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12. 【阅读理解】在解形如
$2|x-3|=3∣ x-3∣ -$
$2x+9$这一类含有绝对值的方程时，为了去绝
巅峰讲坛
对值符号，我们发现两个绝对值符号里面是相同的“$x-3$”，可以根据绝对值的意义先对“$x$”的取值分成$x＜3$和$x≥ 3$两种情况，再去绝对值符号：
①当$x＜3$时，原方程可化为$2(3-x)=$$3(3-x)-2x+9$，解得$x=4$，不符合$x$$＜3$，舍去；
②当$x≥ 3$时，原方程可化为$2(x-3)=$$3(x-3)-2x+9$，解得$x=6$，符合$x$$≥ 3$。
所以原方程的解为$x=6$。
(1)【方法应用】解方程$2|x-5|=2x+|5-x|$。
(2)【拓展应用】解方程$|2-x|-3|x+1|=$$x-9$（提示：可以考虑先对“$x$”的取值进行分类，去了一个绝对值符号后，再对“$x$”的取值进行分类，去掉另一个绝对值符号）。
(3)【迁移应用】求$|x-8|+|x+2025|$的最小值。
$2|x-3|=3∣ x-3∣ -$
$2x+9$这一类含有绝对值的方程时，为了去绝
巅峰讲坛
对值符号，我们发现两个绝对值符号里面是相同的“$x-3$”，可以根据绝对值的意义先对“$x$”的取值分成$x＜3$和$x≥ 3$两种情况，再去绝对值符号：
①当$x＜3$时，原方程可化为$2(3-x)=$$3(3-x)-2x+9$，解得$x=4$，不符合$x$$＜3$，舍去；
②当$x≥ 3$时，原方程可化为$2(x-3)=$$3(x-3)-2x+9$，解得$x=6$，符合$x$$≥ 3$。
所以原方程的解为$x=6$。
(1)【方法应用】解方程$2|x-5|=2x+|5-x|$。
(2)【拓展应用】解方程$|2-x|-3|x+1|=$$x-9$（提示：可以考虑先对“$x$”的取值进行分类，去了一个绝对值符号后，再对“$x$”的取值进行分类，去掉另一个绝对值符号）。
(3)【迁移应用】求$|x-8|+|x+2025|$的最小值。
答案
12. 解:(1) 当 $x＜5$ 时,原方程可化为$2(5-x)=2x+5-x$,解得 $x=\dfrac{5}{3}$,符合 $x＜5$;当 $x≥ 5$ 时,原方程可化为 $2(x-5)=2x+x-5$,解得 $x=-5$,不符合 $x≥ 5$,舍去. 所以原方程的解为 $x=\dfrac{5}{3}$.
(2) 当 $x＜-1$ 时,原方程可化为 $2-x+3(x+1)=x-9$,解得 $x=-14$,符合 $x＜-1$;当 $-1≤ x＜2$ 时,原方程可化为 $2-x-3(x+1)=x-9$,解得 $x=\dfrac{8}{5}$,符合 $-1≤ x＜2$;当$x≥ 2$ 时,原方程可化为 $x-2-3(x+1)=x-9$,解得 $x=\dfrac{4}{3}$,不符合 $x≥ 2$,舍去. 所以原方程的解为 $x=-14$ 或 $x=\dfrac{8}{5}$.
(3) 当 $x＜-2\ 025$ 时,$|x-8|+|x+2\ 025|=8-x-2\ 025-x=-2\ 017-2x＞2\ 033$;当$-2\ 025≤ x≤ 8$ 时,$|x-8|+|x+2\ 025|=8-x+2\ 025+x=2\ 033$;当 $x＞8$ 时,$|x-8|+|x+2\ 025|=x-8+2\ 025+x=2\ 017+2x＞2\ 033$.所以$|x-8|+|x+2\ 025|$的最小值为 2 033.
(2) 当 $x＜-1$ 时,原方程可化为 $2-x+3(x+1)=x-9$,解得 $x=-14$,符合 $x＜-1$;当 $-1≤ x＜2$ 时,原方程可化为 $2-x-3(x+1)=x-9$,解得 $x=\dfrac{8}{5}$,符合 $-1≤ x＜2$;当$x≥ 2$ 时,原方程可化为 $x-2-3(x+1)=x-9$,解得 $x=\dfrac{4}{3}$,不符合 $x≥ 2$,舍去. 所以原方程的解为 $x=-14$ 或 $x=\dfrac{8}{5}$.
(3) 当 $x＜-2\ 025$ 时,$|x-8|+|x+2\ 025|=8-x-2\ 025-x=-2\ 017-2x＞2\ 033$;当$-2\ 025≤ x≤ 8$ 时,$|x-8|+|x+2\ 025|=8-x+2\ 025+x=2\ 033$;当 $x＞8$ 时,$|x-8|+|x+2\ 025|=x-8+2\ 025+x=2\ 017+2x＞2\ 033$.所以$|x-8|+|x+2\ 025|$的最小值为 2 033.
解析
【分析】
这是一道绝对值相关的阅读理解类题型，解题核心是题目给出的零点分段去绝对值思路，思考路径如下：
1. 第(1)问：观察到两个绝对值内部都和$x-5$相关，先找到绝对值零点$x=5$，以$x=5$为分界点把$x$的取值划分为$x＜5$和$x≥5$两类，每一类中根据绝对值性质去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程求解，最后检验解是否符合当前分类的取值范围，不符合就舍去。
2. 第(2)问：方程含两个不同的绝对值，先分别令绝对值内部为0，得到两个零点$x=-1$和$x=2$，这两个零点把数轴划分为$x＜-1$、$-1≤x＜2$、$x≥2$三个区间，每个区间内两个绝对值的正负性完全确定，直接去绝对值转化为一元一次方程求解，再验证解是否落在对应区间内，排除增根。
3. 第(3)问：求两个绝对值的和的最小值，同样先找到两个零点$x=-2025$和$x=8$，分三个区间化简表达式，得到每个区间内式子的取值范围，对比后即可得到最小值，也可结合几何意义理解：该式表示数轴上点$x$到点8和点-2025的距离之和，最小值就是两点间的距离。
【解析】
(1) 解方程$2|x-5|=2x+|5-x|$
该方程绝对值零点为$x=5$，分两类讨论：
① 当$x＜5$时，$|x-5|=5-x$，$|5-x|=5-x$，原方程化为：
$2(5-x)=2x+5-x$
展开整理得$10-2x=x+5$，解得$x=\dfrac{5}{3}$，满足$x＜5$，是有效解；
② 当$x≥5$时，$|x-5|=x-5$，$|5-x|=x-5$，原方程化为：
$2(x-5)=2x+x-5$
展开整理得$2x-10=3x-5$，解得$x=-5$，不满足$x≥5$，舍去。
(2) 解方程$|2-x|-3|x+1|=x-9$
两个绝对值的零点为$x=-1$和$x=2$，分三类讨论：
① 当$x＜-1$时，$|2-x|=2-x$，$|x+1|=-x-1$，原方程化为：
$2-x-3(-x-1)=x-9$
展开整理得$2x+5=x-9$，解得$x=-14$，满足$x＜-1$，是有效解；
② 当$-1≤x＜2$时，$|2-x|=2-x$，$|x+1|=x+1$，原方程化为：
$2-x-3(x+1)=x-9$
展开整理得$-4x-1=x-9$，解得$x=\dfrac{8}{5}$，满足$-1≤x＜2$，是有效解；
③ 当$x≥2$时，$|2-x|=x-2$，$|x+1|=x+1$，原方程化为：
$x-2-3(x+1)=x-9$
展开整理得$-2x-5=x-9$，解得$x=\dfrac{4}{3}$，不满足$x≥2$，舍去。
(3) 求$|x-8|+|x+2025|$的最小值
两个绝对值的零点为$x=-2025$和$x=8$，分三类讨论：
① 当$x＜-2025$时，原式$=8-x-2025-x=-2017-2x$，此时$x＜-2025$，可得$-2017-2x＞2033$；
② 当$-2025≤x≤8$时，原式$=8-x+2025+x=2033$，值恒为2033；
③ 当$x＞8$时，原式$=x-8+2025+x=2017+2x$，此时$x＞8$，可得$2017+2x＞2033$；
对比三个区间的取值，可得该式的最小值为2033。
【答案】
(1) $x=\dfrac{5}{3}$；(2) $x=-14$或$x=\dfrac{8}{5}$；(3) 最小值为2033
【知识点】
绝对值的性质；零点分段法解绝对值方程；绝对值几何意义求最值
【点评】
本题是典型的绝对值拓展类阅读理解题，难度梯度设置合理，从模仿示例解题到自主分类讨论再到迁移求最值，层层递进。核心考点是零点分段讨论法，需要特别注意分类得到的解必须验证是否落在对应区间内，避免出现增根，第三问也可以借助数轴上两点距离的几何含义快速得到结果，简化计算过程。
【难度系数】
0.5
这是一道绝对值相关的阅读理解类题型，解题核心是题目给出的零点分段去绝对值思路，思考路径如下：
1. 第(1)问：观察到两个绝对值内部都和$x-5$相关，先找到绝对值零点$x=5$，以$x=5$为分界点把$x$的取值划分为$x＜5$和$x≥5$两类，每一类中根据绝对值性质去掉绝对值符号，转化为普通一元一次方程求解，最后检验解是否符合当前分类的取值范围，不符合就舍去。
2. 第(2)问：方程含两个不同的绝对值，先分别令绝对值内部为0，得到两个零点$x=-1$和$x=2$，这两个零点把数轴划分为$x＜-1$、$-1≤x＜2$、$x≥2$三个区间，每个区间内两个绝对值的正负性完全确定，直接去绝对值转化为一元一次方程求解，再验证解是否落在对应区间内，排除增根。
3. 第(3)问：求两个绝对值的和的最小值，同样先找到两个零点$x=-2025$和$x=8$，分三个区间化简表达式，得到每个区间内式子的取值范围，对比后即可得到最小值，也可结合几何意义理解：该式表示数轴上点$x$到点8和点-2025的距离之和，最小值就是两点间的距离。
【解析】
(1) 解方程$2|x-5|=2x+|5-x|$
该方程绝对值零点为$x=5$，分两类讨论：
① 当$x＜5$时，$|x-5|=5-x$，$|5-x|=5-x$，原方程化为：
$2(5-x)=2x+5-x$
展开整理得$10-2x=x+5$，解得$x=\dfrac{5}{3}$，满足$x＜5$，是有效解；
② 当$x≥5$时，$|x-5|=x-5$，$|5-x|=x-5$，原方程化为：
$2(x-5)=2x+x-5$
展开整理得$2x-10=3x-5$，解得$x=-5$，不满足$x≥5$，舍去。
(2) 解方程$|2-x|-3|x+1|=x-9$
两个绝对值的零点为$x=-1$和$x=2$，分三类讨论：
① 当$x＜-1$时，$|2-x|=2-x$，$|x+1|=-x-1$，原方程化为：
$2-x-3(-x-1)=x-9$
展开整理得$2x+5=x-9$，解得$x=-14$，满足$x＜-1$，是有效解；
② 当$-1≤x＜2$时，$|2-x|=2-x$，$|x+1|=x+1$，原方程化为：
$2-x-3(x+1)=x-9$
展开整理得$-4x-1=x-9$，解得$x=\dfrac{8}{5}$，满足$-1≤x＜2$，是有效解；
③ 当$x≥2$时，$|2-x|=x-2$，$|x+1|=x+1$，原方程化为：
$x-2-3(x+1)=x-9$
展开整理得$-2x-5=x-9$，解得$x=\dfrac{4}{3}$，不满足$x≥2$，舍去。
(3) 求$|x-8|+|x+2025|$的最小值
两个绝对值的零点为$x=-2025$和$x=8$，分三类讨论：
① 当$x＜-2025$时，原式$=8-x-2025-x=-2017-2x$，此时$x＜-2025$，可得$-2017-2x＞2033$；
② 当$-2025≤x≤8$时，原式$=8-x+2025+x=2033$，值恒为2033；
③ 当$x＞8$时，原式$=x-8+2025+x=2017+2x$，此时$x＞8$，可得$2017+2x＞2033$；
对比三个区间的取值，可得该式的最小值为2033。
【答案】
(1) $x=\dfrac{5}{3}$；(2) $x=-14$或$x=\dfrac{8}{5}$；(3) 最小值为2033
【知识点】
绝对值的性质；零点分段法解绝对值方程；绝对值几何意义求最值
【点评】
本题是典型的绝对值拓展类阅读理解题，难度梯度设置合理，从模仿示例解题到自主分类讨论再到迁移求最值，层层递进。核心考点是零点分段讨论法，需要特别注意分类得到的解必须验证是否落在对应区间内，避免出现增根，第三问也可以借助数轴上两点距离的几何含义快速得到结果，简化计算过程。
【难度系数】
0.5
