24. 如图1，$AB// CD$，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，$EF// GH$，过F点作$FM⊥ GH$交GH的延长线于点M，作$∠ BEF$、$∠ DFM$的角平分线交于点N，EN交GH于点P，
(1)求$∠ N$的度数.
(2)如图2，作$∠ AGH$的角平分线交CD于点Q，
①请判断EP与GQ的位置关系(选“$//$”或“$⊥$”).
②若$∠ FEN=3∠ HFM$，求$\frac{∠ GQH}{∠ MPN}$的值.

24. 解:(1)如图 1,过点 $N$ 作 $NK// CD$,
$\therefore KN// CD// AB$,
$\therefore ∠ KNE=∠ 4,∠ 6=∠ 7.$
设 $∠ 4=x,∠ 7=y$,
$\because EN$、$FN$ 分别平分 $∠ BEF$、$∠ DFM$,
$\therefore ∠ ENK=∠ 5=∠ 4=x,∠ 6=∠ 8=∠ 7=y.$
又$\because AB// CD$,
$\therefore ∠ EFD=180°-(∠ 4+∠ 5)=180°-2x.$
又$\because FM⊥ GH,\therefore ∠ EFM=90°$,
$\therefore 180°-2x+2y=90°$,
$\therefore x-y=45°$,
$\therefore ∠ ENF=∠ ENK-∠ 6=x-y=45°.$(3分)
(2)①$⊥$(5分)
【解析】如图 2,设 $EN$ 与 $GQ$ 交于点 $J$.
$\because EF// GH$,
$\therefore ∠ FEG+∠ EGP=180°.$
$\because EN$ 平分 $∠ FEG$,$GQ$ 平分 $∠ EGP$,
$\therefore ∠ JEG+∠ JGE=\frac{1}{2}(∠ FEG+∠ EGP)=90°$,
$\therefore EP⊥ GQ.$
②$\because ∠ FEN=3∠ HFM$,即 $x=3×2y$,
$\therefore x=6y$,
$\therefore x-y=6y-y=45°$,
$\therefore y=9°,x=54°.$
$\because GQ⊥ EN$,
$\therefore ∠ GQH=∠ EGQ=180°-90°-54°=36°.$
又$\because ∠ MPN=∠ FEN=x=54°$,
$\therefore \frac{∠ GQH}{∠ MPN}=\frac{2}{3}.$(8分)

【分析】
要解决本题，需利用平行线的性质、角平分线的定义，通过作辅助线转化角的关系。(1) 求∠N时，过N作平行于AB、CD的辅助线，将∠N拆分为两个角，结合角平分线把角用未知数表示，再利用FM⊥GH的直角条件建立方程，推导∠N的度数；(2) ①判断EP与GQ的位置，利用平行线同旁内角互补，结合角平分线性质推出夹角为90°，得垂直；②根据已知∠FEN=3∠HFM，结合(1)中角的关系求出未知数，再计算两个角的比值。
【解析】
(1) 如图1，过点N作NK//CD，
∵ AB//CD，
∴ NK//CD//AB，
∴ ∠KNE=∠4，∠6=∠7。
设∠4=x，∠7=y，
∵ EN平分∠BEF，FN平分∠DFM，
∴ ∠ENK=∠5=∠4=x，∠6=∠8=∠7=y。
又
∵ AB//CD，
∴ ∠EFD=180°-(∠4+∠5)=180°-2x，
∵ FM⊥GH，
∴ ∠EFM=90°，且∠EFD + ∠DFM=∠EFM，∠DFM=∠6+∠8=2y，
∴ 180°-2x + 2y=90°，整理得x - y=45°，
∴ ∠ENF=∠ENK - ∠6=x - y=45°。
(2) ① EP⊥GQ，理由：
如图2，设EN与GQ交于点J，
∵ EF//GH，
∴ ∠FEG + ∠EGP=180°，
∵ EN平分∠FEG，GQ平分∠EGP，
∴ ∠JEG=1/2∠FEG，∠JGE=1/2∠EGP，
∴ ∠JEG + ∠JGE=1/2(∠FEG + ∠EGP)=1/2×180°=90°，
∴ ∠EJG=90°，故EP⊥GQ。
② 由∠FEN=3∠HFM，∠FEN=x，∠HFM=∠6=2y，得x=3×2y=6y，
结合x - y=45°，代入得6y - y=45°，解得y=9°，x=54°，
∵ GQ⊥EN，∠FEG=2x=108°，
∴ ∠EGP=180°-108°=72°，
∴ ∠EGQ=1/2∠EGP=36°，又AB//CD，故∠GQH=∠EGQ=36°，
又∠MPN=∠FEN=x=54°，
∴ ∠GQH/∠MPN=36°/54°=2/3。
【答案】
(1) 45°；(2) ① ⊥；② $\frac{2}{3}$
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、垂直的判定
【点评】
本题是几何综合题，综合考查平行线性质、角平分线性质，作辅助线转化角是关键，需学生具备逻辑推理和计算能力，难度适中。
【难度系数】
0.5