm{h}$，行驶路程为$60(x-2)\ \mathrm{km}$，因此两车路程之和为$40x+60(x-2)=(100x-120)\ \mathrm{km}$。
(3) 设卡车行驶时间为$t\ \mathrm{h}$时，两车相距180km，分情况求解：
① 出租车未出发（$0≤ t≤2$）时，两车距离 = 总路程 - 卡车行驶路程，列方程：
$240-40t=180$
解得$t=1.5$，符合$0≤ t≤2$的取值范围，为有效解。
② 出租车出发后（$2＜t≤6$）时，先求两车相遇时间：令路程和等于总路程240，即$100t-120=240$，解得$t=3.6\ \mathrm{h}$，即卡车行驶3.6h时两车相遇。
相遇前两车的最大距离出现在$t=2$时，此时两车距离为$240-40×2=160\ \mathrm{km}＜180\ \mathrm{km}$，因此相遇前不存在相距180km的情况。
相遇后两车继续向目的地行驶，两车距离等于两车路程和减去总路程，列方程：
$100t-120=240+180$
解得$t=5.4$，符合$2＜t≤6$的取值范围，为有效解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$
(2) 当$0≤ x≤2$时，两车行驶的路程之和为$40x\ \mathrm{km}$；当$2＜x≤6$时，两车行驶的路程之和为$(100x-120)\ \mathrm{km}$
(3) 卡车行驶的时间为$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{h}}$或$\boldsymbol{5.4\ \mathrm{h}}$
【知识点】
行程分段问题，一元一次方程应用，列代数式
【点评】
本题是基础的分段行程应用题，核心易错点是忽略出租车晚出发的时间节点，直接统一列表达式导致出错，第三问需要先判断相遇前的最大距离，避免出现不符合实际的增根，解题后要主动校验解的取值范围，保证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
这是一道典型的分段类行程应用题，我们可以按问题逻辑逐步推导：
1. 第一问先通过卡车的全程行驶时长和速度算出A、B两地总路程，再结合出租车比卡车晚出发2小时的条件，得到出租车的全程行驶时长，用总路程除以时长就能求出出租车速度。
2. 第二问要抓住出租车晚出发2小时的时间节点，分两种情况讨论：出租车未出发（0≤x≤2）、出租车已出发（2＜x≤6），分别将两车的行驶路程相加化简即可。
3. 第三问求相距180km的时间，同样要分情况分析：出租车未出发时，两车距离等于总路程减去卡车行驶路程；出租车出发后先计算相遇时间，判断相遇前是否存在相距180km的可能，再对相遇后的情况列方程求解，最后校验解的取值范围是否符合条件。
【解析】
(1) 计算A、B两地总路程：卡车全程行驶6h，速度为40km/h，因此总路程$S_{AB}=40×6=240\ \mathrm{km}$。
出租车比卡车晚出发2h，全程行驶时长为$6-2=4\ \mathrm{h}$，因此出租车速度为$240÷4=60\ \mathrm{km/h}$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤2$时，出租车尚未出发，行驶路程为0，因此两车路程之和等于卡车的行驶路程，即$40x\ \mathrm{km}$；
② 当$2＜x≤6$时，出租车已出发，行驶时长为$(x-2)\ \mathrm{h}$，行驶路程为$60(x-2)\ \mathrm{km}$，因此两车路程之和为$40x+60(x-2)=(100x-120)\ \mathrm{km}$。
(3) 设卡车行驶时间为$t\ \mathrm{h}$时，两车相距180km，分情况求解：
① 出租车未出发（$0≤ t≤2$）时，两车距离 = 总路程 - 卡车行驶路程，列方程：
$240-40t=180$
解得$t=1.5$，符合$0≤ t≤2$的取值范围，为有效解。
② 出租车出发后（$2＜t≤6$）时，先求两车相遇时间：令路程和等于总路程240，即$100t-120=240$，解得$t=3.6\ \mathrm{h}$，即卡车行驶3.6h时两车相遇。
相遇前两车的最大距离出现在$t=2$时，此时两车距离为$240-40×2=160\ \mathrm{km}＜180\ \mathrm{km}$，因此相遇前不存在相距180km的情况。
相遇后两车继续向目的地行驶，两车距离等于两车路程和减去总路程，列方程：
$100t-120=240+180$
解得$t=5.4$，符合$2＜t≤6$的取值范围，为有效解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{60}$
(2) 当$0≤ x≤2$时，两车行驶的路程之和为$40x\ \mathrm{km}$；当$2＜x≤6$时，两车行驶的路程之和为$(100x-120)\ \mathrm{km}$
(3) 卡车行驶的时间为$\boldsymbol{1.5\ \mathrm{h}}$或$\boldsymbol{5.4\ \mathrm{h}}$
【知识点】
行程分段问题，一元一次方程应用，列代数式
【点评】
本题是基础的分段行程应用题，核心易错点是忽略出租车晚出发的时间节点，直接统一列表达式导致出错，第三问需要先判断相遇前的最大距离，避免出现不符合实际的增根，解题后要主动校验解的取值范围，保证结果的合理性。
【难度系数】
0.6
13. 某地生产一种绿色蔬菜:若在市场上直接销售,每吨利润为 1 000 元;经粗加工后销售,每吨利润可达 4 500 元;经精加工后销售,每吨利润涨至 7 500 元.当地一家农工商公司收购这种蔬菜 140 t,该公司加工厂的生产能力是:若对蔬菜进行粗加工,则每天可加工 16 t;若进行精加工,则每天可加工 6 t.但两种加工方式不能同时进行.受季节等条件限制,公司必须在 15 天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕,为此公司制定了三种不同的方案:
方案一:将蔬菜全部进行粗加工;
方案二:尽可能对蔬菜进行精加工,没来得及加工的在市场上直接销售;
方案三:部分蔬菜精加工,其余蔬菜粗加工,并恰好 15 天完成.
你认为选择哪种方案获利多? 为什么?
方案一:将蔬菜全部进行粗加工;
方案二:尽可能对蔬菜进行精加工,没来得及加工的在市场上直接销售;
方案三:部分蔬菜精加工,其余蔬菜粗加工,并恰好 15 天完成.
你认为选择哪种方案获利多? 为什么?
答案
13. 解:方案一:$16×15=240(\mathrm{t}),240＞140$,所以该公司可以在 15 天内粗加工完,总利润为 $a_1=4\ 500×140=630\ 000$(元).
方案二:$15×6=90(\mathrm{t}),140-90=50(\mathrm{t})$,所以该公司 15 天可以精加工 90 t,其余 50 t直接销售,总利润为 $a_2=90×7\ 500+50×1\ 000=725\ 000$(元).
方案三:设 15 天中粗加工蔬菜 $x$ 天,则精加工蔬菜 $(15-x)$ 天. 根据题意,得 $16x+6(15-x)=140$,解得 $x=5$. 所以该公司粗加工 5 天,共加工蔬菜 $16×5=80(\mathrm{t})$,精加工10 天,共加工蔬菜 $6×10=60(\mathrm{t})$,总利润为$a_3=60×7\ 500+80×4\ 500=810\ 000$(元).
因为 $810\ 000＞725\ 000＞630\ 000$,所以方案三获利最多.
方案二:$15×6=90(\mathrm{t}),140-90=50(\mathrm{t})$,所以该公司 15 天可以精加工 90 t,其余 50 t直接销售,总利润为 $a_2=90×7\ 500+50×1\ 000=725\ 000$(元).
方案三:设 15 天中粗加工蔬菜 $x$ 天,则精加工蔬菜 $(15-x)$ 天. 根据题意,得 $16x+6(15-x)=140$,解得 $x=5$. 所以该公司粗加工 5 天,共加工蔬菜 $16×5=80(\mathrm{t})$,精加工10 天,共加工蔬菜 $6×10=60(\mathrm{t})$,总利润为$a_3=60×7\ 500+80×4\ 500=810\ 000$(元).
因为 $810\ 000＞725\ 000＞630\ 000$,所以方案三获利最多.
解析
【分析】
这是典型的方案决策类利润计算问题，解题思路非常清晰：先分别验证三个给定方案的可执行性，再逐个计算每个方案对应的总获利，最后对比三个总利润的数值选出最大值即可。具体思考路径：1. 方案一全粗加工：先算15天最多能粗加工的吨数，确认是否能覆盖140吨的总量，再用总吨数乘粗加工每吨利润得到总收益；2. 方案二尽可能精加工：15天全部安排精加工，算出精加工的总吨数，剩余没加工的蔬菜直接在市场售卖，两部分收益相加得到总利润；3. 方案三两部分加工刚好15天完成：设粗加工的天数为x，那么精加工天数就是15-x，根据“粗加工总吨数+精加工总吨数=140吨”的等量关系列一元一次方程，解出天数后再分别计算两类加工的吨数，对应乘各自的利润求和得到总收益，最后对比三个收益的大小就能得到结论。
【解析】
我们分别计算三个方案的总利润，再进行比较：
1. 计算方案一的利润：
已知粗加工每天可加工16t，15天最多可加工的蔬菜量为：$16×15=240(\mathrm{t})$
因为$240\mathrm{t}＞140\mathrm{t}$，说明15天内完全可以将所有140t蔬菜完成粗加工，因此总利润为：
$a_1 = 4500×140 = 630000$（元）
2. 计算方案二的利润：
已知精加工每天可加工6t，15天最多可精加工的蔬菜量为：$15×6=90(\mathrm{t})$
剩余未加工直接售卖的蔬菜量为：$140-90=50(\mathrm{t})$
因此总利润为：
$a_2 = 90×7500 + 50×1000 = 725000$（元）
3. 计算方案三的利润：
设15天中安排粗加工蔬菜$x$天，则精加工蔬菜的天数为$(15-x)$天。
根据总加工蔬菜量为140t，列方程：
$16x + 6(15 - x) = 140$
展开化简得：$10x=50$，解得$x=5$
即粗加工5天，精加工$15-5=10$天：
粗加工的蔬菜总量：$16×5=80(\mathrm{t})$
精加工的蔬菜总量：$6×10=60(\mathrm{t})$
总利润为：
$a_3 = 60×7500 + 80×4500 = 810000$（元）
对比三个方案的利润：$810000＞725000＞630000$
【答案】选择方案三获利最多，三个方案总利润分别为630000元、725000元、810000元，方案三的总利润最高。
【知识点】
一元一次方程应用，利润计算，方案决策
【点评】
本题是初中数学常见的经济类方案决策题型，难度适中，核心考点是结合实际生产约束条件计算不同方案的收益，易错点是忽略验证方案一的加工能力是否能在15天内完成全部粗加工，以及列方案三的方程时找错等量关系，解题时只要逐个拆解每个方案的加工安排，对应计算各部分收益再求和，就可以顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
这是典型的方案决策类利润计算问题，解题思路非常清晰：先分别验证三个给定方案的可执行性，再逐个计算每个方案对应的总获利，最后对比三个总利润的数值选出最大值即可。具体思考路径：1. 方案一全粗加工：先算15天最多能粗加工的吨数，确认是否能覆盖140吨的总量，再用总吨数乘粗加工每吨利润得到总收益；2. 方案二尽可能精加工：15天全部安排精加工，算出精加工的总吨数，剩余没加工的蔬菜直接在市场售卖，两部分收益相加得到总利润；3. 方案三两部分加工刚好15天完成：设粗加工的天数为x，那么精加工天数就是15-x，根据“粗加工总吨数+精加工总吨数=140吨”的等量关系列一元一次方程，解出天数后再分别计算两类加工的吨数，对应乘各自的利润求和得到总收益，最后对比三个收益的大小就能得到结论。
【解析】
我们分别计算三个方案的总利润，再进行比较：
1. 计算方案一的利润：
已知粗加工每天可加工16t，15天最多可加工的蔬菜量为：$16×15=240(\mathrm{t})$
因为$240\mathrm{t}＞140\mathrm{t}$，说明15天内完全可以将所有140t蔬菜完成粗加工，因此总利润为：
$a_1 = 4500×140 = 630000$（元）
2. 计算方案二的利润：
已知精加工每天可加工6t，15天最多可精加工的蔬菜量为：$15×6=90(\mathrm{t})$
剩余未加工直接售卖的蔬菜量为：$140-90=50(\mathrm{t})$
因此总利润为：
$a_2 = 90×7500 + 50×1000 = 725000$（元）
3. 计算方案三的利润：
设15天中安排粗加工蔬菜$x$天，则精加工蔬菜的天数为$(15-x)$天。
根据总加工蔬菜量为140t，列方程：
$16x + 6(15 - x) = 140$
展开化简得：$10x=50$，解得$x=5$
即粗加工5天，精加工$15-5=10$天：
粗加工的蔬菜总量：$16×5=80(\mathrm{t})$
精加工的蔬菜总量：$6×10=60(\mathrm{t})$
总利润为：
$a_3 = 60×7500 + 80×4500 = 810000$（元）
对比三个方案的利润：$810000＞725000＞630000$
【答案】选择方案三获利最多，三个方案总利润分别为630000元、725000元、810000元，方案三的总利润最高。
【知识点】
一元一次方程应用，利润计算，方案决策
【点评】
本题是初中数学常见的经济类方案决策题型，难度适中，核心考点是结合实际生产约束条件计算不同方案的收益，易错点是忽略验证方案一的加工能力是否能在15天内完成全部粗加工，以及列方案三的方程时找错等量关系，解题时只要逐个拆解每个方案的加工安排，对应计算各部分收益再求和，就可以顺利得到结果。
【难度系数】
0.7
