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1.(2025·宁波江北)二次根式$\sqrt{x-2}$中字母$x$的取值范围是（
A.$x≥2$
B.$x≤2$
C.$x＞2$
D.$x＜2$
A
）A.$x≥2$
B.$x≤2$
C.$x＞2$
D.$x＜2$
答案
A
解析
【分析】
要确定二次根式$\sqrt{x-2}$中字母$x$的取值范围，需依据二次根式的核心定义：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。因此只需让被开方数$x-2$满足$x-2≥0$，解此不等式即可得到$x$的取值范围，再对应选项选出正确答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
$x - 2 ≥ 0$
解不等式得：
$x ≥ 2$
因此$x$的取值范围是$x≥2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的基础条件，属于初中数学入门级基础题，只需牢记二次根式被开方数非负的规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
要确定二次根式$\sqrt{x-2}$中字母$x$的取值范围，需依据二次根式的核心定义：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于或等于0）。因此只需让被开方数$x-2$满足$x-2≥0$，解此不等式即可得到$x$的取值范围，再对应选项选出正确答案。
【解析】
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
$x - 2 ≥ 0$
解不等式得：
$x ≥ 2$
因此$x$的取值范围是$x≥2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式有意义的基础条件，属于初中数学入门级基础题，只需牢记二次根式被开方数非负的规则即可快速解答。
【难度系数】
0.8
2.(2024·嘉兴)当$x=-2$时，二次根式$\sqrt{1-4x}$的值为________。
答案
3
解析
【分析】本题的解题思路是：将给定的x=-2代入二次根式的被开方数中，先计算被开方数的结果，再根据二次根式的性质（算术平方根为非负数）求出最终值，只需按步骤代入计算即可。
【解析】把x=-2代入二次根式的被开方数1-4x，计算得：1 - 4×(-2) =1 +8=9；再根据二次根式的定义，√9表示9的算术平方根，因此√9=3。
【答案】3
【知识点】二次根式的求值、代数式代入计算
【点评】本题属于基础题，考查二次根式的基本计算，直接代入数值即可求解，难度较低，是易得分的基础题型。
【难度系数】0.9
【解析】把x=-2代入二次根式的被开方数1-4x，计算得：1 - 4×(-2) =1 +8=9；再根据二次根式的定义，√9表示9的算术平方根，因此√9=3。
【答案】3
【知识点】二次根式的求值、代数式代入计算
【点评】本题属于基础题，考查二次根式的基本计算，直接代入数值即可求解，难度较低，是易得分的基础题型。
【难度系数】0.9
例2(2024·湖州吴兴、长兴)已知实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简$\sqrt{(a+1)^2}+\sqrt{(b-2)^2}$的正确结果是 (
例2图
A.$a+b-1$
B.$1-a-b$
C.$a-b+3$
D.$b-a-3$
C
)例2图
A.$a+b-1$
B.$1-a-b$
C.$a-b+3$
D.$b-a-3$
答案
C
解析
【分析】首先根据数轴确定实数a、b的取值范围，再利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将原式转化为绝对值的和，最后根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，合并同类项即可得到结果。
【解析】由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$，因此$a+1 ＞ 0$，$b-2 ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{m^2}=|m|$，可得：
$\sqrt{(a+1)^2} + \sqrt{(b-2)^2} = |a+1| + |b-2|$
因为$a+1 ＞ 0$，所以$|a+1|=a+1$；因为$b-2 ＜ 0$，所以$|b-2|=-(b-2)=2 - b$。
代入化简得：
$(a+1) + (2 - b) = a +1 +2 - b = a - b +3$
【答案】C
【知识点】二次根式的性质、绝对值化简、数轴与实数
【点评】本题结合数轴考查二次根式与绝对值的化简，关键是根据数轴确定数的正负性，再利用相关性质去掉绝对值符号，属于基础题型，需熟练掌握基本性质。
【难度系数】0.6
【解析】由数轴可知：$-1 ＜ a ＜ 0$，$1 ＜ b ＜ 2$，因此$a+1 ＞ 0$，$b-2 ＜ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{m^2}=|m|$，可得：
$\sqrt{(a+1)^2} + \sqrt{(b-2)^2} = |a+1| + |b-2|$
因为$a+1 ＞ 0$，所以$|a+1|=a+1$；因为$b-2 ＜ 0$，所以$|b-2|=-(b-2)=2 - b$。
代入化简得：
$(a+1) + (2 - b) = a +1 +2 - b = a - b +3$
【答案】C
【知识点】二次根式的性质、绝对值化简、数轴与实数
【点评】本题结合数轴考查二次根式与绝对值的化简，关键是根据数轴确定数的正负性，再利用相关性质去掉绝对值符号，属于基础题型，需熟练掌握基本性质。
【难度系数】0.6
3.(2024·绍兴柯桥)已知实数$a,b,c$在数轴上的位置如图所示,请你化简$\sqrt{(a-b)^2}-|b+c|-\sqrt{(b-c)^2}$。
答案
解:由数轴,得$c＜a＜0＜b＜-c$,所以$a-b＜0,b+c＜0,b-c＞0$,所以原式$=|a-b|+(b+c)-|b-c|=b-a+b+c-(b-c)=b+2c-a$。
解析
【分析】要化简式子$\sqrt{(a-b)^2}-|b+c|-\sqrt{(b-c)^2}$，首先根据数轴确定$a、b、c$的大小关系与正负性，再判断$a-b、b+c、b-c$的符号；利用二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$将原式转化为绝对值形式，再根据绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】由数轴可知：$c＜a＜0＜b$，且$|b|＜|c|$，因此：
$a-b＜0$，$b+c＜0$，$b-c＞0$；
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可化为：
$|a-b| - |b+c| - |b-c|$；
根据绝对值的性质去绝对值：
$|a-b|=-(a-b)=b-a$，$|b+c|=-(b+c)=-b-c$，$|b-c|=b-c$；
代入原式计算：
原式$=(b-a) - (-b - c) - (b - c)$
$=b - a + b + c - b + c$
$=b + 2c - a$。
【答案】$b + 2c - a$
【知识点】二次根式的性质、绝对值化简、数轴与实数
【点评】本题结合数轴考查二次根式与绝对值的化简，核心是根据数轴判断代数式的符号，再利用相关性质化简，属于基础中档题，需掌握数轴的意义和绝对值、二次根式的性质。
【难度系数】0.5
【解析】由数轴可知：$c＜a＜0＜b$，且$|b|＜|c|$，因此：
$a-b＜0$，$b+c＜0$，$b-c＞0$；
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，原式可化为：
$|a-b| - |b+c| - |b-c|$；
根据绝对值的性质去绝对值：
$|a-b|=-(a-b)=b-a$，$|b+c|=-(b+c)=-b-c$，$|b-c|=b-c$；
代入原式计算：
原式$=(b-a) - (-b - c) - (b - c)$
$=b - a + b + c - b + c$
$=b + 2c - a$。
【答案】$b + 2c - a$
【知识点】二次根式的性质、绝对值化简、数轴与实数
【点评】本题结合数轴考查二次根式与绝对值的化简，核心是根据数轴判断代数式的符号，再利用相关性质化简，属于基础中档题，需掌握数轴的意义和绝对值、二次根式的性质。
【难度系数】0.5
例3(2024·宁波鄞州)计算：
(1)$\sqrt{18}÷\sqrt{6}-\sqrt{\frac{1}{3}}$。
(2)$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$。
(1)$\sqrt{18}÷\sqrt{6}-\sqrt{\frac{1}{3}}$。
(2)$(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})$。
答案
(1)原式$=\sqrt{3}-\frac{1}{3}\sqrt{3}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$。
(2)原式$=9-5=4$。
(2)原式$=9-5=4$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路：(1)先依据二次根式的除法法则计算除法项，再化简减法中的二次根式，最后合并同类二次根式；(2)利用平方差公式简化计算，减少运算步骤。
【解析】
(1) 原式 = $\sqrt{18÷6} - \sqrt{\frac{1}{3}}$（根据二次根式除法法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}(a≥0,b＞0)$）
= $\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$（化简二次根式：$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$）
= $\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3}$（合并同类二次根式，通分计算）
= $\frac{2}{3}\sqrt{3}$；
(2) 原式 = $3^2 - (\sqrt{5})^2$（利用平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$）
= $9 - 5$
= $4$；
【答案】
(1) $\frac{2}{3}\sqrt{3}$；(2) $4$
【知识点】
二次根式的混合运算、平方差公式
【点评】
本题为二次根式运算的基础题型，考查二次根式的除法法则、同类二次根式的合并及平方差公式的应用，运算逻辑清晰，难度较低，学生掌握基础运算规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的混合运算，解题思路：(1)先依据二次根式的除法法则计算除法项，再化简减法中的二次根式，最后合并同类二次根式；(2)利用平方差公式简化计算，减少运算步骤。
【解析】
(1) 原式 = $\sqrt{18÷6} - \sqrt{\frac{1}{3}}$（根据二次根式除法法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}(a≥0,b＞0)$）
= $\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3}$（化简二次根式：$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$）
= $\frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3}$（合并同类二次根式，通分计算）
= $\frac{2}{3}\sqrt{3}$；
(2) 原式 = $3^2 - (\sqrt{5})^2$（利用平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$）
= $9 - 5$
= $4$；
【答案】
(1) $\frac{2}{3}\sqrt{3}$；(2) $4$
【知识点】
二次根式的混合运算、平方差公式
【点评】
本题为二次根式运算的基础题型，考查二次根式的除法法则、同类二次根式的合并及平方差公式的应用，运算逻辑清晰，难度较低，学生掌握基础运算规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8
例4(2024·嵊州)计算：
(1)$\sqrt{20} - 5\sqrt{\frac{1}{5}}$。
(2)$(\sqrt{2} - 1)^2 - (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})$。
(1)$\sqrt{20} - 5\sqrt{\frac{1}{5}}$。
(2)$(\sqrt{2} - 1)^2 - (1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})$。
答案
(1)原式$=2\sqrt{5}-\sqrt{25×\frac{1}{5}}=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
(2)原式$=2-2\sqrt{2}+1-(1-2)=4-2\sqrt{2}$。
(2)原式$=2-2\sqrt{2}+1-(1-2)=4-2\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题考查二次根式的混合运算，需先化简二次根式或运用乘法公式，再合并同类二次根式或计算整式部分。
(1) 二次根式减法需先将每个二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{20}$可分解为$\sqrt{4×5}$化简为$2\sqrt{5}$；$5\sqrt{\frac{1}{5}}$根据二次根式性质化为$\sqrt{5^2×\frac{1}{5}}=\sqrt{5}$，再合并同类二次根式。
(2) 混合运算需分别计算两部分：第一部分用完全平方公式展开$(\sqrt{2}-1)^2$，第二部分用平方差公式计算$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$，再去括号合并结果。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{20} - 5\sqrt{\frac{1}{5}}=2\sqrt{5} - \sqrt{5^2×\frac{1}{5}}=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
(2) 原式$=(\sqrt{2}-1)^2 - (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=(2 - 2\sqrt{2} +1) - (1 - 2)=3 - 2\sqrt{2} +1=4 - 2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；(2) $4 - 2\sqrt{2}$。
【知识点】
二次根式的运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并以及乘法公式的应用，解题时需注意公式的正确运用和二次根式化简的准确性，属于学生应熟练掌握的常规计算题目。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的混合运算，需先化简二次根式或运用乘法公式，再合并同类二次根式或计算整式部分。
(1) 二次根式减法需先将每个二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{20}$可分解为$\sqrt{4×5}$化简为$2\sqrt{5}$；$5\sqrt{\frac{1}{5}}$根据二次根式性质化为$\sqrt{5^2×\frac{1}{5}}=\sqrt{5}$，再合并同类二次根式。
(2) 混合运算需分别计算两部分：第一部分用完全平方公式展开$(\sqrt{2}-1)^2$，第二部分用平方差公式计算$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})$，再去括号合并结果。
【解析】
(1) 原式$=\sqrt{20} - 5\sqrt{\frac{1}{5}}=2\sqrt{5} - \sqrt{5^2×\frac{1}{5}}=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
(2) 原式$=(\sqrt{2}-1)^2 - (1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=(2 - 2\sqrt{2} +1) - (1 - 2)=3 - 2\sqrt{2} +1=4 - 2\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$；(2) $4 - 2\sqrt{2}$。
【知识点】
二次根式的运算、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并以及乘法公式的应用，解题时需注意公式的正确运用和二次根式化简的准确性，属于学生应熟练掌握的常规计算题目。
【难度系数】
0.6
