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4. 小昭家与图书馆的距离为 3 600 m.周末,小昭和爸爸同时从家骑自行车去图书馆.爸爸先骑行 10 min,中途休息了 5 min,再骑行 7.5 min到达图书馆.小昭始终以 2.4 m/s 速度骑行,两人行驶的路程 s 与时间 t 的关系图像如图所示.
(1)求小昭在途中与爸爸第二次相遇时距图书馆的距离;
(2)要使小昭在途中能与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地),则他骑车的速度大小应在多大的取值范围内?(除不尽时保留一位小数)
(1)求小昭在途中与爸爸第二次相遇时距图书馆的距离;
(2)要使小昭在途中能与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地),则他骑车的速度大小应在多大的取值范围内?(除不尽时保留一位小数)
答案
(1)900 m (2)大于2 m/s且小于2.7 m/s
解析:(1)由图可知,小昭爸爸在15~22.5 min的速度v₁=s₁/t₁=1 800 m/(7.5×60 s)=4 m/s,由图可知,小昭在途中与爸爸第二次相遇时,时间应在15~22.5 min范围,设第二次相遇时小昭所用时间为t,小昭运动的距离s=v₂t=2.4 m/s×t……①,小昭爸爸运动的距离s=1 800 m+4 m/s×(t-15×60 s)……②,由①②解得t=1 125 s,s=2 700 m,第二次相遇时距图书馆的距离s₂=3 600 m-2 700 m=900 m.
(2)小昭到达图书馆的时间恰好为22.5 min时,小昭只能与爸爸相遇一次,此时小昭的速度v₂=s/t₂=3 600 m/(22.5×60 s)≈2.7 m/s.若小昭在15 min时才追上爸爸,小昭只能与爸爸相遇一次,此时小昭的速度v₃=s₁/t₃=1 800 m/(15×60 s)=2 m/s,要使小昭在途中能与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地),则小昭骑车的速度应大于2 m/s且小于2.7 m/s.
解析:(1)由图可知,小昭爸爸在15~22.5 min的速度v₁=s₁/t₁=1 800 m/(7.5×60 s)=4 m/s,由图可知,小昭在途中与爸爸第二次相遇时,时间应在15~22.5 min范围,设第二次相遇时小昭所用时间为t,小昭运动的距离s=v₂t=2.4 m/s×t……①,小昭爸爸运动的距离s=1 800 m+4 m/s×(t-15×60 s)……②,由①②解得t=1 125 s,s=2 700 m,第二次相遇时距图书馆的距离s₂=3 600 m-2 700 m=900 m.
(2)小昭到达图书馆的时间恰好为22.5 min时,小昭只能与爸爸相遇一次,此时小昭的速度v₂=s/t₂=3 600 m/(22.5×60 s)≈2.7 m/s.若小昭在15 min时才追上爸爸,小昭只能与爸爸相遇一次,此时小昭的速度v₃=s₁/t₃=1 800 m/(15×60 s)=2 m/s,要使小昭在途中能与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地),则小昭骑车的速度应大于2 m/s且小于2.7 m/s.
解析
【分析】
要解决本题，需先读懂s-t图像，明确爸爸和小昭的运动过程：爸爸的运动分为0~10min骑行、10~15min休息、15~22.5min继续骑行三段；小昭全程匀速运动。
(1) 求第二次相遇时距图书馆的距离：先计算爸爸在15~22.5min的骑行速度，第二次相遇发生在爸爸休息后继续骑行的阶段，此时小昭的路程等于爸爸的路程，分别列出两者的路程表达式，联立方程求出相遇时间，再计算相遇时的路程，最后用总路程减去该路程得到距图书馆的距离。
(2) 求恰好相遇两次的速度范围：需找到两个临界情况，一是小昭刚好在爸爸休息结束时（15min）追上爸爸，此时速度为下限；二是小昭刚好和爸爸同时到达图书馆（22.5min），此时速度为上限，结合“不包括家、图书馆两地相遇两次”的条件，确定速度范围。
【解析】
(1) 爸爸在15~22.5min骑行的路程：$s_1=3600\ \mathrm{m}-1800\ \mathrm{m}=1800\ \mathrm{m}$，所用时间：$t_1=22.5\ \mathrm{min}-15\ \mathrm{min}=7.5\ \mathrm{min}=7.5×60\ \mathrm{s}=450\ \mathrm{s}$，则爸爸这段的速度：$v_1=\frac{s_1}{t_1}=\frac{1800\ \mathrm{m}}{450\ \mathrm{s}}=4\ \mathrm{m/s}$。
设第二次相遇时总时间为$t$（单位：$\mathrm{s}$），小昭的路程：$s=v_2 t=2.4\ \mathrm{m/s} × t$；爸爸的路程：$s=1800\ \mathrm{m} + v_1(t - 15×60\ \mathrm{s})=1800\ \mathrm{m} + 4\ \mathrm{m/s} × (t - 900\ \mathrm{s})$。
联立两式：$2.4t = 1800 + 4(t - 900)$，
展开得：$2.4t = 1800 + 4t - 3600$，
移项化简：$1.6t=1800$，解得$t=1125\ \mathrm{s}$。
此时小昭的路程：$s=2.4\ \mathrm{m/s} × 1125\ \mathrm{s}=2700\ \mathrm{m}$，距图书馆的距离：$\Delta s=3600\ \mathrm{m}-2700\ \mathrm{m}=900\ \mathrm{m}$。
(2) 找临界速度：
① 当小昭刚好在爸爸休息结束时（$t=15\ \mathrm{min}=900\ \mathrm{s}$）追上爸爸，此时速度为下限：$v_{\mathrm{下}}=\frac{1800\ \mathrm{m}}{900\ \mathrm{s}}=2\ \mathrm{m/s}$；
② 当小昭和爸爸同时到达图书馆（$t=22.5\ \mathrm{min}=1350\ \mathrm{s}$），此时速度为上限：$v_{\mathrm{上}}=\frac{3600\ \mathrm{m}}{1350\ \mathrm{s}}\approx2.7\ \mathrm{m/s}$。
要使小昭在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），则速度范围为：大于$2\ \mathrm{m/s}$且小于$2.7\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
(1)900 m；(2)大于2 m/s且小于2.7 m/s
【知识点】
s-t图像应用、速度公式、相遇问题
【点评】
本题结合s-t图像考查运动学相遇问题，需准确分析图像各段的运动状态，通过列方程求解，关键是找到相遇的临界情况，区分不同阶段的运动时间和路程，难度适中。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需先读懂s-t图像，明确爸爸和小昭的运动过程：爸爸的运动分为0~10min骑行、10~15min休息、15~22.5min继续骑行三段；小昭全程匀速运动。
(1) 求第二次相遇时距图书馆的距离：先计算爸爸在15~22.5min的骑行速度，第二次相遇发生在爸爸休息后继续骑行的阶段，此时小昭的路程等于爸爸的路程，分别列出两者的路程表达式，联立方程求出相遇时间，再计算相遇时的路程，最后用总路程减去该路程得到距图书馆的距离。
(2) 求恰好相遇两次的速度范围：需找到两个临界情况，一是小昭刚好在爸爸休息结束时（15min）追上爸爸，此时速度为下限；二是小昭刚好和爸爸同时到达图书馆（22.5min），此时速度为上限，结合“不包括家、图书馆两地相遇两次”的条件，确定速度范围。
【解析】
(1) 爸爸在15~22.5min骑行的路程：$s_1=3600\ \mathrm{m}-1800\ \mathrm{m}=1800\ \mathrm{m}$，所用时间：$t_1=22.5\ \mathrm{min}-15\ \mathrm{min}=7.5\ \mathrm{min}=7.5×60\ \mathrm{s}=450\ \mathrm{s}$，则爸爸这段的速度：$v_1=\frac{s_1}{t_1}=\frac{1800\ \mathrm{m}}{450\ \mathrm{s}}=4\ \mathrm{m/s}$。
设第二次相遇时总时间为$t$（单位：$\mathrm{s}$），小昭的路程：$s=v_2 t=2.4\ \mathrm{m/s} × t$；爸爸的路程：$s=1800\ \mathrm{m} + v_1(t - 15×60\ \mathrm{s})=1800\ \mathrm{m} + 4\ \mathrm{m/s} × (t - 900\ \mathrm{s})$。
联立两式：$2.4t = 1800 + 4(t - 900)$，
展开得：$2.4t = 1800 + 4t - 3600$，
移项化简：$1.6t=1800$，解得$t=1125\ \mathrm{s}$。
此时小昭的路程：$s=2.4\ \mathrm{m/s} × 1125\ \mathrm{s}=2700\ \mathrm{m}$，距图书馆的距离：$\Delta s=3600\ \mathrm{m}-2700\ \mathrm{m}=900\ \mathrm{m}$。
(2) 找临界速度：
① 当小昭刚好在爸爸休息结束时（$t=15\ \mathrm{min}=900\ \mathrm{s}$）追上爸爸，此时速度为下限：$v_{\mathrm{下}}=\frac{1800\ \mathrm{m}}{900\ \mathrm{s}}=2\ \mathrm{m/s}$；
② 当小昭和爸爸同时到达图书馆（$t=22.5\ \mathrm{min}=1350\ \mathrm{s}$），此时速度为上限：$v_{\mathrm{上}}=\frac{3600\ \mathrm{m}}{1350\ \mathrm{s}}\approx2.7\ \mathrm{m/s}$。
要使小昭在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），则速度范围为：大于$2\ \mathrm{m/s}$且小于$2.7\ \mathrm{m/s}$。
【答案】
(1)900 m；(2)大于2 m/s且小于2.7 m/s
【知识点】
s-t图像应用、速度公式、相遇问题
【点评】
本题结合s-t图像考查运动学相遇问题，需准确分析图像各段的运动状态，通过列方程求解，关键是找到相遇的临界情况，区分不同阶段的运动时间和路程，难度适中。
【难度系数】
0.4
5. 司机驾车遇到紧急情况时从发现险情到作出反应需要0.8 s的时间,某司机驾车以20 m/s的速度匀速前行,突然发现前方有障碍物,立即采取紧急刹车措施,汽车制动后继续向前滑行2.2 s,地上刹车痕迹长20 m.求：
(1)司机从发现险情到汽车完全停下来整个过程的平均速度；
(2)研究表明汽车刹车距离与车速有关,近似成正比关系,若汽车以108 km/h的速度行驶时,为了避免追尾事故,两辆汽车至少保持的距离；
(3)若司机驾驶车辆正在机动车道上由南向北匀速行驶,已知机动车道的宽度D为3 m,轿车长度为3 m、宽度为1.8 m,行驶速度为36 km/h,车辆行驶中始终位于机动车道的正中间.如图,某一时刻,小蜀骑自行车在距离轿车正前方$s=8$ m的C处横穿机动车道,已知自行车长1.6 m.若司机没有采取任何措施,则小蜀要先过公路,骑车的速度至少是多大,才能避免与车辆相撞?
(1)司机从发现险情到汽车完全停下来整个过程的平均速度；
(2)研究表明汽车刹车距离与车速有关,近似成正比关系,若汽车以108 km/h的速度行驶时,为了避免追尾事故,两辆汽车至少保持的距离；
(3)若司机驾驶车辆正在机动车道上由南向北匀速行驶,已知机动车道的宽度D为3 m,轿车长度为3 m、宽度为1.8 m,行驶速度为36 km/h,车辆行驶中始终位于机动车道的正中间.如图,某一时刻,小蜀骑自行车在距离轿车正前方$s=8$ m的C处横穿机动车道,已知自行车长1.6 m.若司机没有采取任何措施,则小蜀要先过公路,骑车的速度至少是多大,才能避免与车辆相撞?
答案
(1)12 m/s (2)54 m (3)5 m/s
解析:(1)司机反应时间内汽车通过的路程为s₁=v₁t₁=20 m/s×0.8 s=16 m,司机从发现险情到汽车完全停下来整个过程的平均速度为v=s总/t=(16 m+20 m)/(0.8 s+2.2 s)=12 m/s.
(2)若汽车以108 km/h=30 m/s的速度行驶时,制动距离为s₂=(30 m/s /20 m/s)×20 m=30 m,汽车反应时间内通过的路程为s₃=v₂t₂=30 m/s×0.8 s=24 m,为了避免追尾事故,两辆汽车至少保持的距离为s'总=s₂+s₃=30 m+24 m=54 m.
(3)此时汽车行驶速度36 km/h=10 m/s,汽车到C处的时间为t₃=s/v₃=8 m/10 m/s=0.8 s,为了避免与车辆相撞,此段时间内自行车速度为v自行车=s自行车/t₃=[(1/2)×(3 m-1.8 m)+1.8 m+1.6 m]/0.8 s=5 m/s.
解析:(1)司机反应时间内汽车通过的路程为s₁=v₁t₁=20 m/s×0.8 s=16 m,司机从发现险情到汽车完全停下来整个过程的平均速度为v=s总/t=(16 m+20 m)/(0.8 s+2.2 s)=12 m/s.
(2)若汽车以108 km/h=30 m/s的速度行驶时,制动距离为s₂=(30 m/s /20 m/s)×20 m=30 m,汽车反应时间内通过的路程为s₃=v₂t₂=30 m/s×0.8 s=24 m,为了避免追尾事故,两辆汽车至少保持的距离为s'总=s₂+s₃=30 m+24 m=54 m.
(3)此时汽车行驶速度36 km/h=10 m/s,汽车到C处的时间为t₃=s/v₃=8 m/10 m/s=0.8 s,为了避免与车辆相撞,此段时间内自行车速度为v自行车=s自行车/t₃=[(1/2)×(3 m-1.8 m)+1.8 m+1.6 m]/0.8 s=5 m/s.
解析
【分析】
本题为运动学在实际交通场景的应用，需结合速度公式$v=\frac{s}{t}$分析各物理量：
(1) 平均速度等于总路程除以总时间，总路程是反应时间内行驶路程与刹车滑行路程之和，总时间为反应时间与刹车时间之和；
(2) 刹车距离与车速成正比，先根据已知条件算出比例，再求新车速下的刹车距离，加上反应时间的路程，即为两车保持的最小安全距离；
(3) 要避免相撞，需计算汽车到达C处的时间，再确定此时间内自行车需行驶的总距离，最后用距离除以时间得到自行车的最小速度，关键是明确汽车和自行车的行驶距离关系。
【解析】
(1) 司机反应时间内汽车行驶的路程：
$ s_1 = v_1 t_1 = 20\ \mathrm{m/s} × 0.8\ \mathrm{s} = 16\ \mathrm{m} $
从发现险情到汽车完全停下的总路程：
$ s_{\mathrm{总}} = s_1 + s_{\mathrm{刹}} = 16\ \mathrm{m} + 20\ \mathrm{m} = 36\ \mathrm{m} $
总时间：
$ t_{\mathrm{总}} = t_1 + t_{\mathrm{刹}} = 0.8\ \mathrm{s} + 2.2\ \mathrm{s} = 3\ \mathrm{s} $
平均速度：
$ v = \frac{s_{\mathrm{总}}}{t_{\mathrm{总}}} = \frac{36\ \mathrm{m}}{3\ \mathrm{s}} = 12\ \mathrm{m/s} $
(2) 统一单位：$ v_2 = 108\ \mathrm{km/h} = 30\ \mathrm{m/s} $
因刹车距离与车速成正比，故新车速下的刹车距离：
$ s_{\mathrm{刹2}} = \frac{v_2}{v_1} × s_{\mathrm{刹}} = \frac{30\ \mathrm{m/s}}{20\ \mathrm{m/s}} × 20\ \mathrm{m} = 30\ \mathrm{m} $
反应时间内汽车行驶的路程：
$ s_2 = v_2 t_1 = 30\ \mathrm{m/s} × 0.8\ \mathrm{s} = 24\ \mathrm{m} $
两车至少保持的安全距离：
$ s' = s_{\mathrm{刹2}} + s_2 = 30\ \mathrm{m} + 24\ \mathrm{m} = 54\ \mathrm{m} $
(3) 统一单位：$ v_3 = 36\ \mathrm{km/h} = 10\ \mathrm{m/s} $
汽车到达C处的时间：
$ t_3 = \frac{s}{v_3} = \frac{8\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{m/s}} = 0.8\ \mathrm{s} $
汽车在机动车道正中间，其边缘到C处的距离为：
$ \frac{D - \mathrm{车宽}}{2} + \mathrm{车宽} = \frac{3\ \mathrm{m} - 1.8\ \mathrm{m}}{2} + 1.8\ \mathrm{m} = 2.4\ \mathrm{m} $
自行车需行驶的总距离（完全通过机动车道）：
$ s_{\mathrm{自}} = 2.4\ \mathrm{m} + 1.6\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{m} $
自行车的最小速度：
$ v_{\mathrm{自}} = \frac{s_{\mathrm{自}}}{t_3} = \frac{4\ \mathrm{m}}{0.8\ \mathrm{s}} = 5\ \mathrm{m/s} $
【答案】
(1) $12\ \mathrm{m/s}$；(2) $54\ \mathrm{m}$；(3) $5\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
平均速度计算、速度公式应用、运动学实际问题
【点评】
本题结合交通实际场景考查运动学知识，需准确理解反应时间、刹车距离等物理量的含义，正确分析总路程与总时间的关系，第三问需明确汽车和自行车的行驶距离边界，整体难度适中，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.5
本题为运动学在实际交通场景的应用，需结合速度公式$v=\frac{s}{t}$分析各物理量：
(1) 平均速度等于总路程除以总时间，总路程是反应时间内行驶路程与刹车滑行路程之和，总时间为反应时间与刹车时间之和；
(2) 刹车距离与车速成正比，先根据已知条件算出比例，再求新车速下的刹车距离，加上反应时间的路程，即为两车保持的最小安全距离；
(3) 要避免相撞，需计算汽车到达C处的时间，再确定此时间内自行车需行驶的总距离，最后用距离除以时间得到自行车的最小速度，关键是明确汽车和自行车的行驶距离关系。
【解析】
(1) 司机反应时间内汽车行驶的路程：
$ s_1 = v_1 t_1 = 20\ \mathrm{m/s} × 0.8\ \mathrm{s} = 16\ \mathrm{m} $
从发现险情到汽车完全停下的总路程：
$ s_{\mathrm{总}} = s_1 + s_{\mathrm{刹}} = 16\ \mathrm{m} + 20\ \mathrm{m} = 36\ \mathrm{m} $
总时间：
$ t_{\mathrm{总}} = t_1 + t_{\mathrm{刹}} = 0.8\ \mathrm{s} + 2.2\ \mathrm{s} = 3\ \mathrm{s} $
平均速度：
$ v = \frac{s_{\mathrm{总}}}{t_{\mathrm{总}}} = \frac{36\ \mathrm{m}}{3\ \mathrm{s}} = 12\ \mathrm{m/s} $
(2) 统一单位：$ v_2 = 108\ \mathrm{km/h} = 30\ \mathrm{m/s} $
因刹车距离与车速成正比，故新车速下的刹车距离：
$ s_{\mathrm{刹2}} = \frac{v_2}{v_1} × s_{\mathrm{刹}} = \frac{30\ \mathrm{m/s}}{20\ \mathrm{m/s}} × 20\ \mathrm{m} = 30\ \mathrm{m} $
反应时间内汽车行驶的路程：
$ s_2 = v_2 t_1 = 30\ \mathrm{m/s} × 0.8\ \mathrm{s} = 24\ \mathrm{m} $
两车至少保持的安全距离：
$ s' = s_{\mathrm{刹2}} + s_2 = 30\ \mathrm{m} + 24\ \mathrm{m} = 54\ \mathrm{m} $
(3) 统一单位：$ v_3 = 36\ \mathrm{km/h} = 10\ \mathrm{m/s} $
汽车到达C处的时间：
$ t_3 = \frac{s}{v_3} = \frac{8\ \mathrm{m}}{10\ \mathrm{m/s}} = 0.8\ \mathrm{s} $
汽车在机动车道正中间，其边缘到C处的距离为：
$ \frac{D - \mathrm{车宽}}{2} + \mathrm{车宽} = \frac{3\ \mathrm{m} - 1.8\ \mathrm{m}}{2} + 1.8\ \mathrm{m} = 2.4\ \mathrm{m} $
自行车需行驶的总距离（完全通过机动车道）：
$ s_{\mathrm{自}} = 2.4\ \mathrm{m} + 1.6\ \mathrm{m} = 4\ \mathrm{m} $
自行车的最小速度：
$ v_{\mathrm{自}} = \frac{s_{\mathrm{自}}}{t_3} = \frac{4\ \mathrm{m}}{0.8\ \mathrm{s}} = 5\ \mathrm{m/s} $
【答案】
(1) $12\ \mathrm{m/s}$；(2) $54\ \mathrm{m}$；(3) $5\ \mathrm{m/s}$
【知识点】
平均速度计算、速度公式应用、运动学实际问题
【点评】
本题结合交通实际场景考查运动学知识，需准确理解反应时间、刹车距离等物理量的含义，正确分析总路程与总时间的关系，第三问需明确汽车和自行车的行驶距离边界，整体难度适中，注重知识的实际应用。
【难度系数】
0.5
