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10. 某校举行了主题为“扛红旗、当先锋、学党史”的知识竞赛,一共有 30 道题,每答对一题得4分,答错或不答扣2分.
(1)小明参加了此竞赛,得90分,则他答对了多少道题?
(2)小刚也参加了此竞赛,考完后自信满满,说:"这次竞赛我会得100分!"你认为可能吗?并说明理由.
(1)小明参加了此竞赛,得90分,则他答对了多少道题?
(2)小刚也参加了此竞赛,考完后自信满满,说:"这次竞赛我会得100分!"你认为可能吗?并说明理由.
答案
10. 解:(1)设小明答对了x道题.根据题意,得$4x-2(30-x)=90$,解得$x=25$.所以小明答对了25道题.
(2)不可能.理由如下:
设小刚答对了y道题.若他的得分是100分,则$4y-2(30-y)=100$,解得$y=\dfrac{80}{3}$.因为y不能为分数,所以小刚不可能得100分.
(2)不可能.理由如下:
设小刚答对了y道题.若他的得分是100分,则$4y-2(30-y)=100$,解得$y=\dfrac{80}{3}$.因为y不能为分数,所以小刚不可能得100分.
解析
【分析】
这是典型的得分类一元一次方程实际应用题，解题思路如下：1. 第一问已知总得分，先明确等量关系：最终总得分=答对题目总得分 - 答错/不答题目总扣分数，总题数为30，设答对题数为未知数，即可用总题数表示出错题/不答题的数量，代入等量关系列方程求解就能得到答对的题数。2. 第二问判断能否得到100分，我们可以先假设得100分的情况成立，同样按照得分规则列方程，解出对应的答对题数，结合“答对题数必须是正整数”的实际隐含条件，判断解是否符合现实意义，即可得出结论。
【解析】
(1) 设小明答对了x道题，则他答错或不答的题目数量为(30-x)道。
根据得分规则列方程：
$4x - 2(30 - x) = 90$
展开并整理方程：
$4x - 60 + 2x = 90$
$6x = 150$
解得：$x=25$
(2) 假设小刚可以获得100分，设此时小刚答对了y道题，则答错或不答的题目数量为(30-y)道。
根据题意列方程：
$4y - 2(30 - y) = 100$
展开并整理方程：
$4y - 60 + 2y = 100$
$6y = 160$
解得：$y=\frac{80}{3}$
由于y代表答对的题目数量，必须是正整数，而$\frac{80}{3}$不是整数，不符合实际答题的要求，因此小刚不可能得到100分。
【答案】
(1) 小明答对了25道题；(2) 不可能，因为解得对应答对题数为$\frac{80}{3}$，不是整数，不符合实际意义，因此小刚无法得到100分。
【知识点】
一元一次方程应用，实际问题整数解
【点评】
本题是初中数学方程应用的经典基础题型，核心考察学生对实际问题中等量关系的梳理能力，易错点是倒扣分数的运算容易出错，第二问需要额外注意题数必须为正整数的隐含条件，不能仅停留在解方程的步骤，要结合现实场景判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
这是典型的得分类一元一次方程实际应用题，解题思路如下：1. 第一问已知总得分，先明确等量关系：最终总得分=答对题目总得分 - 答错/不答题目总扣分数，总题数为30，设答对题数为未知数，即可用总题数表示出错题/不答题的数量，代入等量关系列方程求解就能得到答对的题数。2. 第二问判断能否得到100分，我们可以先假设得100分的情况成立，同样按照得分规则列方程，解出对应的答对题数，结合“答对题数必须是正整数”的实际隐含条件，判断解是否符合现实意义，即可得出结论。
【解析】
(1) 设小明答对了x道题，则他答错或不答的题目数量为(30-x)道。
根据得分规则列方程：
$4x - 2(30 - x) = 90$
展开并整理方程：
$4x - 60 + 2x = 90$
$6x = 150$
解得：$x=25$
(2) 假设小刚可以获得100分，设此时小刚答对了y道题，则答错或不答的题目数量为(30-y)道。
根据题意列方程：
$4y - 2(30 - y) = 100$
展开并整理方程：
$4y - 60 + 2y = 100$
$6y = 160$
解得：$y=\frac{80}{3}$
由于y代表答对的题目数量，必须是正整数，而$\frac{80}{3}$不是整数，不符合实际答题的要求，因此小刚不可能得到100分。
【答案】
(1) 小明答对了25道题；(2) 不可能，因为解得对应答对题数为$\frac{80}{3}$，不是整数，不符合实际意义，因此小刚无法得到100分。
【知识点】
一元一次方程应用，实际问题整数解
【点评】
本题是初中数学方程应用的经典基础题型，核心考察学生对实际问题中等量关系的梳理能力，易错点是倒扣分数的运算容易出错，第二问需要额外注意题数必须为正整数的隐含条件，不能仅停留在解方程的步骤，要结合现实场景判断解的合理性。
【难度系数】
0.7
11. 如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器(足够高),底面半径之比为$1:2:1$,用两根相同
的管子在容器的5 cm高度处连接(即管子底端离容器底5 cm),现三个容器中,只有甲中有水,水位高1 cm.若每分钟同时向乙和丙较为缓慢地注入相同量的水,注水 1 min 时,乙的水位高度为$\dfrac{5}{6}\ {cm}$,则当甲与乙的水位高度之差是0.5 cm时,注水时间为
的管子在容器的5 cm高度处连接(即管子底端离容器底5 cm),现三个容器中,只有甲中有水,水位高1 cm.若每分钟同时向乙和丙较为缓慢地注入相同量的水,注水 1 min 时,乙的水位高度为$\dfrac{5}{6}\ {cm}$,则当甲与乙的水位高度之差是0.5 cm时,注水时间为
$\dfrac{3}{5}$或$\dfrac{33}{20}$或$\dfrac{171}{40}$
min.答案
11. $\dfrac{3}{5}$或$\dfrac{33}{20}$或$\dfrac{171}{40}$ 提示:由题意可知,注水1 min,乙的水位上升$\dfrac{5}{6}$ cm,丙的水位上升$\dfrac{10}{3}$ cm.设开始注入t min的水量后,甲与乙的水位高度之差是0.5 cm,有三种情况:①当乙的水位低于甲的水位时,由$1-\dfrac{5}{6}t=0.5$,解得$t=\dfrac{3}{5}$.②当甲的水位低于乙的水位,且甲的水位不变时,由$\dfrac{5}{6}t-1=0.5$,解得$t=\dfrac{9}{5}$.因为$\dfrac{10}{3}×\dfrac{9}{5}=6(\mathrm{cm})＞5\ \mathrm{cm}$,所以此时丙容器已向乙容器注水.因为$5÷\dfrac{10}{3}=\dfrac{3}{2}(\min)$,$\dfrac{5}{6}×\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{4}(\mathrm{cm})$,所以$\dfrac{5}{4}+2×\dfrac{5}{6}(t-\dfrac{3}{2})-1=0.5$,解得$t=\dfrac{33}{20}$.③当甲的水位低于乙的水位且乙的水位到达管子底端而甲的水位上升时,因为乙的水位到达管子底端的时间为$\dfrac{3}{2}+(5-\dfrac{5}{4})÷\dfrac{5}{6}÷2=\dfrac{15}{4}(\min)$,所以$5-1-2×\dfrac{10}{3}(t-\dfrac{15}{4})=0.5$,解得$t=\dfrac{171}{40}$.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 首先根据圆柱底面积公式$S=π r^2$，由底面半径比$1:2:1$，得到甲、乙、丙的底面积之比为$1:4:1$。
2. 已知每分钟向乙、丙注入相同体积的水，注水1min乙水位上升$\frac{5}{6}\ \mathrm{cm}$，结合体积$V=Sh$，相同体积下水位上升高度与底面积成反比，算出丙的水位上升速度为$\frac{10}{3}\ \mathrm{cm/min}$。
3. 由于连接管在5cm高度，水位先后到达5cm的顺序是丙、乙、甲，因此分三种情况讨论甲乙水位差为0.5cm的所有可能：
① 乙的水位还低于甲初始的1cm，此时甲水位始终为1cm，甲比乙高0.5cm列方程；
② 乙水位超过1cm，但丙水位已经到达5cm，丙的水开始向乙溢流，此时乙的水位上升速度改变，乙比甲高0.5cm列方程，验证此时甲水位仍未上升；
③ 乙水位也到达5cm，之后水开始向甲溢流，甲的水位开始上升，此时甲乙水位差为0.5cm列方程，最终得到所有符合条件的解。
【解析】
解：
1. 推导底面积与初始水位上升速度：
已知甲、乙、丙底面半径比为$1:2:1$，由$S=π r^2$得底面积比$S_甲:S_乙:S_丙=1:4:1$。
设$S_甲=k$，则$S_乙=4k$，$S_丙=k$，每分钟向乙、丙注入的水体积都是$V$：
注水1min乙水位为$\frac{5}{6}\ \mathrm{cm}$，即$V = S_乙 × \frac{5}{6} = 4k × \frac{5}{6}$，
则丙的水位1min上升高度$h_丙 = \frac{V}{S_丙} = \frac{4k× \frac{5}{6}}{k} = \frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$，即初始阶段乙水位上升速度为$\frac{5}{6}\ \mathrm{cm/min}$，丙水位上升速度为$\frac{10}{3}\ \mathrm{cm/min}$。
2. 分三种情况求解：
情况①：乙的水位低于甲的水位，此时甲水位保持初始的1cm，甲乙水位差为0.5cm：
$1 - \frac{5}{6}t = 0.5$
解得$t=\frac{3}{5}$，符合该阶段前提，解有效。
情况②：甲的水位低于乙的水位，且甲的水位仍为1cm不变，先验证丙是否溢流：若丙未溢流，由$\frac{5}{6}t -1=0.5$解得$t=\frac{9}{5}$，此时丙水位为$\frac{10}{3}×\frac{9}{5}=6\ \mathrm{cm}＞5\ \mathrm{cm}$，说明丙已到达5cm开始向乙溢流。
丙注满到5cm的时间：$t_1=5÷\frac{10}{3}=\frac{3}{2}\ \mathrm{min}$，此时乙的水位为$\frac{5}{6}×\frac{3}{2}=\frac{5}{4}\ \mathrm{cm}$。
丙溢流后，每分钟注入乙的总水量变为$2V$，乙的水位上升速度变为$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm/min}$，列方程：
$\frac{5}{4} + \frac{5}{3}(t-\frac{3}{2}) - 1 = 0.5$
解得$t=\frac{33}{20}$，符合该阶段乙水位未到5cm的前提，解有效。
情况③：乙的水位也到达5cm，之后水开始向甲溢流，甲的水位开始上升：
乙水位到达5cm的总时间：$t_2=\frac{3}{2} + (5-\frac{5}{4})÷\frac{5}{3}=\frac{15}{4}\ \mathrm{min}$。
乙溢流后，每分钟注入甲的总水量变为$2V$，甲的水位上升速度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{cm/min}$，此时乙水位保持5cm，甲乙差0.5cm即甲水位为4.5cm，列方程：
$5 - 1 - \frac{20}{3}(t-\frac{15}{4}) = 0.5$
解得$t=\frac{171}{40}$，符合该阶段前提，解有效。
综上所有符合条件的注水时间为$\frac{3}{5}\ \mathrm{min}$、$\frac{33}{20}\ \mathrm{min}$、$\frac{171}{40}\ \mathrm{min}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$或$\dfrac{33}{20}$或$\dfrac{171}{40}$
【知识点】
圆柱体积计算；分段动态问题；分类讨论思想
【点评】
本题是多容器连通注水的动态问题，核心是根据连通管的5cm临界高度，梳理出三个不同的水位上升阶段，每个阶段的水位上升速度会发生变化，很容易漏解后两种溢流场景的解，对学生的逻辑严谨性要求较高，需要逐一验证每个解的场景合理性，避免出现不符合实际的无效解。
【难度系数】
0.2
解题思路如下：
1. 首先根据圆柱底面积公式$S=π r^2$，由底面半径比$1:2:1$，得到甲、乙、丙的底面积之比为$1:4:1$。
2. 已知每分钟向乙、丙注入相同体积的水，注水1min乙水位上升$\frac{5}{6}\ \mathrm{cm}$，结合体积$V=Sh$，相同体积下水位上升高度与底面积成反比，算出丙的水位上升速度为$\frac{10}{3}\ \mathrm{cm/min}$。
3. 由于连接管在5cm高度，水位先后到达5cm的顺序是丙、乙、甲，因此分三种情况讨论甲乙水位差为0.5cm的所有可能：
① 乙的水位还低于甲初始的1cm，此时甲水位始终为1cm，甲比乙高0.5cm列方程；
② 乙水位超过1cm，但丙水位已经到达5cm，丙的水开始向乙溢流，此时乙的水位上升速度改变，乙比甲高0.5cm列方程，验证此时甲水位仍未上升；
③ 乙水位也到达5cm，之后水开始向甲溢流，甲的水位开始上升，此时甲乙水位差为0.5cm列方程，最终得到所有符合条件的解。
【解析】
解：
1. 推导底面积与初始水位上升速度：
已知甲、乙、丙底面半径比为$1:2:1$，由$S=π r^2$得底面积比$S_甲:S_乙:S_丙=1:4:1$。
设$S_甲=k$，则$S_乙=4k$，$S_丙=k$，每分钟向乙、丙注入的水体积都是$V$：
注水1min乙水位为$\frac{5}{6}\ \mathrm{cm}$，即$V = S_乙 × \frac{5}{6} = 4k × \frac{5}{6}$，
则丙的水位1min上升高度$h_丙 = \frac{V}{S_丙} = \frac{4k× \frac{5}{6}}{k} = \frac{10}{3}\ \mathrm{cm}$，即初始阶段乙水位上升速度为$\frac{5}{6}\ \mathrm{cm/min}$，丙水位上升速度为$\frac{10}{3}\ \mathrm{cm/min}$。
2. 分三种情况求解：
情况①：乙的水位低于甲的水位，此时甲水位保持初始的1cm，甲乙水位差为0.5cm：
$1 - \frac{5}{6}t = 0.5$
解得$t=\frac{3}{5}$，符合该阶段前提，解有效。
情况②：甲的水位低于乙的水位，且甲的水位仍为1cm不变，先验证丙是否溢流：若丙未溢流，由$\frac{5}{6}t -1=0.5$解得$t=\frac{9}{5}$，此时丙水位为$\frac{10}{3}×\frac{9}{5}=6\ \mathrm{cm}＞5\ \mathrm{cm}$，说明丙已到达5cm开始向乙溢流。
丙注满到5cm的时间：$t_1=5÷\frac{10}{3}=\frac{3}{2}\ \mathrm{min}$，此时乙的水位为$\frac{5}{6}×\frac{3}{2}=\frac{5}{4}\ \mathrm{cm}$。
丙溢流后，每分钟注入乙的总水量变为$2V$，乙的水位上升速度变为$\frac{5}{3}\ \mathrm{cm/min}$，列方程：
$\frac{5}{4} + \frac{5}{3}(t-\frac{3}{2}) - 1 = 0.5$
解得$t=\frac{33}{20}$，符合该阶段乙水位未到5cm的前提，解有效。
情况③：乙的水位也到达5cm，之后水开始向甲溢流，甲的水位开始上升：
乙水位到达5cm的总时间：$t_2=\frac{3}{2} + (5-\frac{5}{4})÷\frac{5}{3}=\frac{15}{4}\ \mathrm{min}$。
乙溢流后，每分钟注入甲的总水量变为$2V$，甲的水位上升速度为$\frac{20}{3}\ \mathrm{cm/min}$，此时乙水位保持5cm，甲乙差0.5cm即甲水位为4.5cm，列方程：
$5 - 1 - \frac{20}{3}(t-\frac{15}{4}) = 0.5$
解得$t=\frac{171}{40}$，符合该阶段前提，解有效。
综上所有符合条件的注水时间为$\frac{3}{5}\ \mathrm{min}$、$\frac{33}{20}\ \mathrm{min}$、$\frac{171}{40}\ \mathrm{min}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$或$\dfrac{33}{20}$或$\dfrac{171}{40}$
【知识点】
圆柱体积计算；分段动态问题；分类讨论思想
【点评】
本题是多容器连通注水的动态问题，核心是根据连通管的5cm临界高度，梳理出三个不同的水位上升阶段，每个阶段的水位上升速度会发生变化，很容易漏解后两种溢流场景的解，对学生的逻辑严谨性要求较高，需要逐一验证每个解的场景合理性，避免出现不符合实际的无效解。
【难度系数】
0.2
12. 有一些相同的房间需要粉刷.一天3名师傅去粉刷8个房间,结果有$40\ \mathrm{m}^2$墙面还没来得及粉刷;同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面.已知每名师傅比徒弟一天多粉刷$30\ \mathrm{m}^2$的墙面.
(1) 求每个房间需要粉刷的墙面面积.
(2) 张老板现有36个这样的房间需要粉刷,若请1名师傅带2名徒弟去,则需要几天完成?
(3) 已知每名师傅、徒弟每天的工资分别是350元、280元,张老板要求在3天内完成36个这样的房间的粉刷任务,则在这8个人中雇用人员的最少费用是多少?(被雇用的工人必须同时开工,同时收工)
(1) 求每个房间需要粉刷的墙面面积.
(2) 张老板现有36个这样的房间需要粉刷,若请1名师傅带2名徒弟去,则需要几天完成?
(3) 已知每名师傅、徒弟每天的工资分别是350元、280元,张老板要求在3天内完成36个这样的房间的粉刷任务,则在这8个人中雇用人员的最少费用是多少?(被雇用的工人必须同时开工,同时收工)
答案
12. 解:(1)设每名徒弟一天粉刷的面积为$x\ \mathrm{m}^2$,则每名师傅一天粉刷的面积为$(x+30)\mathrm{m}^2$.根据题意,得$\dfrac{3(x+30)+40}{8}=\dfrac{5x}{9}$,解得$x=90$.所以$\dfrac{5x}{9}=50(\mathrm{m}^2)$,所以每个房间需要粉刷的墙面面积为$50\ \mathrm{m}^2$.
(2) 由(1)可知,每名徒弟一天粉刷的面积为$90\ \mathrm{m}^2$,每名师傅一天粉刷的面积为$120\ \mathrm{m}^2$.所以请1名师傅带2名徒弟去,需要$\dfrac{36×50}{120+90×2}=6$(天)完成.
(3) 若想在3天内完成,则每天粉刷的面积最少为$\dfrac{36×50}{3}=600(\mathrm{m}^2)$.雇用3个师傅和3个徒弟时,每天粉刷的面积是$3×(120+90)=630(\mathrm{m}^2)＞600(\mathrm{m}^2)$,费用是$3×3×(350+280)=5\ 670$(元);雇用2个师傅和4个徒弟时,每天粉刷的面积是$2×120+4×90=600(\mathrm{m}^2)$,费用是$3×(2×350+4×280)=5\ 460$(元);雇用1个师傅和5个徒弟时,每天粉刷的面积是$1×120+5×90=570(\mathrm{m}^2)＜600(\mathrm{m}^2)$,不符合要求.所以在这8个人中,雇用2个师傅和4个徒弟费用最少,最少费用为5 460元.
(2) 由(1)可知,每名徒弟一天粉刷的面积为$90\ \mathrm{m}^2$,每名师傅一天粉刷的面积为$120\ \mathrm{m}^2$.所以请1名师傅带2名徒弟去,需要$\dfrac{36×50}{120+90×2}=6$(天)完成.
(3) 若想在3天内完成,则每天粉刷的面积最少为$\dfrac{36×50}{3}=600(\mathrm{m}^2)$.雇用3个师傅和3个徒弟时,每天粉刷的面积是$3×(120+90)=630(\mathrm{m}^2)＞600(\mathrm{m}^2)$,费用是$3×3×(350+280)=5\ 670$(元);雇用2个师傅和4个徒弟时,每天粉刷的面积是$2×120+4×90=600(\mathrm{m}^2)$,费用是$3×(2×350+4×280)=5\ 460$(元);雇用1个师傅和5个徒弟时,每天粉刷的面积是$1×120+5×90=570(\mathrm{m}^2)＜600(\mathrm{m}^2)$,不符合要求.所以在这8个人中,雇用2个师傅和4个徒弟费用最少,最少费用为5 460元.
解析
【分析】
这是典型的工程类实际应用题，我们可以分三步逐步梳理思路：
1. 第一问求每个房间粉刷面积，已知每名师傅比徒弟一天多刷30㎡，我们可以先设徒弟单日粉刷面积为未知数，利用「两种场景下单个房间的粉刷面积相等」这个等量关系列方程：3名师傅一天刷的总面积加上剩余没刷的40㎡，就是8个房间的总墙面，除以8得到单房面积；5名徒弟一天刷的总面积是9个房间的总墙面，除以9也得到单房面积，二者相等就能解出徒弟单日粉刷量，进而算出单房面积。
2. 第二问直接用第一问得到的师徒单日粉刷效率，先算出36个房间的总粉刷面积，除以1名师傅加2名徒弟的单日总粉刷效率，就能得到需要的工期。
3. 第三问要先算出3天完成任务的前提下，每天至少需要粉刷的总面积，再在总人数不超过8人的约束下，枚举所有满足单日粉刷量达标、人数不超限的人员组合，分别计算总费用，对比后选出最低的费用即可。
【解析】
(1) 设每名徒弟一天粉刷的面积为$x\ \mathrm{m}^2$，则每名师傅一天粉刷的面积为$(x+30)\mathrm{m}^2$。
根据单个房间墙面面积相等的等量关系列方程：
$\dfrac{3(x+30)+40}{8}=\dfrac{5x}{9}$
展开化简得：$9(3x+130)=40x$，即$27x+1170=40x$，移项解得$x=90$。
代入得每个房间的墙面面积为$\dfrac{5x}{9}=\dfrac{5×90}{9}=50\ \mathrm{m}^2$。
(2) 由(1)可知，每名徒弟单日粉刷面积为$90\ \mathrm{m}^2$，每名师傅单日粉刷面积为$90+30=120\ \mathrm{m}^2$。
36个房间的总粉刷面积为$36×50=1800\ \mathrm{m}^2$，1名师傅带2名徒弟的单日总粉刷效率为$120 + 90×2=300\ \mathrm{m}^2$。
因此需要的天数为$\dfrac{1800}{300}=6$天。
(3) 要在3天内完成36个房间的粉刷任务，每天至少需要粉刷的面积为$\dfrac{36×50}{3}=600\ \mathrm{m}^2$，同时总雇用人数不能超过8人。
枚举所有符合条件的组合：
① 雇用1名师傅：至少需要6名徒弟，单日总粉刷量为$120+6×90=660\ \mathrm{m}^2$，总费用为$3×(350 + 6×280)=6090$元；
② 雇用2名师傅：至少需要4名徒弟，单日总粉刷量为$2×120+4×90=600\ \mathrm{m}^2$，总费用为$3×(2×350 + 4×280)=5460$元；
③ 雇用3名师傅：至少需要3名徒弟，单日总粉刷量为$3×120+3×90=630\ \mathrm{m}^2$，总费用为$3×(3×350+3×280)=5670$元。
对比所有方案，5460元为最低费用。
【答案】
(1) 每个房间需要粉刷的墙面面积为$50\ \mathrm{m}^2$；
(2) 需要6天完成；
(3) 最少费用为5460元。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题计算，最优方案选择
【点评】
本题是工程类实际应用的经典题型，三个小问难度层层递进，从基础的列方程求解未知量，到直接计算工期，再到结合人数、工期约束筛选成本最低的方案，既考察了学生对一元一次方程的掌握能力，也锻炼了学生结合实际条件枚举验证的逻辑思维，解题时要注意第三问不能忽略3天内完成的效率要求和总人数上限，避免选出不符合题意的错误方案。
【难度系数】
0.6
这是典型的工程类实际应用题，我们可以分三步逐步梳理思路：
1. 第一问求每个房间粉刷面积，已知每名师傅比徒弟一天多刷30㎡，我们可以先设徒弟单日粉刷面积为未知数，利用「两种场景下单个房间的粉刷面积相等」这个等量关系列方程：3名师傅一天刷的总面积加上剩余没刷的40㎡，就是8个房间的总墙面，除以8得到单房面积；5名徒弟一天刷的总面积是9个房间的总墙面，除以9也得到单房面积，二者相等就能解出徒弟单日粉刷量，进而算出单房面积。
2. 第二问直接用第一问得到的师徒单日粉刷效率，先算出36个房间的总粉刷面积，除以1名师傅加2名徒弟的单日总粉刷效率，就能得到需要的工期。
3. 第三问要先算出3天完成任务的前提下，每天至少需要粉刷的总面积，再在总人数不超过8人的约束下，枚举所有满足单日粉刷量达标、人数不超限的人员组合，分别计算总费用，对比后选出最低的费用即可。
【解析】
(1) 设每名徒弟一天粉刷的面积为$x\ \mathrm{m}^2$，则每名师傅一天粉刷的面积为$(x+30)\mathrm{m}^2$。
根据单个房间墙面面积相等的等量关系列方程：
$\dfrac{3(x+30)+40}{8}=\dfrac{5x}{9}$
展开化简得：$9(3x+130)=40x$，即$27x+1170=40x$，移项解得$x=90$。
代入得每个房间的墙面面积为$\dfrac{5x}{9}=\dfrac{5×90}{9}=50\ \mathrm{m}^2$。
(2) 由(1)可知，每名徒弟单日粉刷面积为$90\ \mathrm{m}^2$，每名师傅单日粉刷面积为$90+30=120\ \mathrm{m}^2$。
36个房间的总粉刷面积为$36×50=1800\ \mathrm{m}^2$，1名师傅带2名徒弟的单日总粉刷效率为$120 + 90×2=300\ \mathrm{m}^2$。
因此需要的天数为$\dfrac{1800}{300}=6$天。
(3) 要在3天内完成36个房间的粉刷任务，每天至少需要粉刷的面积为$\dfrac{36×50}{3}=600\ \mathrm{m}^2$，同时总雇用人数不能超过8人。
枚举所有符合条件的组合：
① 雇用1名师傅：至少需要6名徒弟，单日总粉刷量为$120+6×90=660\ \mathrm{m}^2$，总费用为$3×(350 + 6×280)=6090$元；
② 雇用2名师傅：至少需要4名徒弟，单日总粉刷量为$2×120+4×90=600\ \mathrm{m}^2$，总费用为$3×(2×350 + 4×280)=5460$元；
③ 雇用3名师傅：至少需要3名徒弟，单日总粉刷量为$3×120+3×90=630\ \mathrm{m}^2$，总费用为$3×(3×350+3×280)=5670$元。
对比所有方案，5460元为最低费用。
【答案】
(1) 每个房间需要粉刷的墙面面积为$50\ \mathrm{m}^2$；
(2) 需要6天完成；
(3) 最少费用为5460元。
【知识点】
一元一次方程应用，工程问题计算，最优方案选择
【点评】
本题是工程类实际应用的经典题型，三个小问难度层层递进，从基础的列方程求解未知量，到直接计算工期，再到结合人数、工期约束筛选成本最低的方案，既考察了学生对一元一次方程的掌握能力，也锻炼了学生结合实际条件枚举验证的逻辑思维，解题时要注意第三问不能忽略3天内完成的效率要求和总人数上限，避免选出不符合题意的错误方案。
【难度系数】
0.6
