登录
1. 利用配方法解一元二次方程$x^{2}-6x+7=0$时，将方程配方为$(x-m)^{2}=n$，则$m,n$的值分别为（
A.$m=9,n=2$
B.$m=-3,n=-2$
C.$m=3,n=0$
D.$m=3,n=2$
D
）A.$m=9,n=2$
B.$m=-3,n=-2$
C.$m=3,n=0$
D.$m=3,n=2$
答案
$x^{2}-6x+7=0,x^{2}-6x=-7,x^{2}-6x+9=-7+9,(x-3)^{2}=2,则m=3,n=2.$
解析
【分析】
这道题的核心是掌握配方法将一元二次方程变形为完全平方形式的步骤，我们的目标是把给定方程整理成$(x-m)^2=n$的标准形式：第一步先将原方程的常数项移到等号右侧，让等号左侧只保留含未知数的二次项和一次项；第二步由于本题二次项系数为1，只需要在等式两侧同时加上一次项系数一半的平方，就能把左侧凑成完全平方式，再化简右侧的常数，最后和给定的$(x-m)^2=n$的形式做对应，就能直接得到m和n的值，选出正确选项。
【解析】
1. 移项：将原方程$x^2-6x+7=0$的常数项移到等号右侧，可得：
$x^2-6x=-7$
2. 配方：一次项系数为$-6$，它的一半是$-3$，平方为$9$，在等式两侧同时加9：
$x^2-6x+9=-7+9$
3. 整理变形：左侧符合完全平方公式，可改写为完全平方式，右侧计算常数结果：
$(x-3)^2=2$
4. 对应形式对比：将$(x-3)^2=2$和题目给出的$(x-m)^2=n$对应，可得$m=3$，$n=2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础入门题型，重点考察学生对二次项系数为1时的配方操作的掌握，易错点是部分同学会错误将一次项系数直接当作m，或者移项、计算右侧常数时出现符号错误，只要牢记“二次项系数为1时，配方加一次项系数一半的平方”的操作规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
这道题的核心是掌握配方法将一元二次方程变形为完全平方形式的步骤，我们的目标是把给定方程整理成$(x-m)^2=n$的标准形式：第一步先将原方程的常数项移到等号右侧，让等号左侧只保留含未知数的二次项和一次项；第二步由于本题二次项系数为1，只需要在等式两侧同时加上一次项系数一半的平方，就能把左侧凑成完全平方式，再化简右侧的常数，最后和给定的$(x-m)^2=n$的形式做对应，就能直接得到m和n的值，选出正确选项。
【解析】
1. 移项：将原方程$x^2-6x+7=0$的常数项移到等号右侧，可得：
$x^2-6x=-7$
2. 配方：一次项系数为$-6$，它的一半是$-3$，平方为$9$，在等式两侧同时加9：
$x^2-6x+9=-7+9$
3. 整理变形：左侧符合完全平方公式，可改写为完全平方式，右侧计算常数结果：
$(x-3)^2=2$
4. 对应形式对比：将$(x-3)^2=2$和题目给出的$(x-m)^2=n$对应，可得$m=3$，$n=2$，对应选项D。
【答案】D
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题属于配方法的基础入门题型，重点考察学生对二次项系数为1时的配方操作的掌握，易错点是部分同学会错误将一次项系数直接当作m，或者移项、计算右侧常数时出现符号错误，只要牢记“二次项系数为1时，配方加一次项系数一半的平方”的操作规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.9
2. 易错题 解方程$2x^{2}+4x+1=0$时,对方程进行配方,如图①所示为甲的做法,如图②所示为乙的做法.对于两人的做法,下列说法中正确的是（
A.两人都正确
B.甲正确,乙不正确
C.甲不正确,乙正确
D.两人都不正确
A
）A.两人都正确
B.甲正确,乙不正确
C.甲不正确,乙正确
D.两人都不正确
答案
先移项,再配方,变形后即可判断甲的解法是正确的;移项,方程两边都除以2,再配方,即可判断乙的解法也正确.
解析
【分析】
我们要判断甲乙两人的配方过程是否正确，核心是验证每一步变形是否符合等式的基本性质，以及完全平方公式的应用是否正确。配方法的核心是将一元二次方程的左边凑成完全平方式，右边为常数，配方的路径并不唯一：首先看甲的步骤，原方程移项得到$2x^2+4x=-1$后，甲选择两边同乘2，让二次项系数变成完全平方数4，之后给等式两边同时加4，刚好把左边凑成$(2x+2)^2$的完全平方式，每一步都满足等式两边同时乘/加同一个数，等式仍然成立；再看乙的步骤，移项后选择两边同除以2，把二次项系数化为1，之后给等式两边同时加一次项系数一半的平方1，凑出$(x+1)^2$的完全平方式，也是配方法的常规操作，每一步变形也都合法，因此两人的做法都是正确的。
【解析】
首先将原方程$2x^2+4x+1=0$移项，可得：$2x^2+4x=-1$。
1. 验证甲的做法：
第一步：等式两边同时乘以2，左边$2×(2x^2+4x)=4x^2+8x$，右边$2×(-1)=-2$，得到$4x^2+8x=-2$，符合等式性质2，变形正确；
第二步：等式两边同时加4，左边$4x^2+8x+4$，右边$-2+4=2$，得到$4x^2+8x+4=2$，符合等式性质1，变形正确；
第三步：由完全平方公式，$4x^2+8x+4=(2x+2)^2$，因此得到$(2x+2)^2=2$，变形正确。
因此甲的所有步骤都正确。
2. 验证乙的做法：
第一步：等式两边同时除以2，左边$\frac{2x^2+4x}{2}=x^2+2x$，右边$-\frac{1}{2}$，得到$x^2+2x=-\frac{1}{2}$，符合等式性质2，变形正确；
第二步：等式两边同时加1，左边$x^2+2x+1$，右边$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，得到$x^2+2x+1=-\frac{1}{2}+1$，符合等式性质1，变形正确；
第三步：由完全平方公式，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此得到$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，变形正确。
因此乙的所有步骤也都正确。
综上两人的做法都正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的性质，完全平方公式
【点评】
本题是易错题，很多同学会形成思维定式，误以为配方法必须先将二次项系数化为1才是正确操作，实际上配方的核心是通过合理变形凑出完全平方式，只要每一步都严格遵循等式的性质，变形路径是不唯一的，两种操作都符合配方法的要求。
【难度系数】
0.6
我们要判断甲乙两人的配方过程是否正确，核心是验证每一步变形是否符合等式的基本性质，以及完全平方公式的应用是否正确。配方法的核心是将一元二次方程的左边凑成完全平方式，右边为常数，配方的路径并不唯一：首先看甲的步骤，原方程移项得到$2x^2+4x=-1$后，甲选择两边同乘2，让二次项系数变成完全平方数4，之后给等式两边同时加4，刚好把左边凑成$(2x+2)^2$的完全平方式，每一步都满足等式两边同时乘/加同一个数，等式仍然成立；再看乙的步骤，移项后选择两边同除以2，把二次项系数化为1，之后给等式两边同时加一次项系数一半的平方1，凑出$(x+1)^2$的完全平方式，也是配方法的常规操作，每一步变形也都合法，因此两人的做法都是正确的。
【解析】
首先将原方程$2x^2+4x+1=0$移项，可得：$2x^2+4x=-1$。
1. 验证甲的做法：
第一步：等式两边同时乘以2，左边$2×(2x^2+4x)=4x^2+8x$，右边$2×(-1)=-2$，得到$4x^2+8x=-2$，符合等式性质2，变形正确；
第二步：等式两边同时加4，左边$4x^2+8x+4$，右边$-2+4=2$，得到$4x^2+8x+4=2$，符合等式性质1，变形正确；
第三步：由完全平方公式，$4x^2+8x+4=(2x+2)^2$，因此得到$(2x+2)^2=2$，变形正确。
因此甲的所有步骤都正确。
2. 验证乙的做法：
第一步：等式两边同时除以2，左边$\frac{2x^2+4x}{2}=x^2+2x$，右边$-\frac{1}{2}$，得到$x^2+2x=-\frac{1}{2}$，符合等式性质2，变形正确；
第二步：等式两边同时加1，左边$x^2+2x+1$，右边$-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}$，得到$x^2+2x+1=-\frac{1}{2}+1$，符合等式性质1，变形正确；
第三步：由完全平方公式，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，因此得到$(x+1)^2=\frac{1}{2}$，变形正确。
因此乙的所有步骤也都正确。
综上两人的做法都正确。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程，等式的性质，完全平方公式
【点评】
本题是易错题，很多同学会形成思维定式，误以为配方法必须先将二次项系数化为1才是正确操作，实际上配方的核心是通过合理变形凑出完全平方式，只要每一步都严格遵循等式的性质，变形路径是不唯一的，两种操作都符合配方法的要求。
【难度系数】
0.6
3. 已知关于$x$的方程$x^{2}+4x+n=0$可以配方成$(x+m)^{2}=3$，则$(m-n)^{2027}=$
1
。答案
由$(x+m)^{2}=3$,得$x^{2}+2mx+m^{2}-3=0, \therefore 2m=4,m^{2}-3=n. \therefore m=2,n=1. \therefore (m-n)^{2027}=1.$
解析
【分析】
我们的解题思路是这样的：首先题目给出了配方后的方程形式，先将配方后的完全平方式展开，整理为一元二次方程的一般形式，由于它和原方程是完全等价的同一个方程，因此两个方程的对应同类项系数必然相等，由此可以列出关于m、n的等式，先求出m的值，再代入求出n的值，最后将m、n代入待求的代数式计算出最终结果即可。
【解析】
1. 展开整理配方后的方程
将$(x+m)^2=3$用完全平方公式展开左边，得：
$x^2 + 2mx + m^2 = 3$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 2mx + m^2 - 3 = 0$
2. 对比系数求解参数
已知原方程为$x^2 + 4x + n = 0$，两个方程为等价方程，对应项系数相等：
一次项系数对应相等：$2m = 4$，解得$m=2$
常数项对应相等：$m^2 - 3 = n$，将$m=2$代入得$n=2^2 - 3 = 1$
3. 代入代数式计算
将$m=2$，$n=1$代入$(m-n)^{2027}$，得：
$(2-1)^{2027}=1^{2027}=1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式；一元二次方程配方法；代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程配方法的基础题型，核心利用等价一元二次方程对应系数相等的性质求解参数，整体计算难度低，只要掌握完全平方展开规则即可顺利求解，注意1的任意正整数次幂结果都为1。
【难度系数】
0.8
我们的解题思路是这样的：首先题目给出了配方后的方程形式，先将配方后的完全平方式展开，整理为一元二次方程的一般形式，由于它和原方程是完全等价的同一个方程，因此两个方程的对应同类项系数必然相等，由此可以列出关于m、n的等式，先求出m的值，再代入求出n的值，最后将m、n代入待求的代数式计算出最终结果即可。
【解析】
1. 展开整理配方后的方程
将$(x+m)^2=3$用完全平方公式展开左边，得：
$x^2 + 2mx + m^2 = 3$
移项整理为一元二次方程的一般形式：
$x^2 + 2mx + m^2 - 3 = 0$
2. 对比系数求解参数
已知原方程为$x^2 + 4x + n = 0$，两个方程为等价方程，对应项系数相等：
一次项系数对应相等：$2m = 4$，解得$m=2$
常数项对应相等：$m^2 - 3 = n$，将$m=2$代入得$n=2^2 - 3 = 1$
3. 代入代数式计算
将$m=2$，$n=1$代入$(m-n)^{2027}$，得：
$(2-1)^{2027}=1^{2027}=1$
【答案】
1
【知识点】
完全平方公式；一元二次方程配方法；代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程配方法的基础题型，核心利用等价一元二次方程对应系数相等的性质求解参数，整体计算难度低，只要掌握完全平方展开规则即可顺利求解，注意1的任意正整数次幂结果都为1。
【难度系数】
0.8
4. 教材变式题 [2024 常州期末]如图,用配方法解一元二次方程$x^{2}+6x=40$时,配方的过程可以用拼图直观地表示,即看成将一个长是$x+6$、宽是$x$、面积是40的矩形割补成一个正方形,则$m$的值是
3
.答案
$x^{2}+6x=40,x^{2}+6x+9=40+9,(x+3)^{2}=49, \therefore m=3.$
解析
【分析】
我们先从图形的面积关系入手，左侧长为x+6、宽为x的矩形，面积为x(x+6)=x²+6x，正好对应题目给出的方程x²+6x=40。接下来观察割补后的图形，拼图的目的是把原矩形补成一个大正方形，对应配方法凑完全平方的操作：完全平方公式(x+m)²=x²+2mx+m²，对比x²+6x的结构，一次项6x对应2·x·m，由此就能直接求出m的值，也可以从图形边长的对应关系看出，原矩形长里多出的6，是被拆成了两个长度为m的部分，即2m=6，即可算出m。
【解析】
解：由题意可知，原矩形的面积为：
$S = x(x+6) = x^2 + 6x$，满足方程$x^2 + 6x = 40$。
根据配方法凑完全平方的规则，将左边凑成完全平方式：
$x^2 + 6x = x^2 + 2· x· 3$，对比完全平方公式$(x+m)^2 = x^2 + 2mx + m^2$，可得$2m=6$，
解得$m=3$，此时补全的小正方形面积为$m^2=9$，对应配方时添加的常数项，符合割补后大正方形边长为$x+3$的图形特征。
【答案】
$3$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，图形割补
【点评】
本题将配方法的代数运算和几何直观拼图结合，具象化了配方法的原理，帮助理解“配方时添加一次项系数一半的平方”的由来，解题时只需将图形边长和完全平方公式的参数对应即可快速得到结果，难度不大但能加深对配方法本质的理解。
【难度系数】
0.7
我们先从图形的面积关系入手，左侧长为x+6、宽为x的矩形，面积为x(x+6)=x²+6x，正好对应题目给出的方程x²+6x=40。接下来观察割补后的图形，拼图的目的是把原矩形补成一个大正方形，对应配方法凑完全平方的操作：完全平方公式(x+m)²=x²+2mx+m²，对比x²+6x的结构，一次项6x对应2·x·m，由此就能直接求出m的值，也可以从图形边长的对应关系看出，原矩形长里多出的6，是被拆成了两个长度为m的部分，即2m=6，即可算出m。
【解析】
解：由题意可知，原矩形的面积为：
$S = x(x+6) = x^2 + 6x$，满足方程$x^2 + 6x = 40$。
根据配方法凑完全平方的规则，将左边凑成完全平方式：
$x^2 + 6x = x^2 + 2· x· 3$，对比完全平方公式$(x+m)^2 = x^2 + 2mx + m^2$，可得$2m=6$，
解得$m=3$，此时补全的小正方形面积为$m^2=9$，对应配方时添加的常数项，符合割补后大正方形边长为$x+3$的图形特征。
【答案】
$3$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，图形割补
【点评】
本题将配方法的代数运算和几何直观拼图结合，具象化了配方法的原理，帮助理解“配方时添加一次项系数一半的平方”的由来，解题时只需将图形边长和完全平方公式的参数对应即可快速得到结果，难度不大但能加深对配方法本质的理解。
【难度系数】
0.7
5. 用配方法解下列方程：
(1) $x^{2}-2=-10x.$
(2) $\dfrac{1}{2}x^{2}+2x-2=0.$
(3) $3x^{2}-4x-2=0.$
(4) $-2x^{2}-7x+4=0.$
(1) $x^{2}-2=-10x.$
(2) $\dfrac{1}{2}x^{2}+2x-2=0.$
(3) $3x^{2}-4x-2=0.$
(4) $-2x^{2}-7x+4=0.$
答案
(1) $x_1=-5+3\sqrt{3},x_2=-5-3\sqrt{3}.$
(2) $x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}.$
(3) $x_1=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}.$
(4) $x_1=-4,x_2=\dfrac{1}{2}.$
(2) $x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}.$
(3) $x_1=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}.$
(4) $x_1=-4,x_2=\dfrac{1}{2}.$
解析
【分析】
我们用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式等于非负常数的形式，再通过开平方求解，通用思考步骤如下：
1. 先对每个方程做移项处理：将所有含未知数x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧；
2. 观察二次项系数：如果二次项系数不为1，就给方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；
3. 配方操作：在等号左右两边同时加上「一次项系数一半的平方」，此时左侧可以整理为$(x+m)^2$的完全平方形式，右侧合并计算常数项；
4. 对变形后的方程两边开平方，直接解出x的两个取值即可。我们按照这个流程依次求解4个方程就能得到正确结果。
【解析】
我们逐个用配方法求解：
(1) 解方程$x^2 - 2 = -10x$
移项得：$x^2 +10x = 2$
二次项系数已经为1，两边同时加一次项系数一半的平方$5^2=25$：
$x^2 +10x +25 = 2 +25$
整理得完全平方式：$(x+5)^2 = 27$
开平方得：$x+5 = \pm3\sqrt{3}$
解得：$x_1 = -5 + 3\sqrt{3}$，$x_2 = -5 -3\sqrt{3}$
(2) 解方程$\dfrac{1}{2}x^2 +2x -2 =0$
移项得：$\dfrac{1}{2}x^2 +2x = 2$
两边同时乘2将二次项系数化为1：$x^2 +4x =4$
两边同时加一次项系数一半的平方$2^2=4$：
$x^2 +4x +4 =4+4$
整理得完全平方式：$(x+2)^2 =8$
开平方得：$x+2 = \pm2\sqrt{2}$
解得：$x_1=-2+2\sqrt{2}$，$x_2=-2-2\sqrt{2}$
(3) 解方程$3x^2 -4x -2 =0$
移项得：$3x^2 -4x =2$
两边同时除以3将二次项系数化为1：$x^2 - \dfrac{4}{3}x = \dfrac{2}{3}$
两边同时加一次项系数一半的平方$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$：
$x^2 -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{9}$
整理得完全平方式：$(x-\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{10}{9}$
开平方得：$x-\dfrac{2}{3} = \pm\dfrac{\sqrt{10}}{3}$
解得：$x_1=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}$
(4) 解方程$-2x^2 -7x +4 =0$
移项得：$-2x^2 -7x = -4$
两边同时除以$-2$将二次项系数化为1：$x^2 + \dfrac{7}{2}x = 2$
两边同时加一次项系数一半的平方$(\dfrac{7}{4})^2=\dfrac{49}{16}$：
$x^2 +\dfrac{7}{2}x + \dfrac{49}{16} = 2 + \dfrac{49}{16}$
整理得完全平方式：$(x+\dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
开平方得：$x+\dfrac{7}{4} = \pm\dfrac{9}{4}$
分情况计算得：$x_1=-4$，$x_2=\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-5+3\sqrt{3},x_2=-5-3\sqrt{3}.$
(2) $x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}.$
(3) $x_1=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}.$
(4) $x_1=-4,x_2=\dfrac{1}{2}.$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法求解一元二次方程的基础训练题，覆盖了二次项系数为1、分数、正整数、负整数四种常见情况，完整考察了配方法的全流程操作，需要注意化二次项系数为1时不要漏除常数项，配方时要保证等号两边同时加常数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
我们用配方法解一元二次方程的核心思路是将方程转化为完全平方式等于非负常数的形式，再通过开平方求解，通用思考步骤如下：
1. 先对每个方程做移项处理：将所有含未知数x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧；
2. 观察二次项系数：如果二次项系数不为1，就给方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；
3. 配方操作：在等号左右两边同时加上「一次项系数一半的平方」，此时左侧可以整理为$(x+m)^2$的完全平方形式，右侧合并计算常数项；
4. 对变形后的方程两边开平方，直接解出x的两个取值即可。我们按照这个流程依次求解4个方程就能得到正确结果。
【解析】
我们逐个用配方法求解：
(1) 解方程$x^2 - 2 = -10x$
移项得：$x^2 +10x = 2$
二次项系数已经为1，两边同时加一次项系数一半的平方$5^2=25$：
$x^2 +10x +25 = 2 +25$
整理得完全平方式：$(x+5)^2 = 27$
开平方得：$x+5 = \pm3\sqrt{3}$
解得：$x_1 = -5 + 3\sqrt{3}$，$x_2 = -5 -3\sqrt{3}$
(2) 解方程$\dfrac{1}{2}x^2 +2x -2 =0$
移项得：$\dfrac{1}{2}x^2 +2x = 2$
两边同时乘2将二次项系数化为1：$x^2 +4x =4$
两边同时加一次项系数一半的平方$2^2=4$：
$x^2 +4x +4 =4+4$
整理得完全平方式：$(x+2)^2 =8$
开平方得：$x+2 = \pm2\sqrt{2}$
解得：$x_1=-2+2\sqrt{2}$，$x_2=-2-2\sqrt{2}$
(3) 解方程$3x^2 -4x -2 =0$
移项得：$3x^2 -4x =2$
两边同时除以3将二次项系数化为1：$x^2 - \dfrac{4}{3}x = \dfrac{2}{3}$
两边同时加一次项系数一半的平方$(-\dfrac{2}{3})^2=\dfrac{4}{9}$：
$x^2 -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{9}$
整理得完全平方式：$(x-\dfrac{2}{3})^2 = \dfrac{10}{9}$
开平方得：$x-\dfrac{2}{3} = \pm\dfrac{\sqrt{10}}{3}$
解得：$x_1=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}$
(4) 解方程$-2x^2 -7x +4 =0$
移项得：$-2x^2 -7x = -4$
两边同时除以$-2$将二次项系数化为1：$x^2 + \dfrac{7}{2}x = 2$
两边同时加一次项系数一半的平方$(\dfrac{7}{4})^2=\dfrac{49}{16}$：
$x^2 +\dfrac{7}{2}x + \dfrac{49}{16} = 2 + \dfrac{49}{16}$
整理得完全平方式：$(x+\dfrac{7}{4})^2 = \dfrac{81}{16}$
开平方得：$x+\dfrac{7}{4} = \pm\dfrac{9}{4}$
分情况计算得：$x_1=-4$，$x_2=\dfrac{1}{2}$
【答案】
(1) $x_1=-5+3\sqrt{3},x_2=-5-3\sqrt{3}.$
(2) $x_1=-2+2\sqrt{2},x_2=-2-2\sqrt{2}.$
(3) $x_1=\dfrac{2+\sqrt{10}}{3},x_2=\dfrac{2-\sqrt{10}}{3}.$
(4) $x_1=-4,x_2=\dfrac{1}{2}.$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法
【点评】
本题是配方法求解一元二次方程的基础训练题，覆盖了二次项系数为1、分数、正整数、负整数四种常见情况，完整考察了配方法的全流程操作，需要注意化二次项系数为1时不要漏除常数项，配方时要保证等号两边同时加常数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
6. [2024 东营中考]用配方法解一元二次方程 $x^{2}-2x-2\ 023=0$, 将它转化为 $(x+a)^{2}=b$ 的形式,则 $a^{b}$ 的值为（
A.$-2\ 024$
B.$2\ 024$
C.$-1$
D.$1$
D
）A.$-2\ 024$
B.$2\ 024$
C.$-1$
D.$1$
答案
由题意知,$x^{2}-2x-2\ 023=0,x^{2}-2x=2\ 023,x^{2}-2x+1=2\ 023+1,(x-1)^{2}=2\ 024, \therefore a=-1,b=2\ 024. \therefore a^{b}=(-1)^{2\ 024}=1.$
解析
【分析】
这道题需要用配方法将给定的一元二次方程转化为$(x+a)^2=b$的标准形式，再代入计算$a^b$的值。解题时首先回忆配方法的操作逻辑：第一步先把原方程的常数项移到等号右侧，让等号左侧仅保留含x的二次项和一次项；由于本题二次项系数为1，第二步直接给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，就能把左侧凑成完全平方式，整理后即可匹配出a和b的取值，最后代入计算有理数乘方就能得到最终结果，注意不要搞错完全平方式展开后a的符号。
【解析】
解：
1. 移项：将原方程的常数项移到等号右侧，得到
$x^2 - 2x = 2023$
2. 配方：等式两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方，即$(-\frac{2}{2})^2=1$，可得
$x^2 - 2x + 1 = 2023 + 1$
3. 整理变形：左侧写成完全平方形式，右侧计算常数和，得到
$(x-1)^2 = 2024$
4. 与目标形式$(x+a)^2=b$对比，可得$a=-1$，$b=2024$
5. 代入计算：$a^b = (-1)^{2024}=1$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，有理数乘方运算
【点评】
本题是一元二次方程配方法的基础常规考题，核心考查配方法的基础操作规则，易错点是凑完全平方后容易误判a的符号，同时要牢记-1的偶次幂结果为1，整体计算量很小，熟练掌握配方法步骤即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
这道题需要用配方法将给定的一元二次方程转化为$(x+a)^2=b$的标准形式，再代入计算$a^b$的值。解题时首先回忆配方法的操作逻辑：第一步先把原方程的常数项移到等号右侧，让等号左侧仅保留含x的二次项和一次项；由于本题二次项系数为1，第二步直接给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，就能把左侧凑成完全平方式，整理后即可匹配出a和b的取值，最后代入计算有理数乘方就能得到最终结果，注意不要搞错完全平方式展开后a的符号。
【解析】
解：
1. 移项：将原方程的常数项移到等号右侧，得到
$x^2 - 2x = 2023$
2. 配方：等式两边同时加上一次项系数$-2$一半的平方，即$(-\frac{2}{2})^2=1$，可得
$x^2 - 2x + 1 = 2023 + 1$
3. 整理变形：左侧写成完全平方形式，右侧计算常数和，得到
$(x-1)^2 = 2024$
4. 与目标形式$(x+a)^2=b$对比，可得$a=-1$，$b=2024$
5. 代入计算：$a^b = (-1)^{2024}=1$
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程，有理数乘方运算
【点评】
本题是一元二次方程配方法的基础常规考题，核心考查配方法的基础操作规则，易错点是凑完全平方后容易误判a的符号，同时要牢记-1的偶次幂结果为1，整体计算量很小，熟练掌握配方法步骤即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
