登录
23. 根据以下材料，探索完成任务
答案
23.解:(1)设生产一台探索型机器人需要$x$小时,则生产一台服务型机器人需要$\frac{x}{2}$小时,
由题意,得$\frac{10}{\frac{1}{2}x}-\frac{12}{x}=2$,
解得$x=4$.
经检验,$x=4$是原方程的解,且符合题意.
$\therefore \frac{x}{2}=2$(小时).
答:生产一台探索型机器人需要4小时,生产一台服务型机器人需要2小时.
(2)设生产一台探索型机器人的成本是$a$万元,生产一台服务型机器人的成本是$b$万元,
由题意,得$\begin{cases}2a+3b=110,\\3a+2b=115.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=25,\\b=20.\end{cases}$
答:生产一台探索型机器人的成本是25万元,生产一台服务型机器人的成本是20万元.
(3)设购买服务型机器人$m$台,购买探索型机器人$n$台,
由题意,得$35m+40n=1300$,
解得$m=\frac{260-8n}{7}$.
$\because m＞n$,且$m,n$为正整数,
$\therefore \frac{260-8n}{7}＞n$,
$\therefore 0＜n＜17\frac{1}{3}$,
$\therefore \begin{cases}m=36,\\n=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=28,\\n=8\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=20,\\n=15,\end{cases}$
$\therefore$ 有三种方案:
方案一:购买服务型机器人36台,购买探索型机器人1台;
方案二:购买服务型机器人28台,购买探索型机器人8台;
方案三:购买服务型机器人20台,购买探索型机器人15台.
由题意,得$\frac{10}{\frac{1}{2}x}-\frac{12}{x}=2$,
解得$x=4$.
经检验,$x=4$是原方程的解,且符合题意.
$\therefore \frac{x}{2}=2$(小时).
答:生产一台探索型机器人需要4小时,生产一台服务型机器人需要2小时.
(2)设生产一台探索型机器人的成本是$a$万元,生产一台服务型机器人的成本是$b$万元,
由题意,得$\begin{cases}2a+3b=110,\\3a+2b=115.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=25,\\b=20.\end{cases}$
答:生产一台探索型机器人的成本是25万元,生产一台服务型机器人的成本是20万元.
(3)设购买服务型机器人$m$台,购买探索型机器人$n$台,
由题意,得$35m+40n=1300$,
解得$m=\frac{260-8n}{7}$.
$\because m＞n$,且$m,n$为正整数,
$\therefore \frac{260-8n}{7}＞n$,
$\therefore 0＜n＜17\frac{1}{3}$,
$\therefore \begin{cases}m=36,\\n=1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=28,\\n=8\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=20,\\n=15,\end{cases}$
$\therefore$ 有三种方案:
方案一:购买服务型机器人36台,购买探索型机器人1台;
方案二:购买服务型机器人28台,购买探索型机器人8台;
方案三:购买服务型机器人20台,购买探索型机器人15台.
解析
【分析】
本题分三个任务逐步解决：
1. 任务1：根据“生产一台服务型机器人的时间是探索型机器人的$\frac{1}{2}$”设未知数，结合“12小时生产探索型机器人数量比10小时生产服务型机器人少2台”（数量=总时间÷单台时间），列分式方程求解，需检验解的合理性。
2. 任务2：设两种机器人的单台成本为未知数，根据材料2的两个总成本条件，列二元一次方程组求解。
3. 任务3：设购买两种机器人的数量，根据总预付资金列方程，结合“服务型数量＞探索型数量”且数量为正整数的条件，求不定方程的正整数解，得到所有购买方案。
【解析】
任务1：求生产单台机器人的时间
设生产一台探索型机器人需要$x$小时，则生产一台服务型机器人需要$\frac{x}{2}$小时。
根据题意，10小时生产服务型机器人的数量减去12小时生产探索型机器人的数量等于2台，列方程：
$\frac{10}{\frac{1}{2}x} - \frac{12}{x} = 2$
化简得$\frac{20}{x} - \frac{12}{x}=2$，解得$x=4$。
经检验，$x=4$是原方程的解，且符合实际意义。
则生产一台服务型机器人的时间为$\frac{4}{2}=2$小时。
任务2：求生产单台机器人的成本
设生产一台探索型机器人的成本为$a$万元，生产一台服务型机器人的成本为$b$万元。
根据材料2的两个总成本条件，列方程组：
$\begin{cases}2a + 3b = 110 \\3a + 2b = 115\end{cases}$
解方程组：将第一个方程×3、第二个方程×2，得$\begin{cases}6a + 9b = 330 \\6a + 4b = 230\end{cases}$，两式相减得$5b=100$，解得$b=20$，代入得$a=25$。
任务3：求所有购买方案
设购买服务型机器人$m$台，探索型机器人$n$台（$m,n$为正整数）。
根据总预付资金1300万元，列方程：
$35m + 40n = 1300$
化简得$7m + 8n = 260$，解得$m=\frac{260 - 8n}{7}$。
结合“$m＞n$”，代入得$\frac{260 -8n}{7}＞n$，解得$n＜\frac{52}{3}≈17.33$，且$260-8n$需为7的倍数，最终得符合条件的正整数解：
$\begin{cases}m=36 \\n=1\end{cases}$、$\begin{cases}m=28 \\n=8\end{cases}$、$\begin{cases}m=20 \\n=15\end{cases}$。
【答案】
任务1：生产一台探索型机器人需要4小时，生产一台服务型机器人需要2小时；
任务2：生产一台探索型机器人的成本是25万元，生产一台服务型机器人的成本是20万元；
任务3：共有三种购买方案：
方案一：购买服务型机器人36台，探索型机器人1台；
方案二：购买服务型机器人28台，探索型机器人8台；
方案三：购买服务型机器人20台，探索型机器人15台。
【知识点】
分式方程应用、二元一次方程组应用、不定方程整数解
【点评】
本题为实际应用类题目，需从材料中提取等量关系，分别用分式方程、二元一次方程组、不定方程整数解的知识解决问题，重点考查学生建立数学模型的能力，需注意解的合理性（检验、正整数、数量关系）。
【难度系数】
0.6
本题分三个任务逐步解决：
1. 任务1：根据“生产一台服务型机器人的时间是探索型机器人的$\frac{1}{2}$”设未知数，结合“12小时生产探索型机器人数量比10小时生产服务型机器人少2台”（数量=总时间÷单台时间），列分式方程求解，需检验解的合理性。
2. 任务2：设两种机器人的单台成本为未知数，根据材料2的两个总成本条件，列二元一次方程组求解。
3. 任务3：设购买两种机器人的数量，根据总预付资金列方程，结合“服务型数量＞探索型数量”且数量为正整数的条件，求不定方程的正整数解，得到所有购买方案。
【解析】
任务1：求生产单台机器人的时间
设生产一台探索型机器人需要$x$小时，则生产一台服务型机器人需要$\frac{x}{2}$小时。
根据题意，10小时生产服务型机器人的数量减去12小时生产探索型机器人的数量等于2台，列方程：
$\frac{10}{\frac{1}{2}x} - \frac{12}{x} = 2$
化简得$\frac{20}{x} - \frac{12}{x}=2$，解得$x=4$。
经检验，$x=4$是原方程的解，且符合实际意义。
则生产一台服务型机器人的时间为$\frac{4}{2}=2$小时。
任务2：求生产单台机器人的成本
设生产一台探索型机器人的成本为$a$万元，生产一台服务型机器人的成本为$b$万元。
根据材料2的两个总成本条件，列方程组：
$\begin{cases}2a + 3b = 110 \\3a + 2b = 115\end{cases}$
解方程组：将第一个方程×3、第二个方程×2，得$\begin{cases}6a + 9b = 330 \\6a + 4b = 230\end{cases}$，两式相减得$5b=100$，解得$b=20$，代入得$a=25$。
任务3：求所有购买方案
设购买服务型机器人$m$台，探索型机器人$n$台（$m,n$为正整数）。
根据总预付资金1300万元，列方程：
$35m + 40n = 1300$
化简得$7m + 8n = 260$，解得$m=\frac{260 - 8n}{7}$。
结合“$m＞n$”，代入得$\frac{260 -8n}{7}＞n$，解得$n＜\frac{52}{3}≈17.33$，且$260-8n$需为7的倍数，最终得符合条件的正整数解：
$\begin{cases}m=36 \\n=1\end{cases}$、$\begin{cases}m=28 \\n=8\end{cases}$、$\begin{cases}m=20 \\n=15\end{cases}$。
【答案】
任务1：生产一台探索型机器人需要4小时，生产一台服务型机器人需要2小时；
任务2：生产一台探索型机器人的成本是25万元，生产一台服务型机器人的成本是20万元；
任务3：共有三种购买方案：
方案一：购买服务型机器人36台，探索型机器人1台；
方案二：购买服务型机器人28台，探索型机器人8台；
方案三：购买服务型机器人20台，探索型机器人15台。
【知识点】
分式方程应用、二元一次方程组应用、不定方程整数解
【点评】
本题为实际应用类题目，需从材料中提取等量关系，分别用分式方程、二元一次方程组、不定方程整数解的知识解决问题，重点考查学生建立数学模型的能力，需注意解的合理性（检验、正整数、数量关系）。
【难度系数】
0.6
