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1. 对任意有理数 $a,b$, 定义“$*$”运算为 $a *$
$b=ab+2a$. 若 $(3 * x)+(x * 3)=14$, 则
$x$ 的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
$b=ab+2a$. 若 $(3 * x)+(x * 3)=14$, 则
$x$ 的值为（
B
）A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$2$
答案
1. B
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合一元一次方程求解的基础题，解题思路非常明确：第一步先准确理解题目给出的“*”运算规则$a*b=ab+2a$，第二步分别对应两个运算式里的a、b参数，把$3*x$和$x*3$按照规则展开成普通代数表达式，第三步将两个展开式相加等于14，得到常规的一元一次方程，最后解这个方程就能求出x的值，解题过程中要注意不要搞混两个运算里a和b的对应位置，避免代入错误。
【解析】
解：根据题中定义的新运算$a*b=ab+2a$：
1. 计算$3*x$：此处对应规则中$a=3$，$b=x$，代入得：
$3*x = 3· x + 2×3 = 3x + 6$
2. 计算$x*3$：此处对应规则中$a=x$，$b=3$，代入得：
$x*3 = x·3 + 2· x = 3x + 2x = 5x$
3. 代入等式$(3*x)+(x*3)=14$，得：
$(3x + 6) + 5x = 14$
合并同类项：$8x + 6 = 14$
移项得：$8x = 14 - 6 = 8$
系数化为1：$x = 1$
【答案】B
【知识点】新定义运算，一元一次方程求解
【点评】本题属于入门级的新定义运算题型，核心考查对自定义规则的理解和代入能力，只要准确对应运算中两个参数的位置，就能顺利转化为熟悉的一元一次方程求解，计算难度很低，是巩固新定义运算基础知识点的典型题目。
【难度系数】0.8
这是一道新定义运算结合一元一次方程求解的基础题，解题思路非常明确：第一步先准确理解题目给出的“*”运算规则$a*b=ab+2a$，第二步分别对应两个运算式里的a、b参数，把$3*x$和$x*3$按照规则展开成普通代数表达式，第三步将两个展开式相加等于14，得到常规的一元一次方程，最后解这个方程就能求出x的值，解题过程中要注意不要搞混两个运算里a和b的对应位置，避免代入错误。
【解析】
解：根据题中定义的新运算$a*b=ab+2a$：
1. 计算$3*x$：此处对应规则中$a=3$，$b=x$，代入得：
$3*x = 3· x + 2×3 = 3x + 6$
2. 计算$x*3$：此处对应规则中$a=x$，$b=3$，代入得：
$x*3 = x·3 + 2· x = 3x + 2x = 5x$
3. 代入等式$(3*x)+(x*3)=14$，得：
$(3x + 6) + 5x = 14$
合并同类项：$8x + 6 = 14$
移项得：$8x = 14 - 6 = 8$
系数化为1：$x = 1$
【答案】B
【知识点】新定义运算，一元一次方程求解
【点评】本题属于入门级的新定义运算题型，核心考查对自定义规则的理解和代入能力，只要准确对应运算中两个参数的位置，就能顺利转化为熟悉的一元一次方程求解，计算难度很低，是巩固新定义运算基础知识点的典型题目。
【难度系数】0.8
2. 商店将标价为6元的笔记本采用如下方式进行促销:若购买不超过3本,则按原价付款;若一次性购买3本以上,则超过的部分打七折.小明有54元钱,则他购买笔记本的数量 （
A.是11本
B.最少11本
C.最多11本
D.最多12本
C
）A.是11本
B.最少11本
C.最多11本
D.最多12本
答案
2. C
解析
【分析】
这是一道分段计费的实际促销问题，解题思路如下：第一步先判断小明带的54元是否超过了按原价买3本的花费，确定购买数量的范围是大于3本的；第二步设购买的总笔记本数为x本，根据促销规则，前3本按原价6元付款，超出3本的部分每本价格为原价的七折，总付款金额不能超过小明携带的54元，据此列出一元一次不等式，求解后结合笔记本数量必须为正整数的实际要求，得到可购买的最大数量，再匹配选项即可。
【解析】
解：首先计算购买3本笔记本的原价总花费：
$3×6 = 18$元
因为$18 ＜ 54$，说明小明购买的笔记本总数量$x ＞ 3$。
根据促销规则，总付款金额满足：前3本的费用 + 超出3本部分的费用 ≤ 54元
列不等式得：
$3×6 + 6×0.7×(x - 3) ≤ 54$
化简计算：
$18 + 4.2(x - 3) ≤ 54$
$18 + 4.2x - 12.6 ≤ 54$
$4.2x + 5.4 ≤ 54$
$4.2x ≤ 48.6$
$x ≤ 48.6 ÷ 4.2 \approx 11.57$
由于笔记本的数量必须是正整数，因此x的最大可取数值为11，即小明最多可以购买11本笔记本。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式应用，分段计费问题
【点评】
本题属于生活中常见的分段促销类应用题，核心易错点是容易忽略“仅超过3本的部分打七折”的规则，误将全部购买数量都按七折计算，得到错误的12本的结果，解题时需要先明确分段的临界点对应的花费，再对应不同区间的计费规则列式，同时结合实际场景对结果取正整数，判断所求的是最大值还是最小值即可选出正确答案。
【难度系数】
0.6
这是一道分段计费的实际促销问题，解题思路如下：第一步先判断小明带的54元是否超过了按原价买3本的花费，确定购买数量的范围是大于3本的；第二步设购买的总笔记本数为x本，根据促销规则，前3本按原价6元付款，超出3本的部分每本价格为原价的七折，总付款金额不能超过小明携带的54元，据此列出一元一次不等式，求解后结合笔记本数量必须为正整数的实际要求，得到可购买的最大数量，再匹配选项即可。
【解析】
解：首先计算购买3本笔记本的原价总花费：
$3×6 = 18$元
因为$18 ＜ 54$，说明小明购买的笔记本总数量$x ＞ 3$。
根据促销规则，总付款金额满足：前3本的费用 + 超出3本部分的费用 ≤ 54元
列不等式得：
$3×6 + 6×0.7×(x - 3) ≤ 54$
化简计算：
$18 + 4.2(x - 3) ≤ 54$
$18 + 4.2x - 12.6 ≤ 54$
$4.2x + 5.4 ≤ 54$
$4.2x ≤ 48.6$
$x ≤ 48.6 ÷ 4.2 \approx 11.57$
由于笔记本的数量必须是正整数，因此x的最大可取数值为11，即小明最多可以购买11本笔记本。
【答案】
C
【知识点】
一元一次不等式应用，分段计费问题
【点评】
本题属于生活中常见的分段促销类应用题，核心易错点是容易忽略“仅超过3本的部分打七折”的规则，误将全部购买数量都按七折计算，得到错误的12本的结果，解题时需要先明确分段的临界点对应的花费，再对应不同区间的计费规则列式，同时结合实际场景对结果取正整数，判断所求的是最大值还是最小值即可选出正确答案。
【难度系数】
0.6
3. A,B 两地相距 450 km,甲、乙两车分别从A,B两地同时出发,相向而行. 已知甲车速度为 120 km/h,乙车速度为 80 km/h,经过t h 两车相距 50 km,则 t 的值是 （
A.2 或 2.5
B.2 或 10
C.10 或 12.5
D.2 或 12.5
A
）A.2 或 2.5
B.2 或 10
C.10 或 12.5
D.2 或 12.5
答案
3. A 提示:当两车相遇前相距 50 km 时,有120t+80t=450-50,解得 t=2;当两车相遇后,又相距50 km 时,有 120t+80t=450+50,解得 t=2.5.
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确两车相向而行的完整运动过程：两车从两地出发后距离不断缩小，未相遇时会出现第一次相距50km的情况；相遇后两车继续沿各自方向行驶，距离不断拉大，会出现第二次相距50km的情况。题目没有限定相距50km的阶段，因此需要分相遇前、相遇后两类情况讨论，分别根据两车的路程和列方程求解，就能得到所有符合条件的t值，避免漏解。
【解析】
我们分两种场景逐一计算：
1. 两车相遇前相距50km
此时两车还未碰面，一共行驶的总路程等于A、B两地总距离减去剩余的50km间距，据此列方程：
$120t + 80t = 450 - 50$
合并同类项得：$200t = 400$
解得：$t=2$
2. 两车相遇后相距50km
此时两车已经碰面并错开，一共行驶的总路程等于A、B两地总距离加上相遇后额外拉开的50km间距，据此列方程：
$120t + 80t = 450 + 50$
合并同类项得：$200t = 500$
解得：$t=2.5$
综上，t的值为2或2.5。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 相向行程问题
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的核心易错点是容易忽略两车相遇后继续行驶再次相距50km的场景，不少同学仅计算相遇前的t值，或是误把相向运动当成同向运动用路程差计算，导致错选其他选项。解决这类动态行程问题要完整梳理运动的全流程，对所有符合题意的场景逐一验证，就能避免丢解错算。
【难度系数】
0.6
拿到这道题首先要明确两车相向而行的完整运动过程：两车从两地出发后距离不断缩小，未相遇时会出现第一次相距50km的情况；相遇后两车继续沿各自方向行驶，距离不断拉大，会出现第二次相距50km的情况。题目没有限定相距50km的阶段，因此需要分相遇前、相遇后两类情况讨论，分别根据两车的路程和列方程求解，就能得到所有符合条件的t值，避免漏解。
【解析】
我们分两种场景逐一计算：
1. 两车相遇前相距50km
此时两车还未碰面，一共行驶的总路程等于A、B两地总距离减去剩余的50km间距，据此列方程：
$120t + 80t = 450 - 50$
合并同类项得：$200t = 400$
解得：$t=2$
2. 两车相遇后相距50km
此时两车已经碰面并错开，一共行驶的总路程等于A、B两地总距离加上相遇后额外拉开的50km间距，据此列方程：
$120t + 80t = 450 + 50$
合并同类项得：$200t = 500$
解得：$t=2.5$
综上，t的值为2或2.5。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 相向行程问题
3. 分类讨论思想
【点评】
本题的核心易错点是容易忽略两车相遇后继续行驶再次相距50km的场景，不少同学仅计算相遇前的t值，或是误把相向运动当成同向运动用路程差计算，导致错选其他选项。解决这类动态行程问题要完整梳理运动的全流程，对所有符合题意的场景逐一验证，就能避免丢解错算。
【难度系数】
0.6
4. 甲、乙两店分别购进一批无线耳机，每副耳机的进价甲店比乙店便宜 10%，乙店的标价比甲店的标价高 5.4 元. 若甲、乙两店均按标价售出，两店的利润率分别为 20% 和 17%，则乙店每副耳机的进价为（
A.56 元
B.60 元
C.72 元
D.80 元
B
）A.56 元
B.60 元
C.72 元
D.80 元
答案
4. B 提示:设乙店每副耳机的进价为 x 元,则甲店每副耳机的进价为(1-10%)x 元. 根据题意,得(1+17%)x-(1+20%)(1-10%)x=5.4,解得 x=60. 所以乙店每副耳机的进价为 60 元.
解析
【分析】
这是一道典型的经济利润类应用题，解题思路如下：
1. 首先锁定题目给出的核心等量关系：乙店的单副耳机标价比甲店的标价高5.4元，我们可以围绕这个等量关系列方程求解。
2. 题目所求为乙店每副耳机的进价，因此直接设乙店进价为未知数x，就能很方便地用x表示出甲店的进价：已知甲店进价比乙店便宜10%，因此甲店进价为(1-10%)x。
3. 回忆经济利润的基础公式：本题中按标价售出，因此标价=售价=进价×(1+利润率)，分别代入甲乙两店的利润率，就能用x表示出两店的标价。
4. 最后根据“乙标价 - 甲标价 = 5.4”列出一元一次方程，求解x即可得到答案。
【解析】
解：设乙店每副耳机的进价为x元，
由题意得甲店每副耳机的进价为(1-10%)x = 0.9x 元。
根据售价与进价、利润率的关系：
甲店的标价为：0.9x × (1+20%) = 1.08x 元，
乙店的标价为：x × (1+17%) = 1.17x 元。
结合乙店标价比甲店标价高5.4元，列方程得：
1.17x - 1.08x = 5.4
合并同类项：0.09x = 5.4
解得：x = 60
即乙店每副耳机的进价为60元。
【答案】B.60元
【知识点】一元一次方程应用，利润率计算
【点评】本题属于经济利润模块的基础题型，解题的核心是牢记售价、进价、利润率三者的关系，找准题目给出的标价差值这一等量关系即可快速求解，解题时注意不要混淆甲乙两店对应的进价和利润率，避免计算错误。
【难度系数】0.7
这是一道典型的经济利润类应用题，解题思路如下：
1. 首先锁定题目给出的核心等量关系：乙店的单副耳机标价比甲店的标价高5.4元，我们可以围绕这个等量关系列方程求解。
2. 题目所求为乙店每副耳机的进价，因此直接设乙店进价为未知数x，就能很方便地用x表示出甲店的进价：已知甲店进价比乙店便宜10%，因此甲店进价为(1-10%)x。
3. 回忆经济利润的基础公式：本题中按标价售出，因此标价=售价=进价×(1+利润率)，分别代入甲乙两店的利润率，就能用x表示出两店的标价。
4. 最后根据“乙标价 - 甲标价 = 5.4”列出一元一次方程，求解x即可得到答案。
【解析】
解：设乙店每副耳机的进价为x元，
由题意得甲店每副耳机的进价为(1-10%)x = 0.9x 元。
根据售价与进价、利润率的关系：
甲店的标价为：0.9x × (1+20%) = 1.08x 元，
乙店的标价为：x × (1+17%) = 1.17x 元。
结合乙店标价比甲店标价高5.4元，列方程得：
1.17x - 1.08x = 5.4
合并同类项：0.09x = 5.4
解得：x = 60
即乙店每副耳机的进价为60元。
【答案】B.60元
【知识点】一元一次方程应用，利润率计算
【点评】本题属于经济利润模块的基础题型，解题的核心是牢记售价、进价、利润率三者的关系，找准题目给出的标价差值这一等量关系即可快速求解，解题时注意不要混淆甲乙两店对应的进价和利润率，避免计算错误。
【难度系数】0.7
二、填空题
5. 已知 $y_{1}=\dfrac{x-2}{2},\ y_{2}=\dfrac{2x-1}{3}$，当 $x=$
5. 已知 $y_{1}=\dfrac{x-2}{2},\ y_{2}=\dfrac{2x-1}{3}$，当 $x=$
-10
时，$y_{1}$ 比 $y_{2}$ 大 1.答案
5. -10
解析
【分析】
题目给出了两个关于x的代数式y₁和y₂，要求满足y₁比y₂大1时的x值，我们的解题思路是先把文字描述的数量关系转化为对应的数学等式：$y_1 - y_2 = 1$，再将已知的y₁、y₂的表达式代入这个等式，得到关于x的一元一次方程，之后按照解一元一次方程的标准步骤求解，就能得到x的取值。
【解析】
解：根据题意可得等量关系：
$y_1 - y_2 = 1$
将$y_{1}=\dfrac{x-2}{2}$，$y_{2}=\dfrac{2x-1}{3}$代入等式，得：
$\frac{x-2}{2} - \frac{2x-1}{3} = 1$
1. 去分母：等式两边同时乘分母的最小公倍数6，注意常数项1也要乘6，得到：
$3(x-2) - 2(2x-1) = 6$
2. 去括号：
$3x - 6 - 4x + 2 = 6$
3. 移项：将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$3x - 4x = 6 + 6 - 2$
4. 合并同类项：
$-x = 10$
5. 系数化为1：两边同时除以-1，得$x=-10$。
【答案】
-10
【知识点】
解一元一次方程，列方程表示等量关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查学生将文字数量关系转化为方程的能力，解题时要注意去分母的步骤中不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
题目给出了两个关于x的代数式y₁和y₂，要求满足y₁比y₂大1时的x值，我们的解题思路是先把文字描述的数量关系转化为对应的数学等式：$y_1 - y_2 = 1$，再将已知的y₁、y₂的表达式代入这个等式，得到关于x的一元一次方程，之后按照解一元一次方程的标准步骤求解，就能得到x的取值。
【解析】
解：根据题意可得等量关系：
$y_1 - y_2 = 1$
将$y_{1}=\dfrac{x-2}{2}$，$y_{2}=\dfrac{2x-1}{3}$代入等式，得：
$\frac{x-2}{2} - \frac{2x-1}{3} = 1$
1. 去分母：等式两边同时乘分母的最小公倍数6，注意常数项1也要乘6，得到：
$3(x-2) - 2(2x-1) = 6$
2. 去括号：
$3x - 6 - 4x + 2 = 6$
3. 移项：将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$3x - 4x = 6 + 6 - 2$
4. 合并同类项：
$-x = 10$
5. 系数化为1：两边同时除以-1，得$x=-10$。
【答案】
-10
【知识点】
解一元一次方程，列方程表示等量关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查学生将文字数量关系转化为方程的能力，解题时要注意去分母的步骤中不要漏乘不含分母的常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8
6. 有这样的一些方程：$\dfrac{x}{4}+\dfrac{x-1}{2}=1$ 的解是$x=2$；$\dfrac{x}{6}+\dfrac{x-2}{2}=1$ 的解是 $x=3$；$\dfrac{x}{8}+\dfrac{x-3}{2}=1$ 的解是 $x=4······$ 观察上述方程，根据所得到的规律，写出解是 $x=7$ 的方程：
$\dfrac{x}{14}+\dfrac{x-6}{2}=1$
.答案
6. $\dfrac{x}{14}+\dfrac{x-6}{2}=1$
解析
【分析】
我们可以先把已知的3组方程和对应的解一一对应，拆分方程的各个部分，分别找每一处数字和方程解的关联：
1. 先列对应关系：
解x=2时，方程为$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=1$
解x=3时，方程为$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{2}=1$
解x=4时，方程为$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$
2. 逐个找规律：
① 第一个分数的分母：4=2×2，6=3×2，8=4×2，也就是分母等于「对应解的数值×2」
② 第二个分数的分子里的减数：1=2-1，2=3-1，3=4-1，也就是减数等于「对应解的数值-1」
③ 其余部分：第二个分数的分母是2，等式右边是1，所有已知方程都没有变化。
3. 现在要求解是x=7，代入上面的规律计算对应数值，就能写出目标方程了。
【解析】
解：观察已知方程与对应解的规律：
若方程的解为$x=n$，则第一个分数的分母为$2n$，第二个分数分子中的减数为$n-1$，其余部分保持不变。
现在要求解为$x=7$，即$n=7$：
第一个分数的分母为$2×7=14$，第二个分数分子中的减数为$7-1=6$，代入可得方程：
$\dfrac{x}{14}+\dfrac{x-6}{2}=1$
【答案】
$\dfrac{x}{14}+\dfrac{x-6}{2}=1$
【知识点】
一元一次方程，规律探究
【点评】
本题属于一元一次方程相关的规律探究题，不需要通过解方程推导，核心思路是拆分方程的不同组成部分，分别对比各部分数字和对应解的数值的关联，拆分后规律非常清晰，能有效锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
我们可以先把已知的3组方程和对应的解一一对应，拆分方程的各个部分，分别找每一处数字和方程解的关联：
1. 先列对应关系：
解x=2时，方程为$\frac{x}{4}+\frac{x-1}{2}=1$
解x=3时，方程为$\frac{x}{6}+\frac{x-2}{2}=1$
解x=4时，方程为$\frac{x}{8}+\frac{x-3}{2}=1$
2. 逐个找规律：
① 第一个分数的分母：4=2×2，6=3×2，8=4×2，也就是分母等于「对应解的数值×2」
② 第二个分数的分子里的减数：1=2-1，2=3-1，3=4-1，也就是减数等于「对应解的数值-1」
③ 其余部分：第二个分数的分母是2，等式右边是1，所有已知方程都没有变化。
3. 现在要求解是x=7，代入上面的规律计算对应数值，就能写出目标方程了。
【解析】
解：观察已知方程与对应解的规律：
若方程的解为$x=n$，则第一个分数的分母为$2n$，第二个分数分子中的减数为$n-1$，其余部分保持不变。
现在要求解为$x=7$，即$n=7$：
第一个分数的分母为$2×7=14$，第二个分数分子中的减数为$7-1=6$，代入可得方程：
$\dfrac{x}{14}+\dfrac{x-6}{2}=1$
【答案】
$\dfrac{x}{14}+\dfrac{x-6}{2}=1$
【知识点】
一元一次方程，规律探究
【点评】
本题属于一元一次方程相关的规律探究题，不需要通过解方程推导，核心思路是拆分方程的不同组成部分，分别对比各部分数字和对应解的数值的关联，拆分后规律非常清晰，能有效锻炼学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
7. 已知 $x_1,x_2,x_3,···,x_{2\,025}$ 是 2 025 个由 1 和$-1$ 组成的数,且满足 $x_1+x_2+x_3+···+$$x_{2\,025}=25$, 则 $(x_1+1)^2+(x_2+1)^2+$$(x_3+1)^2+···+(x_{2\,025}+1)^2$ 的值为
4 100
.答案
7. 4 100 提示:设 $x_i=1$ 的个数为 $a$,则$x_i=-1$ 的个数为 2 025-a,可得 a-(2 025-a)=25,解得 a=1 025,则 2 025-1 025=1 000. 当 $x_i=1$ 时,$(x_i+1)^2=4$,当 $x_i=-1$ 时,$(x_i+1)^2=0$,所以原式=1 025×4+1 000×0=4 100.
解析
【分析】
这道题的已知条件是所有数仅由1和-1组成，且它们的总和为25，要求所有$(x_i+1)^2$的和。我们的解题思路可以先对两类数做计数：先设取值为1的数的总个数为a，那么剩下的数的取值都是-1，个数自然就是总数2025减去a。接着利用已知的总和条件列一元一次方程，解出a的具体数值，之后分别代入两种取值计算对应的$(x_i+1)^2$的结果，最后用对应个数乘对应结果相加，就能快速得到总和，完全不需要逐个展开计算，大幅简化运算。
【解析】
解：设这2025个数中，取值为1的数的个数为a，则取值为-1的数的个数为$2025 - a$。
1. 利用总和条件列方程求解a：
已知所有数的和为25，可得：
$a×1 + (2025 - a)×(-1) = 25$
展开整理得：$a - 2025 + a = 25$
合并同类项得：$2a = 2050$
解得：$a = 1025$
因此取值为-1的数的个数为$2025 - 1025 = 1000$。
2. 代入计算目标式的总和：
当$x_i=1$时，$(x_i + 1)^2 = (1+1)^2 = 4$；
当$x_i=-1$时，$(x_i + 1)^2 = (-1+1)^2 = 0$；
因此原式总和$= 1025×4 + 1000×0 = 4100$。
【答案】4100
【知识点】一元一次方程应用，有理数乘方，分类计数
【点评】本题的核心技巧是利用所有数仅两种取值的特点，先统计不同取值的数量，避免了直接展开2025个平方项的冗余运算，思路巧妙计算量小，解题时要注意解方程时的移项符号，避免算错a的数值导致最终结果出错。
【难度系数】0.6
这道题的已知条件是所有数仅由1和-1组成，且它们的总和为25，要求所有$(x_i+1)^2$的和。我们的解题思路可以先对两类数做计数：先设取值为1的数的总个数为a，那么剩下的数的取值都是-1，个数自然就是总数2025减去a。接着利用已知的总和条件列一元一次方程，解出a的具体数值，之后分别代入两种取值计算对应的$(x_i+1)^2$的结果，最后用对应个数乘对应结果相加，就能快速得到总和，完全不需要逐个展开计算，大幅简化运算。
【解析】
解：设这2025个数中，取值为1的数的个数为a，则取值为-1的数的个数为$2025 - a$。
1. 利用总和条件列方程求解a：
已知所有数的和为25，可得：
$a×1 + (2025 - a)×(-1) = 25$
展开整理得：$a - 2025 + a = 25$
合并同类项得：$2a = 2050$
解得：$a = 1025$
因此取值为-1的数的个数为$2025 - 1025 = 1000$。
2. 代入计算目标式的总和：
当$x_i=1$时，$(x_i + 1)^2 = (1+1)^2 = 4$；
当$x_i=-1$时，$(x_i + 1)^2 = (-1+1)^2 = 0$；
因此原式总和$= 1025×4 + 1000×0 = 4100$。
【答案】4100
【知识点】一元一次方程应用，有理数乘方，分类计数
【点评】本题的核心技巧是利用所有数仅两种取值的特点，先统计不同取值的数量，避免了直接展开2025个平方项的冗余运算，思路巧妙计算量小，解题时要注意解方程时的移项符号，避免算错a的数值导致最终结果出错。
【难度系数】0.6
8. 若关于$x$的方程$||x+1|-a|=4$只有三个解，则$a$的值为
4
.答案
8. 4 提示:因为 $||x+1|-a|=4$, 所以$|x+1|-a=\pm4$,即$|x+1|=a+4$ 或$|x+1|=a-4$.又因为关于 x 的方程$||x+1|-a|=4$只有三个解,所以 a+4=0 或 a-4=0,解得 a=-4 或 a=4. 当 a=-4 时,a-4=-8,则|x+1|=-8 无解,此时原方程只有 1 个解. 故 a=4.
解析
【分析】
解题思路：这是多层含参绝对值方程的解的个数问题，我们可以从外到内逐层去掉绝对值，将原方程拆解为两个更简单的单层绝对值方程。首先回忆绝对值方程的解的规律：形如|A|=t的方程，当t＞0时有2个不同解，t=0时有1个解，t＜0时无解。题目要求原方程总共只有3个解，说明拆解得到的两个子方程的解的总数恰好为3，因此必然是其中一个子方程有2个解，另一个子方程仅有1个解，我们据此反推参数a的取值，再验证排除不符合条件的取值即可得到最终结果。
【解析】
第一步：去掉外层绝对值，拆分原方程
已知$||x+1|-a|=4$，根据绝对值的定义，可得：
$|x+1|-a = 4$ 或 $|x+1|-a = -4$
整理得到两个单层绝对值方程：
① $|x+1| = a+4$
② $|x+1| = a-4$
第二步：结合解的总数为3分析参数取值
根据绝对值方程解的性质：
若绝对值右侧的常数大于0，方程有2个不同解；
若绝对值右侧的常数等于0，方程有1个解；
若绝对值右侧的常数小于0，方程无解。
要让原方程总共有3个解，两个子方程的解的总数必须为3，仅可能出现“一个方程有2个解，另一个方程有1个解”的情况，因此两个子方程的右侧常数中恰好有一个等于0：
情况1：若$a+4=0$，即$a=-4$，此时代入方程②得$|x+1|=-4-4=-8$，右侧小于0，方程②无解，仅方程①有1个解，原方程总解数为1，不符合题意，舍去。
情况2：若$a-4=0$，即$a=4$，此时代入方程①得$|x+1|=4+4=8$，右侧大于0，方程①有2个解，方程②$|x+1|=0$有1个解，总解数为3，完全符合题意。
因此a的取值为4。
【答案】
4
【知识点】
多层绝对值方程求解，绝对值的非负性，绝对值方程解的个数判定
【点评】
本题的核心考点是多层含参绝对值方程的解的个数讨论，解题关键是将复杂的多层绝对值方程拆解为两个基础单层绝对值方程，利用解的个数规律反推参数取值。学生很容易直接由“右侧常数为0”得到a=±4，忽略验证a=-4时其中一个子方程无解、总解数仅为1的陷阱，需要注意绝对值的右侧必须非负才有解，要对得到的候选参数逐一验证排除错解。
【难度系数】
0.4
解题思路：这是多层含参绝对值方程的解的个数问题，我们可以从外到内逐层去掉绝对值，将原方程拆解为两个更简单的单层绝对值方程。首先回忆绝对值方程的解的规律：形如|A|=t的方程，当t＞0时有2个不同解，t=0时有1个解，t＜0时无解。题目要求原方程总共只有3个解，说明拆解得到的两个子方程的解的总数恰好为3，因此必然是其中一个子方程有2个解，另一个子方程仅有1个解，我们据此反推参数a的取值，再验证排除不符合条件的取值即可得到最终结果。
【解析】
第一步：去掉外层绝对值，拆分原方程
已知$||x+1|-a|=4$，根据绝对值的定义，可得：
$|x+1|-a = 4$ 或 $|x+1|-a = -4$
整理得到两个单层绝对值方程：
① $|x+1| = a+4$
② $|x+1| = a-4$
第二步：结合解的总数为3分析参数取值
根据绝对值方程解的性质：
若绝对值右侧的常数大于0，方程有2个不同解；
若绝对值右侧的常数等于0，方程有1个解；
若绝对值右侧的常数小于0，方程无解。
要让原方程总共有3个解，两个子方程的解的总数必须为3，仅可能出现“一个方程有2个解，另一个方程有1个解”的情况，因此两个子方程的右侧常数中恰好有一个等于0：
情况1：若$a+4=0$，即$a=-4$，此时代入方程②得$|x+1|=-4-4=-8$，右侧小于0，方程②无解，仅方程①有1个解，原方程总解数为1，不符合题意，舍去。
情况2：若$a-4=0$，即$a=4$，此时代入方程①得$|x+1|=4+4=8$，右侧大于0，方程①有2个解，方程②$|x+1|=0$有1个解，总解数为3，完全符合题意。
因此a的取值为4。
【答案】
4
【知识点】
多层绝对值方程求解，绝对值的非负性，绝对值方程解的个数判定
【点评】
本题的核心考点是多层含参绝对值方程的解的个数讨论，解题关键是将复杂的多层绝对值方程拆解为两个基础单层绝对值方程，利用解的个数规律反推参数取值。学生很容易直接由“右侧常数为0”得到a=±4，忽略验证a=-4时其中一个子方程无解、总解数仅为1的陷阱，需要注意绝对值的右侧必须非负才有解，要对得到的候选参数逐一验证排除错解。
【难度系数】
0.4
9. 记$T(x)$表示去掉$x$的小数部分后的整数部分,如$T(-2.35)=-2,T(4)=4,$$T(3.12)=3$,则使$T[T(2x-2)]=x+2$成立的$x$的值为
4
.答案
9. 4 提示:根据题意可知,x+2 为整数,所以x,2x-2 也为整数,所以原方程可化为 2x-2=x+2,解得 x=4.
解析
【分析】
首先先理解题目给出的自定义运算T的含义：对任意实数x，T(x)是直接去掉小数部分得到的整数，输出结果必然是整数。解题时先从嵌套的T运算的性质入手：第一次运算T(2x-2)得到的是整数，再对这个整数做T运算，结果还是这个整数本身，因此等式左边整体一定是整数，由此可以推出等式右边的x+2必须是整数，即x为整数。x是整数的话2x-2也必然是整数，此时T作用在整数上的结果就等于整数本身，就可以把原方程的所有T符号消去，转化为普通的一元一次方程，直接求解就能得到x的值。
【解析】
1. 由题中对T(x)的定义可知：任意实数经过T运算后得到的结果都是整数，因此对任意整数k，都满足T(k)=k。
2. 观察等式左侧：令A = T(2x-2)，由T的性质可知A是整数，因此T(A)=A，即左侧T[T(2x-2)] = A = T(2x-2)，说明等式左侧的运算结果一定是整数。
3. 因此等式右侧x+2必须为整数，可得x是整数，进一步推出2x-2也为整数。
4. 由于2x-2是整数，因此T(2x-2)=2x-2，原方程可化简为：
$2x - 2 = x + 2$
5. 解该一元一次方程，移项得2x - x = 2 + 2，解得x=4。
【答案】
4
【知识点】
自定义新运算，一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义运算类题型，核心突破口是利用自定义运算输出必为整数的性质，快速推导出x为整数，从而直接消去嵌套的T运算，避免了复杂的分类讨论。这类题的通用思考逻辑是先分析新运算的输出属性，再反向推导未知数的取值特征，能大幅简化运算过程，不要被嵌套的函数形式迷惑直接硬套定义展开。
【难度系数】
0.4
首先先理解题目给出的自定义运算T的含义：对任意实数x，T(x)是直接去掉小数部分得到的整数，输出结果必然是整数。解题时先从嵌套的T运算的性质入手：第一次运算T(2x-2)得到的是整数，再对这个整数做T运算，结果还是这个整数本身，因此等式左边整体一定是整数，由此可以推出等式右边的x+2必须是整数，即x为整数。x是整数的话2x-2也必然是整数，此时T作用在整数上的结果就等于整数本身，就可以把原方程的所有T符号消去，转化为普通的一元一次方程，直接求解就能得到x的值。
【解析】
1. 由题中对T(x)的定义可知：任意实数经过T运算后得到的结果都是整数，因此对任意整数k，都满足T(k)=k。
2. 观察等式左侧：令A = T(2x-2)，由T的性质可知A是整数，因此T(A)=A，即左侧T[T(2x-2)] = A = T(2x-2)，说明等式左侧的运算结果一定是整数。
3. 因此等式右侧x+2必须为整数，可得x是整数，进一步推出2x-2也为整数。
4. 由于2x-2是整数，因此T(2x-2)=2x-2，原方程可化简为：
$2x - 2 = x + 2$
5. 解该一元一次方程，移项得2x - x = 2 + 2，解得x=4。
【答案】
4
【知识点】
自定义新运算，一元一次方程求解
【点评】
本题属于新定义运算类题型，核心突破口是利用自定义运算输出必为整数的性质，快速推导出x为整数，从而直接消去嵌套的T运算，避免了复杂的分类讨论。这类题的通用思考逻辑是先分析新运算的输出属性，再反向推导未知数的取值特征，能大幅简化运算过程，不要被嵌套的函数形式迷惑直接硬套定义展开。
【难度系数】
0.4
10. 用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成,硬纸板以如图所示的两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用).A方法:剪6个侧面;B方法:剪4个侧面和5个底面.现有19张硬纸板,其中的$x$张用A方法裁剪,其余的用B方法.若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,则能做
30
个盒子.答案
10. 30 提示:裁剪出的侧面个数为 6x+4(19-x)=2x+76,裁剪出的底面个数为 5(19-x)=-5x+95. 根据题意,得$\dfrac{2x+76}{3}=\dfrac{-5x+95}{2}$,解得 x=7. 当 x=7 时,$\dfrac{2x+76}{3}=30$. 所以能做 30 个盒子.
解析
【分析】
我们先梳理已知条件：总共有19张硬纸板，其中x张用A方法裁剪，剩下的(19-x)张用B方法裁剪。第一步先分别计算所有硬纸板裁剪出的总侧面数和总底面数：A方法每张产出6个侧面、不产出底面，B方法每张产出4个侧面和5个底面，相加就能得到两类零件的总数量。接下来，因为每个三棱柱盒子需要3个侧面和2个底面，且所有裁剪出的侧面和底面刚好用完，说明侧面总数除以3得到的盒子数，和底面总数除以2得到的盒子数完全相等，据此列出方程求解x，最后代入就能算出盒子的总数量。
【解析】
解：由题意得，使用B方法裁剪的硬纸板数量为$(19-x)$张。
1. 计算总侧面数：
A方法每张剪6个侧面，B方法每张剪4个侧面，因此总侧面数为：
$6x + 4(19-x) = 2x + 76$
2. 计算总底面数：
A方法不产出底面，B方法每张剪5个底面，因此总底面数为：
$5(19-x) = 95 - 5x$
3. 根据配套关系列方程：
每个盒子需要3个侧面、2个底面，且侧面和底面全部用完，因此可列等式：
$\frac{2x+76}{3} = \frac{95-5x}{2}$
两边同乘6去分母得：$2(2x+76)=3(95-5x)$
展开并整理得：$19x=133$，解得$x=7$
4. 计算盒子总数：
将$x=7$代入$\frac{2x+76}{3}$，得$\frac{2×7 +76}{3}=30$
【答案】30
【知识点】一元一次方程应用，配套问题
【点评】本题是初中数学典型的生产配套类常考题，解题核心是抓住“侧面总数:底面总数=3:2”的配套比例关系，避免出现比例颠倒的错误，先通过变量表示出两类零件的总数量，再根据配套相等建立方程求解即可，整体难度不大。
【难度系数】0.6
我们先梳理已知条件：总共有19张硬纸板，其中x张用A方法裁剪，剩下的(19-x)张用B方法裁剪。第一步先分别计算所有硬纸板裁剪出的总侧面数和总底面数：A方法每张产出6个侧面、不产出底面，B方法每张产出4个侧面和5个底面，相加就能得到两类零件的总数量。接下来，因为每个三棱柱盒子需要3个侧面和2个底面，且所有裁剪出的侧面和底面刚好用完，说明侧面总数除以3得到的盒子数，和底面总数除以2得到的盒子数完全相等，据此列出方程求解x，最后代入就能算出盒子的总数量。
【解析】
解：由题意得，使用B方法裁剪的硬纸板数量为$(19-x)$张。
1. 计算总侧面数：
A方法每张剪6个侧面，B方法每张剪4个侧面，因此总侧面数为：
$6x + 4(19-x) = 2x + 76$
2. 计算总底面数：
A方法不产出底面，B方法每张剪5个底面，因此总底面数为：
$5(19-x) = 95 - 5x$
3. 根据配套关系列方程：
每个盒子需要3个侧面、2个底面，且侧面和底面全部用完，因此可列等式：
$\frac{2x+76}{3} = \frac{95-5x}{2}$
两边同乘6去分母得：$2(2x+76)=3(95-5x)$
展开并整理得：$19x=133$，解得$x=7$
4. 计算盒子总数：
将$x=7$代入$\frac{2x+76}{3}$，得$\frac{2×7 +76}{3}=30$
【答案】30
【知识点】一元一次方程应用，配套问题
【点评】本题是初中数学典型的生产配套类常考题，解题核心是抓住“侧面总数:底面总数=3:2”的配套比例关系，避免出现比例颠倒的错误，先通过变量表示出两类零件的总数量，再根据配套相等建立方程求解即可，整体难度不大。
【难度系数】0.6
三、解答题
11. 过年前,某地A,B两商场为庆贺新年,全场商品按如下方式优惠:
请根据以上信息,解答问题.
(1) 芳姐去A商场置办年货,打折后需付款945元,则她购买的商品原价是
(2) 芳姐又在B商场看中了一套850元的衣服,服装类商品按原价先打折,再按打折后的价格参加优惠.芳姐正准备付款,却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了15元,试求该衣服打了几折.
(3) 过了几天,芳姐和老贾先后去A商场给学生购买新年礼物,已知一份礼物20元,两人共购买了80份,一共花了1374元,且芳姐买的数量比老贾多,两人分别买了多少份礼物?
11. 过年前,某地A,B两商场为庆贺新年,全场商品按如下方式优惠:
请根据以上信息,解答问题.
(1) 芳姐去A商场置办年货,打折后需付款945元,则她购买的商品原价是
1 190 元
.(2) 芳姐又在B商场看中了一套850元的衣服,服装类商品按原价先打折,再按打折后的价格参加优惠.芳姐正准备付款,却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了15元,试求该衣服打了几折.
(3) 过了几天,芳姐和老贾先后去A商场给学生购买新年礼物,已知一份礼物20元,两人共购买了80份,一共花了1374元,且芳姐买的数量比老贾多,两人分别买了多少份礼物?
答案
11. (1) 1 190 元
(2) 解:设该衣服打了 y 折.
根据题意,得直接参加优惠付款费用为$850-\dfrac{800}{200}×100=450$(元). 若打折后能优惠300 元,则 $850×\dfrac{y}{10}-300=450+15$,解得 y=9;若打折后能优惠 200 元,则 $850×\dfrac{y}{10}-200=450+15$,解得 $y=\dfrac{133}{17}$(不符合题意,舍去);若打折后能优惠 100 元,即打折后价格不超过400元,400＜450,所以该情形不存在.
综上所述,该衣服打了九折.
(3) 解:设芳姐购买了 m 份礼物,则老贾购买了(80-m)份礼物. 因为一份礼物 20 元,一共花了 1 374 元,且芳姐买的数量比老贾多,所以两人购买礼物原价的和为 80×20=1 600(元),芳姐购买礼物的原价应超过 20×40=800(元).
当 800＜20m≤1 000 时,600≤20(80-m)＜800,所以 500×0.9+0.8(20m-500)+500×0.9+0.8[20(80-m)-500]=1 374,该方程无解.
因为 80×20-500=1 100,所以当1 000＜20m＜1 100 时,500＜20(80-m)＜600,所以 500×0.9+500×0.8+0.5(20m-1 000)+500×0.9+0.8[20(80-m)-500]=1 374,解得 m=51,所以 80-51=29(份),此时芳姐购买了 51 份礼物,老贾购买了 29 份礼物;当 1 100≤20m 时,20(80-m)≤500,所以500×0.9+500×0.8+0.5(20m-1 000)+20(80-m)×0.9=1 374,解得 m=52(不符合题意,舍去).
综上所述,芳姐购买了 51 份礼物,老贾购买了 29 份礼物.
(2) 解:设该衣服打了 y 折.
根据题意,得直接参加优惠付款费用为$850-\dfrac{800}{200}×100=450$(元). 若打折后能优惠300 元,则 $850×\dfrac{y}{10}-300=450+15$,解得 y=9;若打折后能优惠 200 元,则 $850×\dfrac{y}{10}-200=450+15$,解得 $y=\dfrac{133}{17}$(不符合题意,舍去);若打折后能优惠 100 元,即打折后价格不超过400元,400＜450,所以该情形不存在.
综上所述,该衣服打了九折.
(3) 解:设芳姐购买了 m 份礼物,则老贾购买了(80-m)份礼物. 因为一份礼物 20 元,一共花了 1 374 元,且芳姐买的数量比老贾多,所以两人购买礼物原价的和为 80×20=1 600(元),芳姐购买礼物的原价应超过 20×40=800(元).
当 800＜20m≤1 000 时,600≤20(80-m)＜800,所以 500×0.9+0.8(20m-500)+500×0.9+0.8[20(80-m)-500]=1 374,该方程无解.
因为 80×20-500=1 100,所以当1 000＜20m＜1 100 时,500＜20(80-m)＜600,所以 500×0.9+500×0.8+0.5(20m-1 000)+500×0.9+0.8[20(80-m)-500]=1 374,解得 m=51,所以 80-51=29(份),此时芳姐购买了 51 份礼物,老贾购买了 29 份礼物;当 1 100≤20m 时,20(80-m)≤500,所以500×0.9+500×0.8+0.5(20m-1 000)+20(80-m)×0.9=1 374,解得 m=52(不符合题意,舍去).
综上所述,芳姐购买了 51 份礼物,老贾购买了 29 份礼物.
解析
【分析】
我们可以按照三个小问的顺序逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问：先计算A商场不同原价档位对应的最高付款额：原价500元时付款500×0.9=450元，原价1000元时付款500×0.9 + 500×0.8=850元。已知实际付款945元大于850元，说明商品原价超过1000元，对应超过1000的部分打五折，据此列方程即可求出原价。
2. 第(2)问：首先算出衣服不打折直接在B商场参与优惠的实付金额，再根据“打折后参与优惠比直接参加优惠贵15元”得到打折后优惠的实付金额，分情况讨论打折后总价可减免的满减档位，分别列方程求解，舍去不符合实际意义的解即可。
3. 第(3)问：先算出80份礼物的总原价为1600元，由芳姐购买数量比老贾多，可知芳姐购买数量大于40份，对应原价超过800元。再分三类讨论两人的原价分别落在A商场的哪个优惠档位，分别代入A商场的分段计费公式列方程，验证解是否符合对应区间的条件，舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算A商场档位分界点的付款额：
原价为500元时，实付：$500×0.9=450$元
原价为1000元时，实付：$500×0.9 + (1000-500)×0.8 = 450+400=850$元
因为$945＞850$，所以商品原价超过1000元，设原价为$x$元：
$500×0.9 + 500×0.8 + (x-1000)×0.5 = 945$
化简得：$850 + 0.5x - 500 = 945$，解得$x=1190$元。
(2) 设该衣服打了$y$折。
首先计算不打折直接参加B商场优惠的实付：850元中共有4个满200元的档位，可减$4×100=400$元，实付$850-400=450$元。
由题意，打折后参与优惠的实付为$450+15=465$元，分情况讨论：
① 若打折后总价可减300元，即打折后总价满600元不足800元：
$850×\frac{y}{10} - 300 = 465$
解得$y=9$，此时打折后价格为$850×0.9=765$元，符合$600≤765＜800$的条件。
② 若打折后总价可减200元，即打折后总价满400元不足600元：
$850×\frac{y}{10} - 200 = 465$
解得$y=\frac{133}{17}＞10$，折扣超过10折，不符合实际，舍去。
③ 若打折后总价可减100元，即打折后总价满200元不足400元，此时实付最多为$400-100=300$元$＜465$元，不可能满足条件，该情形不存在。
综上，该衣服打九折。
(3) 设芳姐购买了$m$份礼物，则老贾购买了$(80-m)$份礼物。
每份礼物20元，总原价为$80×20=1600$元，由芳姐买的数量比老贾多，得$m＞40$，即芳姐购买礼物的原价$20m＞800$元，分情况讨论：
① 当$800＜20m≤1000$，即$40＜m≤50$时，老贾的原价$20(80-m)$满足$600≤20(80-m)＜800$，两人的原价都落在500~1000元区间，代入A商场计费规则：
$[500×0.9 + 0.8(20m - 500)] + [500×0.9 + 0.8(20(80-m)-500)] = 1374$
化简后方程左边恒等于1380，与1374不相等，方程无解。
② 当$1000＜20m＜1100$，即$50＜m＜55$时，老贾的原价$20(80-m)$满足$500＜20(80-m)＜600$，芳姐原价超过1000元，老贾原价落在500~1000元区间，代入计费规则：
$[500×0.9 + 500×0.8 + 0.5(20m -1000)] + [500×0.9 + 0.8(20(80-m)-500)] =1374$
化简解得$m=51$，符合$50＜m＜55$的条件，此时老贾购买$80-51=29$份。
③ 当$20m≥1100$，即$m≥55$时，老贾的原价$20(80-m)≤500$，芳姐原价超过1000元，老贾原价不超过500元，代入计费规则：
$[500×0.9 +500×0.8 +0.5(20m -1000)] + 20(80-m)×0.9 =1374$
解得$m=52$，不符合$m≥55$的条件，舍去。
综上，芳姐购买了51份，老贾购买了29份。
【答案】
(1) 1190元；(2) 九折；(3) 芳姐买了51份，老贾买了29份
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题是结合商场优惠规则的实际应用题，核心考点是分段计费的计算逻辑，解题的关键是根据不同档位的优惠规则，对变量的取值区间进行完整分类讨论，同时要对求解出的结果进行验证，舍去不符合实际意义和对应区间条件的解，避免出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.3
我们可以按照三个小问的顺序逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问：先计算A商场不同原价档位对应的最高付款额：原价500元时付款500×0.9=450元，原价1000元时付款500×0.9 + 500×0.8=850元。已知实际付款945元大于850元，说明商品原价超过1000元，对应超过1000的部分打五折，据此列方程即可求出原价。
2. 第(2)问：首先算出衣服不打折直接在B商场参与优惠的实付金额，再根据“打折后参与优惠比直接参加优惠贵15元”得到打折后优惠的实付金额，分情况讨论打折后总价可减免的满减档位，分别列方程求解，舍去不符合实际意义的解即可。
3. 第(3)问：先算出80份礼物的总原价为1600元，由芳姐购买数量比老贾多，可知芳姐购买数量大于40份，对应原价超过800元。再分三类讨论两人的原价分别落在A商场的哪个优惠档位，分别代入A商场的分段计费公式列方程，验证解是否符合对应区间的条件，舍去不符合的解，得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算A商场档位分界点的付款额：
原价为500元时，实付：$500×0.9=450$元
原价为1000元时，实付：$500×0.9 + (1000-500)×0.8 = 450+400=850$元
因为$945＞850$，所以商品原价超过1000元，设原价为$x$元：
$500×0.9 + 500×0.8 + (x-1000)×0.5 = 945$
化简得：$850 + 0.5x - 500 = 945$，解得$x=1190$元。
(2) 设该衣服打了$y$折。
首先计算不打折直接参加B商场优惠的实付：850元中共有4个满200元的档位，可减$4×100=400$元，实付$850-400=450$元。
由题意，打折后参与优惠的实付为$450+15=465$元，分情况讨论：
① 若打折后总价可减300元，即打折后总价满600元不足800元：
$850×\frac{y}{10} - 300 = 465$
解得$y=9$，此时打折后价格为$850×0.9=765$元，符合$600≤765＜800$的条件。
② 若打折后总价可减200元，即打折后总价满400元不足600元：
$850×\frac{y}{10} - 200 = 465$
解得$y=\frac{133}{17}＞10$，折扣超过10折，不符合实际，舍去。
③ 若打折后总价可减100元，即打折后总价满200元不足400元，此时实付最多为$400-100=300$元$＜465$元，不可能满足条件，该情形不存在。
综上，该衣服打九折。
(3) 设芳姐购买了$m$份礼物，则老贾购买了$(80-m)$份礼物。
每份礼物20元，总原价为$80×20=1600$元，由芳姐买的数量比老贾多，得$m＞40$，即芳姐购买礼物的原价$20m＞800$元，分情况讨论：
① 当$800＜20m≤1000$，即$40＜m≤50$时，老贾的原价$20(80-m)$满足$600≤20(80-m)＜800$，两人的原价都落在500~1000元区间，代入A商场计费规则：
$[500×0.9 + 0.8(20m - 500)] + [500×0.9 + 0.8(20(80-m)-500)] = 1374$
化简后方程左边恒等于1380，与1374不相等，方程无解。
② 当$1000＜20m＜1100$，即$50＜m＜55$时，老贾的原价$20(80-m)$满足$500＜20(80-m)＜600$，芳姐原价超过1000元，老贾原价落在500~1000元区间，代入计费规则：
$[500×0.9 + 500×0.8 + 0.5(20m -1000)] + [500×0.9 + 0.8(20(80-m)-500)] =1374$
化简解得$m=51$，符合$50＜m＜55$的条件，此时老贾购买$80-51=29$份。
③ 当$20m≥1100$，即$m≥55$时，老贾的原价$20(80-m)≤500$，芳姐原价超过1000元，老贾原价不超过500元，代入计费规则：
$[500×0.9 +500×0.8 +0.5(20m -1000)] + 20(80-m)×0.9 =1374$
解得$m=52$，不符合$m≥55$的条件，舍去。
综上，芳姐购买了51份，老贾购买了29份。
【答案】
(1) 1190元；(2) 九折；(3) 芳姐买了51份，老贾买了29份
【知识点】
分段计费问题，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题是结合商场优惠规则的实际应用题，核心考点是分段计费的计算逻辑，解题的关键是根据不同档位的优惠规则，对变量的取值区间进行完整分类讨论，同时要对求解出的结果进行验证，舍去不符合实际意义和对应区间条件的解，避免出现漏解、错解的问题。
【难度系数】
0.3
