登录
1.像$\sqrt{a^2+1},\sqrt{x-2},\sqrt{2}$这样，表示$\underline{\hspace{5cm}}$的代数式叫作二次根式。二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数$\underline{\hspace{2cm}}$或$\underline{\hspace{3cm}}$零。
答案
1. 算术平方根 大于 等于
解析
【分析】
要解决这道题，需牢记二次根式的核心定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的代数式是二次根式，它表示的是算术平方根；同时二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即大于或等于零，据此可完成填空。
【解析】
根据二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫作二次根式；二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零，因此依次填入的内容为：算术平方根、大于、等于。
【答案】
算术平方根、大于、等于
【知识点】
二次根式的定义，算术平方根
【点评】
本题考查二次根式的基础概念，属于识记类题目，难度较低，主要考查学生对基础定义的掌握程度。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需牢记二次根式的核心定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的代数式是二次根式，它表示的是算术平方根；同时二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，即大于或等于零，据此可完成填空。
【解析】
根据二次根式的定义：表示算术平方根的代数式叫作二次根式；二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方数大于或等于零，因此依次填入的内容为：算术平方根、大于、等于。
【答案】
算术平方根、大于、等于
【知识点】
二次根式的定义，算术平方根
【点评】
本题考查二次根式的基础概念，属于识记类题目，难度较低，主要考查学生对基础定义的掌握程度。
【难度系数】
0.9
2.二次根式的性质：
(1)$(\sqrt{a})^{2}=\_\_\_\_\_\_(a≥ 0)$。
(2)$\sqrt{a^{2}}=|a|=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_(a≥ 0);\\\_\_\_\_\_\_(a＜0)。\end{cases}$
(3)$\sqrt{ab}=\_\_\_\_\_\_(a≥ 0,b≥ 0)$。
(4)$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\_\_\_\_\_\_(a≥ 0,b＞0)$。
(1)$(\sqrt{a})^{2}=\_\_\_\_\_\_(a≥ 0)$。
(2)$\sqrt{a^{2}}=|a|=\begin{cases}\_\_\_\_\_\_(a≥ 0);\\\_\_\_\_\_\_(a＜0)。\end{cases}$
(3)$\sqrt{ab}=\_\_\_\_\_\_(a≥ 0,b≥ 0)$。
(4)$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\_\_\_\_\_\_(a≥ 0,b＞0)$。
答案
2.(1)$a$ (2)$a$ $-a$ (3)$\sqrt{a}×\sqrt{b}$ (4)$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
解析
【分析】
要解决二次根式性质的填空问题，需回忆并理解二次根式的核心性质：
1. 对于$(\sqrt{a})^2$，当$a≥0$时，$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，其平方后结果为原数$a$；
2. 对于$\sqrt{a^2}$，它表示$a^2$的算术平方根，结果是$a$的绝对值，因此分$a≥0$和$a＜0$两种情况，绝对值的化简结果分别为$a$和$-a$；
3. 积的算术平方根性质：当$a≥0$、$b≥0$时，积的算术平方根等于各因式算术平方根的乘积；
4. 商的算术平方根性质：当$a≥0$、$b＞0$时，商的算术平方根等于被除式算术平方根除以除式算术平方根。
【解析】
根据二次根式的性质逐一填空：
(1) 当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$；
(2) $\sqrt{a^2}=|a|$，当$a≥0$时，$|a|=a$；当$a＜0$时，$|a|=-a$；
(3) 当$a≥0$、$b≥0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$；
(4) 当$a≥0$、$b＞0$时，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
【答案】
2.(1)$a$ (2)$a$ $-a$ (3)$\sqrt{a}×\sqrt{b}$ (4)$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的基础性质，是二次根式运算的核心依据，需熟练掌握并准确应用。
【难度系数】
0.9
要解决二次根式性质的填空问题，需回忆并理解二次根式的核心性质：
1. 对于$(\sqrt{a})^2$，当$a≥0$时，$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，其平方后结果为原数$a$；
2. 对于$\sqrt{a^2}$，它表示$a^2$的算术平方根，结果是$a$的绝对值，因此分$a≥0$和$a＜0$两种情况，绝对值的化简结果分别为$a$和$-a$；
3. 积的算术平方根性质：当$a≥0$、$b≥0$时，积的算术平方根等于各因式算术平方根的乘积；
4. 商的算术平方根性质：当$a≥0$、$b＞0$时，商的算术平方根等于被除式算术平方根除以除式算术平方根。
【解析】
根据二次根式的性质逐一填空：
(1) 当$a≥0$时，$(\sqrt{a})^2=a$；
(2) $\sqrt{a^2}=|a|$，当$a≥0$时，$|a|=a$；当$a＜0$时，$|a|=-a$；
(3) 当$a≥0$、$b≥0$时，$\sqrt{ab}=\sqrt{a}×\sqrt{b}$；
(4) 当$a≥0$、$b＞0$时，$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
【答案】
2.(1)$a$ (2)$a$ $-a$ (3)$\sqrt{a}×\sqrt{b}$ (4)$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的基础性质，是二次根式运算的核心依据，需熟练掌握并准确应用。
【难度系数】
0.9
3. 在根号内不含
分母
，也不含开得尽方的因数或因式
，这样的二次根式称为最简二次根式。答案
3. 分母 开得尽方的因数或因式
解析
【分析】
这道题考查最简二次根式的定义，解题思路是回忆最简二次根式需满足的两个核心条件，对应题目中的两个空缺位置，准确填写对应的内容即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件：一是根号内不含有分母，二是根号内不含有开得尽方的因数或因式，因此题目中的两个空分别对应这两个内容。
【答案】
分母；开得尽方的因数或因式
【知识点】
最简二次根式的概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查学生对最简二次根式定义的掌握，是必须牢记的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8
这道题考查最简二次根式的定义，解题思路是回忆最简二次根式需满足的两个核心条件，对应题目中的两个空缺位置，准确填写对应的内容即可。
【解析】
根据最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件：一是根号内不含有分母，二是根号内不含有开得尽方的因数或因式，因此题目中的两个空分别对应这两个内容。
【答案】
分母；开得尽方的因数或因式
【知识点】
最简二次根式的概念
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查学生对最简二次根式定义的掌握，是必须牢记的基础知识点，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 二次根式的乘除运算法则：$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \_\_\_\_\_\_$（$a≥0,b≥0$）；$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \_\_\_\_\_\_$（$a \_\_\_\_\_\_ 0,b \_\_\_\_\_\_ 0$）。
二次根式加减运算的一般步骤：
(1) ______每个二次根式。
(2) ______同类二次根式，二次根式的运算顺序仍为先乘除后加减，有括号的先算括号里面的。
二次根式加减运算的一般步骤：
(1) ______每个二次根式。
(2) ______同类二次根式，二次根式的运算顺序仍为先乘除后加减，有括号的先算括号里面的。
答案
4. $\sqrt{ab}$ $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ $≥$ $＞$ (1)化简 (2)合并
解析
【分析】本题考查二次根式的乘除运算法则及加减运算步骤，需准确识记相关公式、被开方数的取值范围，以及加减运算的关键步骤，属于二次根式的基础知识点考查。
【解析】根据二次根式的运算法则：乘法法则为$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）；除法法则为$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）；二次根式加减运算的一般步骤：(1)化简每个二次根式；(2)合并同类二次根式，运算顺序遵循先乘除后加减、有括号先算括号内的规则。
【答案】$\sqrt{ab}$；$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$；$≥$；$＞$；(1)化简；(2)合并
【知识点】二次根式乘除法则；二次根式加减运算
【点评】本题为基础概念识记题，考查二次根式的核心运算规则，是二次根式章节的必备基础知识，难度较低，用于巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】根据二次根式的运算法则：乘法法则为$\sqrt{a} × \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$）；除法法则为$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$）；二次根式加减运算的一般步骤：(1)化简每个二次根式；(2)合并同类二次根式，运算顺序遵循先乘除后加减、有括号先算括号内的规则。
【答案】$\sqrt{ab}$；$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$；$≥$；$＞$；(1)化简；(2)合并
【知识点】二次根式乘除法则；二次根式加减运算
【点评】本题为基础概念识记题，考查二次根式的核心运算规则，是二次根式章节的必备基础知识，难度较低，用于巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
5.斜坡上A,B两点之间的高度差BC与水平距离AC的比叫作AB的坡比。
答案
解：
由坡比的定义可得 $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。
代入 $AC=6\ \mathrm{m}$，得 $BC=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AB的长为$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
由坡比的定义可得 $\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。
代入 $AC=6\ \mathrm{m}$，得 $BC=\dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because ∠ C=90°$，
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AB的长为$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
首先明确坡比的定义：斜坡的坡比是高度差与水平距离的比值。本题中已知坡比为$\frac{1}{\sqrt{3}}$，水平距离$AC=6\ \mathrm{m}$，先根据坡比公式求出高度$BC$；再观察图形可知$△ ABC$是直角三角形（$∠ C=90°$），利用勾股定理即可计算出斜边$AB$的长度。
【解析】
解：根据坡比的定义，坡比为$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。
已知$AC=6\ \mathrm{m}$，代入得：
$BC=AC×\dfrac{1}{\sqrt{3}}=6×\dfrac{1}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因为$∠ C=90°$，所以在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AB的长为$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡比、勾股定理、直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查坡比的概念和勾股定理的应用，属于基础题型，关键是准确理解坡比的定义，熟练运用勾股定理计算直角三角形的边长，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先明确坡比的定义：斜坡的坡比是高度差与水平距离的比值。本题中已知坡比为$\frac{1}{\sqrt{3}}$，水平距离$AC=6\ \mathrm{m}$，先根据坡比公式求出高度$BC$；再观察图形可知$△ ABC$是直角三角形（$∠ C=90°$），利用勾股定理即可计算出斜边$AB$的长度。
【解析】
解：根据坡比的定义，坡比为$\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$。
已知$AC=6\ \mathrm{m}$，代入得：
$BC=AC×\dfrac{1}{\sqrt{3}}=6×\dfrac{1}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
因为$∠ C=90°$，所以在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{36+12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：斜坡AB的长为$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$4\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡比、勾股定理、直角三角形
【点评】
本题结合实际场景考查坡比的概念和勾股定理的应用，属于基础题型，关键是准确理解坡比的定义，熟练运用勾股定理计算直角三角形的边长，难度适中。
【难度系数】
0.6
例1(2024·杭州西湖)要使二次根式$\sqrt{2x-1}$有意义，$x$的取值可以是（
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
D
）A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案
D
解析
【分析】要确定使二次根式有意义的x的取值，需先明确二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数（即大于等于0）。据此列出关于x的不等式，解出x的取值范围后，再对比选项中的数值，选出符合范围的答案即可。
【解析】解：二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$，因此对于$\sqrt{2x-1}$，需满足：
$2x - 1 ≥ 0$
移项得：$2x ≥ 1$
两边同时除以2得：$x ≥ \frac{1}{2}$
逐一分析选项：
A选项：$x=-2$，$-2 ＜ \frac{1}{2}$，不符合；
B选项：$x=-1$，$-1 ＜ \frac{1}{2}$，不符合；
C选项：$x=0$，$0 ＜ \frac{1}{2}$，不符合；
D选项：$x=1$，$1 ＞ \frac{1}{2}$，符合条件。
故答案选D。
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题是二次根式章节的基础题，核心考察二次根式有意义的基本概念，解题思路直接，仅需掌握基础条件即可解答，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.9
【解析】解：二次根式$\sqrt{a}$有意义的条件是被开方数$a≥0$，因此对于$\sqrt{2x-1}$，需满足：
$2x - 1 ≥ 0$
移项得：$2x ≥ 1$
两边同时除以2得：$x ≥ \frac{1}{2}$
逐一分析选项：
A选项：$x=-2$，$-2 ＜ \frac{1}{2}$，不符合；
B选项：$x=-1$，$-1 ＜ \frac{1}{2}$，不符合；
C选项：$x=0$，$0 ＜ \frac{1}{2}$，不符合；
D选项：$x=1$，$1 ＞ \frac{1}{2}$，符合条件。
故答案选D。
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【点评】本题是二次根式章节的基础题，核心考察二次根式有意义的基本概念，解题思路直接，仅需掌握基础条件即可解答，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.9
