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24. 定义:对于两个分式 $ P $ 和 $ Q $,若 $ P × Q = P + Q $,则称分式 $ P $ 和 $ Q $ 是“关联分式”.如 $ \frac{1}{1-x} $ 和 $ \frac{1}{x} $,因为 $ \frac{1}{1-x} × \frac{1}{x} = \frac{1}{(1-x)x} $, $ \frac{1}{1-x} + \frac{1}{x} = \frac{1}{(1-x)x} $,所以 $ \frac{1}{1-x} $ 和 $ \frac{1}{x} $ 是“关联分式”.
(1) 分式 $ \frac{2x}{2+x} $ 和 $ \frac{2x}{x-2} $
(2) 已知分式 $ \frac{3x-2}{2x-1} $ 和分式 $ A $ 是“关联分式”,求整数 $ x $ 为何值时,分式 $ A $ 的值是正整数,并写出分式 $ A $ 的值.
(3) 若关于 $ x $ 的分式 $ \frac{n+4}{mx - m^2 + n} $
$ \frac{m+1}{mx + n^2} $ 是“关联分式”,求 $ m $ 和 $ n $ 的值.
(1) 分式 $ \frac{2x}{2+x} $ 和 $ \frac{2x}{x-2} $
是
(填“是”或“不是”)“关联分式”.(2) 已知分式 $ \frac{3x-2}{2x-1} $ 和分式 $ A $ 是“关联分式”,求整数 $ x $ 为何值时,分式 $ A $ 的值是正整数,并写出分式 $ A $ 的值.
(3) 若关于 $ x $ 的分式 $ \frac{n+4}{mx - m^2 + n} $
$ \frac{m+1}{mx + n^2} $ 是“关联分式”,求 $ m $ 和 $ n $ 的值.答案
24.解:(1)是.
(2)$\because$ 分式$\frac{3x-2}{2x-1}$和分式$A$是“关联分式”,
$\therefore \frac{3x-2}{2x-1}× A=\frac{3x-2}{2x-1}+A$,
解得$A=\frac{3x-2}{x-1}=3+\frac{1}{x-1}$.
$\because x$是整数,$A$的值是正整数,
$\therefore x-1=\pm1$,即$x=0$或$2$,
$\therefore$ 当$x=0$时,$A=2$;当$x=2$时,$A=4$.
(3)设$M$是$\frac{m+1}{-mx+n^2}$的“关联分式”,
则$\frac{m+1}{-mx+n^2}× M=\frac{m+1}{-mx+n^2}+M$,
解得$M=\frac{m+1}{m+1+mx-n^2}$.
$\because$ 关于$x$的分式$\frac{n+4}{mx-m^2+n}$和$\frac{m+1}{-mx+n^2}$是“关联分式”,
$\therefore \frac{m+1}{m+1+mx-n^2}=\frac{n+4}{mx-m^2+n}$,
$\therefore \begin{cases}m+1=n+4,\\m+1+mx-n^2=mx-m^2+n.\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{5}{6},\\n=-\frac{13}{6}.\end{cases}$
(2)$\because$ 分式$\frac{3x-2}{2x-1}$和分式$A$是“关联分式”,
$\therefore \frac{3x-2}{2x-1}× A=\frac{3x-2}{2x-1}+A$,
解得$A=\frac{3x-2}{x-1}=3+\frac{1}{x-1}$.
$\because x$是整数,$A$的值是正整数,
$\therefore x-1=\pm1$,即$x=0$或$2$,
$\therefore$ 当$x=0$时,$A=2$;当$x=2$时,$A=4$.
(3)设$M$是$\frac{m+1}{-mx+n^2}$的“关联分式”,
则$\frac{m+1}{-mx+n^2}× M=\frac{m+1}{-mx+n^2}+M$,
解得$M=\frac{m+1}{m+1+mx-n^2}$.
$\because$ 关于$x$的分式$\frac{n+4}{mx-m^2+n}$和$\frac{m+1}{-mx+n^2}$是“关联分式”,
$\therefore \frac{m+1}{m+1+mx-n^2}=\frac{n+4}{mx-m^2+n}$,
$\therefore \begin{cases}m+1=n+4,\\m+1+mx-n^2=mx-m^2+n.\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=\frac{5}{6},\\n=-\frac{13}{6}.\end{cases}$
解析
【分析】
本题是新定义题型，需先明确“关联分式”的核心定义：若两个分式$P$和$Q$满足$P×Q=P+Q$，则二者为关联分式。解题思路为：(1)直接依据定义，分别计算两个分式的乘积与和，对比结果判断是否相等；(2)利用定义列出关于$A$的等式，通过分式运算化简得到$A$的表达式，结合$A$为正整数、$x$为整数的条件求解；(3)先根据定义求出已知分式对应的关联分式，使其与题目给出的另一分式相等，再利用分式恒等的性质建立方程组，求解$m$和$n$的值。
【解析】
(1) 设$P=\frac{2x}{2+x}$，$Q=\frac{2x}{x-2}$，
计算乘积：$P×Q=\frac{2x}{2+x}×\frac{2x}{x-2}=\frac{4x^2}{(2+x)(x-2)}$，
计算和：$P+Q=\frac{2x}{2+x}+\frac{2x}{x-2}=\frac{2x(x-2)+2x(2+x)}{(2+x)(x-2)}=\frac{2x^2-4x+4x+2x^2}{(2+x)(x-2)}=\frac{4x^2}{(2+x)(x-2)}$，
因为$P×Q=P+Q$，所以$\frac{2x}{2+x}$和$\frac{2x}{x-2}$是“关联分式”。
(2) 已知$\frac{3x-2}{2x-1}$和$A$是“关联分式”，根据定义得：
$\frac{3x-2}{2x-1}×A=\frac{3x-2}{2x-1}+A$，
移项整理：$A(\frac{3x-2}{2x-1}-1)=\frac{3x-2}{2x-1}$，
化简括号内：$\frac{3x-2}{2x-1}-1=\frac{3x-2-(2x-1)}{2x-1}=\frac{x-1}{2x-1}$，
因此$A=\frac{3x-2}{2x-1}÷\frac{x-1}{2x-1}=\frac{3x-2}{x-1}$，
将$\frac{3x-2}{x-1}$变形：$\frac{3(x-1)+1}{x-1}=3+\frac{1}{x-1}$，
因为$A$为正整数，$x$为整数，所以$x-1$是$1$的约数，即$x-1=±1$，
当$x-1=1$时，$x=2$，$A=3+1=4$；当$x-1=-1$时，$x=0$，$A=3-1=2$。
(3) 设$P=\frac{m+1}{-mx+n^2}$，$Q=\frac{n+4}{mx-m^2+n}$，根据关联分式定义$P×Q=P+Q$，得$Q=\frac{P}{P-1}$，
计算$P-1=\frac{m+1}{-mx+n^2}-1=\frac{m+1+mx-n^2}{-mx+n^2}$，
因此$Q=\frac{\frac{m+1}{-mx+n^2}}{\frac{m+1+mx-n^2}{-mx+n^2}}=\frac{m+1}{m+1+mx-n^2}$，
因为$Q=\frac{n+4}{mx-m^2+n}$，分式恒等则分子、分母对应项系数相等，得方程组：
$\begin{cases}m+1=n+4 \\ m+1-n^2=-m^2+n \end{cases}$，
由第一个方程得$m=n+3$，代入第二个方程：
$(n+4)-n^2=-(n+3)^2+n$，
化简得$n+4=-5n-9$，解得$n=-\frac{13}{6}$，则$m=n+3=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) 是；
(2) 当$x=0$时，$A=2$；当$x=2$时，$A=4$；
(3) $m=\frac{5}{6}$，$n=-\frac{13}{6}$。
【知识点】
分式的运算、新定义题型、分式化简
【点评】
本题结合新定义考查分式运算，核心是将“关联分式”的定义转化为代数等式，通过通分、约分、化简求解；第三问需利用分式恒等的性质建立方程组，对代数变形能力要求较高，整体需仔细处理每一步的符号和运算细节。
【难度系数】
0.4
本题是新定义题型，需先明确“关联分式”的核心定义：若两个分式$P$和$Q$满足$P×Q=P+Q$，则二者为关联分式。解题思路为：(1)直接依据定义，分别计算两个分式的乘积与和，对比结果判断是否相等；(2)利用定义列出关于$A$的等式，通过分式运算化简得到$A$的表达式，结合$A$为正整数、$x$为整数的条件求解；(3)先根据定义求出已知分式对应的关联分式，使其与题目给出的另一分式相等，再利用分式恒等的性质建立方程组，求解$m$和$n$的值。
【解析】
(1) 设$P=\frac{2x}{2+x}$，$Q=\frac{2x}{x-2}$，
计算乘积：$P×Q=\frac{2x}{2+x}×\frac{2x}{x-2}=\frac{4x^2}{(2+x)(x-2)}$，
计算和：$P+Q=\frac{2x}{2+x}+\frac{2x}{x-2}=\frac{2x(x-2)+2x(2+x)}{(2+x)(x-2)}=\frac{2x^2-4x+4x+2x^2}{(2+x)(x-2)}=\frac{4x^2}{(2+x)(x-2)}$，
因为$P×Q=P+Q$，所以$\frac{2x}{2+x}$和$\frac{2x}{x-2}$是“关联分式”。
(2) 已知$\frac{3x-2}{2x-1}$和$A$是“关联分式”，根据定义得：
$\frac{3x-2}{2x-1}×A=\frac{3x-2}{2x-1}+A$，
移项整理：$A(\frac{3x-2}{2x-1}-1)=\frac{3x-2}{2x-1}$，
化简括号内：$\frac{3x-2}{2x-1}-1=\frac{3x-2-(2x-1)}{2x-1}=\frac{x-1}{2x-1}$，
因此$A=\frac{3x-2}{2x-1}÷\frac{x-1}{2x-1}=\frac{3x-2}{x-1}$，
将$\frac{3x-2}{x-1}$变形：$\frac{3(x-1)+1}{x-1}=3+\frac{1}{x-1}$，
因为$A$为正整数，$x$为整数，所以$x-1$是$1$的约数，即$x-1=±1$，
当$x-1=1$时，$x=2$，$A=3+1=4$；当$x-1=-1$时，$x=0$，$A=3-1=2$。
(3) 设$P=\frac{m+1}{-mx+n^2}$，$Q=\frac{n+4}{mx-m^2+n}$，根据关联分式定义$P×Q=P+Q$，得$Q=\frac{P}{P-1}$，
计算$P-1=\frac{m+1}{-mx+n^2}-1=\frac{m+1+mx-n^2}{-mx+n^2}$，
因此$Q=\frac{\frac{m+1}{-mx+n^2}}{\frac{m+1+mx-n^2}{-mx+n^2}}=\frac{m+1}{m+1+mx-n^2}$，
因为$Q=\frac{n+4}{mx-m^2+n}$，分式恒等则分子、分母对应项系数相等，得方程组：
$\begin{cases}m+1=n+4 \\ m+1-n^2=-m^2+n \end{cases}$，
由第一个方程得$m=n+3$，代入第二个方程：
$(n+4)-n^2=-(n+3)^2+n$，
化简得$n+4=-5n-9$，解得$n=-\frac{13}{6}$，则$m=n+3=\frac{5}{6}$。
【答案】
(1) 是；
(2) 当$x=0$时，$A=2$；当$x=2$时，$A=4$；
(3) $m=\frac{5}{6}$，$n=-\frac{13}{6}$。
【知识点】
分式的运算、新定义题型、分式化简
【点评】
本题结合新定义考查分式运算，核心是将“关联分式”的定义转化为代数等式，通过通分、约分、化简求解；第三问需利用分式恒等的性质建立方程组，对代数变形能力要求较高，整体需仔细处理每一步的符号和运算细节。
【难度系数】
0.4
