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1. 若关于$x$的方程$(x-2)^2 = m+1$有实数根，则$m$的取值范围是（
A.$m＞1$
B.$m＞-1$
C.$m≥ 1$
D.$m≥ -1$
D
）A.$m＞1$
B.$m＞-1$
C.$m≥ 1$
D.$m≥ -1$
答案
∵ 关于x的方程$(x-2)^2 = m+1$有实数根，
∴ $m+1≥0$,解得 $m≥-1$.
解析
【分析】
我们首先回忆完全平方的性质：任意实数的平方结果都是非负数，也就是大于等于0。这道题的方程左边是$(x-2)$的完全平方，本身天然满足$(x-2)^2≥0$。要让这个方程存在实数x满足等式，那么等式右边的$m+1$必须和左边的取值范围匹配，也就是右边不能是负数，否则不存在实数的平方等于负数，方程就没有实根。因此我们只需要列出右边的代数式大于等于0的不等式，求解就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方都是非负数，即对任意实数x，都有$(x-2)^2 ≥ 0$恒成立，
若方程$(x-2)^2 = m+1$有实数根，说明等式右侧的取值必须落在左侧的可取值范围内，
因此可得不等式：$m+1 ≥ 0$，
对该不等式移项求解，得到$m ≥ -1$。
【答案】
D.$m≥ -1$
【知识点】
平方的非负性，一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础题型，不需要将完全平方展开后用判别式计算，直接利用完全平方的非负性即可快速推导参数的取值范围，解题过程简洁不易出错，主要考察学生对非负性性质的灵活运用。
【难度系数】
0.9
我们首先回忆完全平方的性质：任意实数的平方结果都是非负数，也就是大于等于0。这道题的方程左边是$(x-2)$的完全平方，本身天然满足$(x-2)^2≥0$。要让这个方程存在实数x满足等式，那么等式右边的$m+1$必须和左边的取值范围匹配，也就是右边不能是负数，否则不存在实数的平方等于负数，方程就没有实根。因此我们只需要列出右边的代数式大于等于0的不等式，求解就能得到m的取值范围。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方都是非负数，即对任意实数x，都有$(x-2)^2 ≥ 0$恒成立，
若方程$(x-2)^2 = m+1$有实数根，说明等式右侧的取值必须落在左侧的可取值范围内，
因此可得不等式：$m+1 ≥ 0$，
对该不等式移项求解，得到$m ≥ -1$。
【答案】
D.$m≥ -1$
【知识点】
平方的非负性，一元二次方程实根判定
【点评】
本题属于基础题型，不需要将完全平方展开后用判别式计算，直接利用完全平方的非负性即可快速推导参数的取值范围，解题过程简洁不易出错，主要考察学生对非负性性质的灵活运用。
【难度系数】
0.9
2. 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}=b(ab＞0)$的两个根分别是$m-1$和$2m+4$,则$\dfrac{b}{a}$的值为
4
.答案
由 $ax^2 = b(ab＞0)$,得 $x^2 = \dfrac{b}{a}$,解得 $x = \pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$,
∴ 两根互为相反数.
∵ 一元二次方程 $ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是 $m-1$ 和 $2m+4$,
∴ $m-1+2m+4=0$,解得 $m=-1$.
∴ $m-1=-2,2m+4=2$.
∴ 一元二次方程 $ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是 $-2$ 和 $2$. $\therefore \sqrt{\dfrac{b}{a}}=2$.
$\therefore \dfrac{b}{a}=4$.
∴ 两根互为相反数.
∵ 一元二次方程 $ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是 $m-1$ 和 $2m+4$,
∴ $m-1+2m+4=0$,解得 $m=-1$.
∴ $m-1=-2,2m+4=2$.
∴ 一元二次方程 $ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是 $-2$ 和 $2$. $\therefore \sqrt{\dfrac{b}{a}}=2$.
$\therefore \dfrac{b}{a}=4$.
解析
【分析】
我们拿到这道题，首先先对给定的一元二次方程做变形，因为ab＞0，说明a和b同号，b/a是正数，把方程整理为$x^2 = \dfrac{b}{a}$的形式，很容易发现这个方程的两个实数根一定是一正一负、互为相反数的，也就是两根之和等于0。接下来题目已经给出两个根的代数表达式，我们就可以利用“互为相反数的两个数和为0”列方程，先解出m的取值，再把m代回根的表达式得到两个具体的根，最后把根代入$x^2 = \dfrac{b}{a}$，就能直接算出$\dfrac{b}{a}$的数值，这个思路比把两个根代入原方程计算要简便很多。
【解析】
1. 对原方程做变形：
已知$ax^2 = b$，且$ab＞0$，可得$a≠0$，两边同时除以a得：
$x^2 = \dfrac{b}{a}$，由$ab＞0$可知$\dfrac{b}{a}＞0$，开方得$x=\pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$，因此该方程的两个根互为相反数，两根之和为0。
2. 列方程求参数m：
已知方程的两个根分别是$m-1$和$2m+4$，结合两根之和为0可得：
$(m-1)+(2m+4)=0$
合并同类项得$3m+3=0$，解得$m=-1$。
3. 求出两个根的具体值：
把$m=-1$代入两个根的表达式：
$m-1=-1-1=-2$，$2m+4=2×(-1)+4=2$，即方程的两个根为-2和2。
4. 计算$\dfrac{b}{a}$：
由$x^2=\dfrac{b}{a}$，代入$x=2$可得$\dfrac{b}{a}=2^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的性质；相反数性质
【点评】
本题考察特殊形式一元二次方程的求解技巧，核心突破口是观察出$x^2=k(k＞0)$形式的方程两根互为相反数的特征，不需要代入根构造复杂方程组即可快速求出参数m，大幅简化运算。学生容易出错的点是没有先观察方程特征，直接代入两个根列方程反而增加计算量，甚至出现计算错误。
【难度系数】
0.6
我们拿到这道题，首先先对给定的一元二次方程做变形，因为ab＞0，说明a和b同号，b/a是正数，把方程整理为$x^2 = \dfrac{b}{a}$的形式，很容易发现这个方程的两个实数根一定是一正一负、互为相反数的，也就是两根之和等于0。接下来题目已经给出两个根的代数表达式，我们就可以利用“互为相反数的两个数和为0”列方程，先解出m的取值，再把m代回根的表达式得到两个具体的根，最后把根代入$x^2 = \dfrac{b}{a}$，就能直接算出$\dfrac{b}{a}$的数值，这个思路比把两个根代入原方程计算要简便很多。
【解析】
1. 对原方程做变形：
已知$ax^2 = b$，且$ab＞0$，可得$a≠0$，两边同时除以a得：
$x^2 = \dfrac{b}{a}$，由$ab＞0$可知$\dfrac{b}{a}＞0$，开方得$x=\pm\sqrt{\dfrac{b}{a}}$，因此该方程的两个根互为相反数，两根之和为0。
2. 列方程求参数m：
已知方程的两个根分别是$m-1$和$2m+4$，结合两根之和为0可得：
$(m-1)+(2m+4)=0$
合并同类项得$3m+3=0$，解得$m=-1$。
3. 求出两个根的具体值：
把$m=-1$代入两个根的表达式：
$m-1=-1-1=-2$，$2m+4=2×(-1)+4=2$，即方程的两个根为-2和2。
4. 计算$\dfrac{b}{a}$：
由$x^2=\dfrac{b}{a}$，代入$x=2$可得$\dfrac{b}{a}=2^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程根的性质；相反数性质
【点评】
本题考察特殊形式一元二次方程的求解技巧，核心突破口是观察出$x^2=k(k＞0)$形式的方程两根互为相反数的特征，不需要代入根构造复杂方程组即可快速求出参数m，大幅简化运算。学生容易出错的点是没有先观察方程特征，直接代入两个根列方程反而增加计算量，甚至出现计算错误。
【难度系数】
0.6
3. 已知一元二次方程$(x-2)^{2}=3$的两个根为$a$和$b$,且$a＞b$,则$2a+b$的值为
$6+\sqrt{3}$
.答案
解$(x-2)^2=3$,得 $x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$.
∵ 方程$(x-2)^2=3$的两个根为$a$ 和$b$,且$a＞b$,$\therefore a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3}$. $\therefore 2a+b=2×(2+\sqrt{3})+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$.
∵ 方程$(x-2)^2=3$的两个根为$a$ 和$b$,且$a＞b$,$\therefore a=2+\sqrt{3},b=2-\sqrt{3}$. $\therefore 2a+b=2×(2+\sqrt{3})+2-\sqrt{3}=6+\sqrt{3}$.
解析
【分析】
首先观察给定的一元二次方程，它是完全平方式等于非负常数的形式，最简便的解法是直接开平方法。第一步先通过直接开平方求出方程的两个实根，第二步根据题目给出的a＞b的大小条件，区分出较大的根为a、较小的根为b，第三步将确定好的a、b的值代入代数式2a+b，展开后合并同类二次根式，就能算出最终结果。
【解析】
1. 求解一元二次方程$(x-2)^2=3$：
对等式两边直接开平方，可得$x-2=\pm\sqrt{3}$，
移项后得到两个根：$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
2. 根据大小关系确定a、b的值：
因为$\sqrt{3}＞0$，所以$2+\sqrt{3}＞2-\sqrt{3}$，结合条件$a＞b$，可得$a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$。
3. 代入代数式计算：
将a、b代入$2a+b$：
$2a+b=2×(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})$
$=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}$
$=6+\sqrt{3}$
【答案】
$6+\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；代数式代入求值；二次根式加减运算
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，解题门槛低，核心考察直接开平方法的基本应用，仅需要注意根据根的大小关系准确匹配a、b的取值，计算过程中正确合并同类二次根式即可得到正确结果，不易丢分。
【难度系数】
0.9
首先观察给定的一元二次方程，它是完全平方式等于非负常数的形式，最简便的解法是直接开平方法。第一步先通过直接开平方求出方程的两个实根，第二步根据题目给出的a＞b的大小条件，区分出较大的根为a、较小的根为b，第三步将确定好的a、b的值代入代数式2a+b，展开后合并同类二次根式，就能算出最终结果。
【解析】
1. 求解一元二次方程$(x-2)^2=3$：
对等式两边直接开平方，可得$x-2=\pm\sqrt{3}$，
移项后得到两个根：$x_1=2+\sqrt{3}$，$x_2=2-\sqrt{3}$。
2. 根据大小关系确定a、b的值：
因为$\sqrt{3}＞0$，所以$2+\sqrt{3}＞2-\sqrt{3}$，结合条件$a＞b$，可得$a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$。
3. 代入代数式计算：
将a、b代入$2a+b$：
$2a+b=2×(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3})$
$=4+2\sqrt{3}+2-\sqrt{3}$
$=6+\sqrt{3}$
【答案】
$6+\sqrt{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；代数式代入求值；二次根式加减运算
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础题型，解题门槛低，核心考察直接开平方法的基本应用，仅需要注意根据根的大小关系准确匹配a、b的取值，计算过程中正确合并同类二次根式即可得到正确结果，不易丢分。
【难度系数】
0.9
4. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $x^{2}-12=0.$
(2) $\dfrac{1}{2}x^{2}-2=6.$
(3) $(x-2)^{2}=16.$
(4) $2(y+4)^{2}+3=35.$
(1) $x^{2}-12=0.$
(2) $\dfrac{1}{2}x^{2}-2=6.$
(3) $(x-2)^{2}=16.$
(4) $2(y+4)^{2}+3=35.$
答案
(1) $x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$.
(2) $x_1=4,x_2=-4$.
(3) $x_1=6,x_2=-2$.
(4) $y_1=0,y_2=-8$.
(2) $x_1=4,x_2=-4$.
(3) $x_1=6,x_2=-2$.
(4) $y_1=0,y_2=-8$.
解析
【分析】
这道题要求用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是先将方程整理为「含未知数的平方式 = 非负常数」的标准形式，再根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，得到两个独立的一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根。
具体思考步骤：
1. 对于前两个无括号的方程，先移项把常数项移到等号右侧，再将x²的系数化为1，得到$x^2=a(a≥0)$的形式，直接开平方得$x=\pm\sqrt{a}$；
2. 对于后两个带完全平方式的方程，先把等号左侧的常数项移到右侧，化简后得到$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，开平方后得到$x+m=\pm\sqrt{n}$，再解出未知数即可，注意不要漏掉负的平方根对应的根。
【解析】
我们逐个求解四个方程：
(1) $x^2 -12 = 0$
移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 = 12$
对等式两边直接开平方，得：$x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$
因此方程的根为$x_1=2\sqrt{3}, x_2=-2\sqrt{3}$。
(2) $\dfrac{1}{2}x^2 - 2 = 6$
移项合并常数项，得：$\dfrac{1}{2}x^2 = 8$
两边同时乘2，将$x^2$的系数化为1，得：$x^2 = 16$
对等式两边直接开平方，得：$x = \pm4$
因此方程的根为$x_1=4, x_2=-4$。
(3) $(x-2)^2 = 16$
对等式两边直接开平方，得：$x - 2 = \pm4$
拆分得到两个一元一次方程：
① $x - 2 = 4$，解得$x=6$；
② $x - 2 = -4$，解得$x=-2$
因此方程的根为$x_1=6, x_2=-2$。
(4) $2(y+4)^2 + 3 = 35$
移项合并常数项，得：$2(y+4)^2 = 32$
两边同时除以2，将平方式的系数化为1，得：$(y+4)^2 = 16$
对等式两边直接开平方，得：$y + 4 = \pm4$
拆分得到两个一元一次方程：
① $y + 4 = 4$，解得$y=0$；
② $y + 4 = -4$，解得$y=-8$
因此方程的根为$y_1=0, y_2=-8$。
【答案】
(1) $x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$；(2) $x_1=4,x_2=-4$；(3) $x_1=6,x_2=-2$；(4) $y_1=0,y_2=-8$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了直接开平方法的两类基础题型：普通$x^2=a$型和含括号的$(x+m)^2=n$型，解题时需要特别注意开平方后要保留正负号，不要遗漏负根，整理方程时要先将平方式的系数化为1再开方，避免计算错误。
【难度系数】
0.9
这道题要求用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是先将方程整理为「含未知数的平方式 = 非负常数」的标准形式，再根据平方根的性质，对等式两边同时开平方，得到两个独立的一元一次方程，分别求解即可得到原方程的两个根。
具体思考步骤：
1. 对于前两个无括号的方程，先移项把常数项移到等号右侧，再将x²的系数化为1，得到$x^2=a(a≥0)$的形式，直接开平方得$x=\pm\sqrt{a}$；
2. 对于后两个带完全平方式的方程，先把等号左侧的常数项移到右侧，化简后得到$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，开平方后得到$x+m=\pm\sqrt{n}$，再解出未知数即可，注意不要漏掉负的平方根对应的根。
【解析】
我们逐个求解四个方程：
(1) $x^2 -12 = 0$
移项，将常数项移到等号右侧，得：$x^2 = 12$
对等式两边直接开平方，得：$x = \pm\sqrt{12} = \pm2\sqrt{3}$
因此方程的根为$x_1=2\sqrt{3}, x_2=-2\sqrt{3}$。
(2) $\dfrac{1}{2}x^2 - 2 = 6$
移项合并常数项，得：$\dfrac{1}{2}x^2 = 8$
两边同时乘2，将$x^2$的系数化为1，得：$x^2 = 16$
对等式两边直接开平方，得：$x = \pm4$
因此方程的根为$x_1=4, x_2=-4$。
(3) $(x-2)^2 = 16$
对等式两边直接开平方，得：$x - 2 = \pm4$
拆分得到两个一元一次方程：
① $x - 2 = 4$，解得$x=6$；
② $x - 2 = -4$，解得$x=-2$
因此方程的根为$x_1=6, x_2=-2$。
(4) $2(y+4)^2 + 3 = 35$
移项合并常数项，得：$2(y+4)^2 = 32$
两边同时除以2，将平方式的系数化为1，得：$(y+4)^2 = 16$
对等式两边直接开平方，得：$y + 4 = \pm4$
拆分得到两个一元一次方程：
① $y + 4 = 4$，解得$y=0$；
② $y + 4 = -4$，解得$y=-8$
因此方程的根为$y_1=0, y_2=-8$。
【答案】
(1) $x_1=2\sqrt{3},x_2=-2\sqrt{3}$；(2) $x_1=4,x_2=-4$；(3) $x_1=6,x_2=-2$；(4) $y_1=0,y_2=-8$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程，平方根的性质
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，覆盖了直接开平方法的两类基础题型：普通$x^2=a$型和含括号的$(x+m)^2=n$型，解题时需要特别注意开平方后要保留正负号，不要遗漏负根，整理方程时要先将平方式的系数化为1再开方，避免计算错误。
【难度系数】
0.9
5. 易错题 若$(a^{2}+b^{2}-3)^{2}=25$,则$a^{2}+b^{2}$的值为（
A.8或$-2$
B.$-2$
C.8
D.2或$-8$
C
）A.8或$-2$
B.$-2$
C.8
D.2或$-8$
答案
由$(a^2+b^2-3)^2=25$,得 $a^2+b^2-3=\pm5$. $\therefore a^2+b^2=3\pm5$,解得 $a^2+b^2=8$ 或 $a^2+b^2=-2$(不合题意,舍去).
易错警示
忽视代数式本身的隐含条件导致错误
因为$a^2≥0,b^2≥0$,所以$a^2+b^2≥0$.若忽视$a^2+b^2$所隐含的条件,则易导致错误.
易错警示
忽视代数式本身的隐含条件导致错误
因为$a^2≥0,b^2≥0$,所以$a^2+b^2≥0$.若忽视$a^2+b^2$所隐含的条件,则易导致错误.
解析
【分析】
我们可以按照两步思路来解题：首先观察方程结构，把$a^2+b^2$当作一个整体，利用平方根的性质对等式两边开平方，算出$a^2+b^2$的两个候选取值；之后要注意隐含条件：任意实数的平方都是非负的，因此$a^2≥0$、$b^2≥0$，二者的和$a^2+b^2$必然是非负数，要把不符合非负要求的负数解舍去，就能得到正确结果。
【解析】
1. 对等式$(a^{2}+b^{2}-3)^{2}=25$两边开平方，根据平方根的性质可得：
$a^2+b^2-3=\pm5$
2. 分两种情况计算$a^2+b^2$的候选值：
① 当$a^2+b^2-3=5$时，移项得$a^2+b^2=5+3=8$；
② 当$a^2+b^2-3=-5$时，移项得$a^2+b^2=-5+3=-2$。
3. 结合非负性筛选合理解：
由于$a^2≥0$，$b^2≥0$，因此$a^2+b^2≥0$，$a^2+b^2=-2$不符合取值要求，直接舍去。
最终可得$a^2+b^2$的值为8。
【答案】C
【知识点】直接开平方法，平方非负性
【点评】这是一道典型的易错题，很多同学开平方得到两个候选值后，直接忽略了$a^2+b^2$作为两个平方数之和的隐含非负属性，错选A选项。后续解题遇到平方和类的代数式时，一定要优先确认它的取值范围，主动舍去不符合实际意义的不合理解，避开出题陷阱。
【难度系数】0.6
我们可以按照两步思路来解题：首先观察方程结构，把$a^2+b^2$当作一个整体，利用平方根的性质对等式两边开平方，算出$a^2+b^2$的两个候选取值；之后要注意隐含条件：任意实数的平方都是非负的，因此$a^2≥0$、$b^2≥0$，二者的和$a^2+b^2$必然是非负数，要把不符合非负要求的负数解舍去，就能得到正确结果。
【解析】
1. 对等式$(a^{2}+b^{2}-3)^{2}=25$两边开平方，根据平方根的性质可得：
$a^2+b^2-3=\pm5$
2. 分两种情况计算$a^2+b^2$的候选值：
① 当$a^2+b^2-3=5$时，移项得$a^2+b^2=5+3=8$；
② 当$a^2+b^2-3=-5$时，移项得$a^2+b^2=-5+3=-2$。
3. 结合非负性筛选合理解：
由于$a^2≥0$，$b^2≥0$，因此$a^2+b^2≥0$，$a^2+b^2=-2$不符合取值要求，直接舍去。
最终可得$a^2+b^2$的值为8。
【答案】C
【知识点】直接开平方法，平方非负性
【点评】这是一道典型的易错题，很多同学开平方得到两个候选值后，直接忽略了$a^2+b^2$作为两个平方数之和的隐含非负属性，错选A选项。后续解题遇到平方和类的代数式时，一定要优先确认它的取值范围，主动舍去不符合实际意义的不合理解，避开出题陷阱。
【难度系数】0.6
6. 新考向 新定义题 定义运算:$a*b=ab-b$,例如:$1*2=1×2-2=0$,则方程$(2x+1)*x=8$的解为
$x_1=2,x_2=-2$
.答案
由题意,得$(2x+1)*x=8$可化为$(2x+1)x-x=8$,解得 $x=\pm2$. $\therefore$ 该方程的解为 $x_1=2,x_2=-2$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题的核心思路是先准确理解题目给出的自定义运算规则：$a*b=ab-b$，也就是两个数做*运算的结果等于两数乘积减去后一个数。接下来我们把方程里参与*运算的两个部分，对应替换规则里的a和b：在$(2x+1)*x$中，对应规则里的a是$2x+1$，对应规则里的b是x，代入新运算表达式后，就能把带陌生符号*的方程转化为我们熟悉的常规整式方程，最后求解这个整式方程即可得到结果。
【解析】
1. 根据新运算定义转化方程：
将$a=2x+1$，$b=x$代入$a*b=ab-b$，原方程$(2x+1)*x=8$可转化为：
$(2x+1)x - x = 8$
2. 化简方程：
展开左边的项得$2x^2 + x - x = 8$，合并同类项后得到：
$2x^2 = 8$
3. 求解一元二次方程：
两边同时除以2得$x^2=4$，直接开平方可得$x=\pm2$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程
【点评】
本题是新定义题型的基础入门题，重点考察学生的知识迁移能力，只要准确对应新运算中两个参数的位置，不代错运算规则，就能快速将陌生的自定义运算转化为常规的一元二次方程求解，整体计算量小，不容易出错。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算类题目，解题的核心思路是先准确理解题目给出的自定义运算规则：$a*b=ab-b$，也就是两个数做*运算的结果等于两数乘积减去后一个数。接下来我们把方程里参与*运算的两个部分，对应替换规则里的a和b：在$(2x+1)*x$中，对应规则里的a是$2x+1$，对应规则里的b是x，代入新运算表达式后，就能把带陌生符号*的方程转化为我们熟悉的常规整式方程，最后求解这个整式方程即可得到结果。
【解析】
1. 根据新运算定义转化方程：
将$a=2x+1$，$b=x$代入$a*b=ab-b$，原方程$(2x+1)*x=8$可转化为：
$(2x+1)x - x = 8$
2. 化简方程：
展开左边的项得$2x^2 + x - x = 8$，合并同类项后得到：
$2x^2 = 8$
3. 求解一元二次方程：
两边同时除以2得$x^2=4$，直接开平方可得$x=\pm2$。
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程
【点评】
本题是新定义题型的基础入门题，重点考察学生的知识迁移能力，只要准确对应新运算中两个参数的位置，不代错运算规则，就能快速将陌生的自定义运算转化为常规的一元二次方程求解，整体计算量小，不容易出错。
【难度系数】
0.8
7. 对于实数 $p,q$，我们用符号 $\min\{p,q\}$ 表示 $p,q$ 两数中较小的数，如 $\min\{1,2\}=1$. 若 $\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$，则 $x=$
2或-1
.答案
∵ $\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$,
∴ 当$(x-1)^2=1$时,解得 $x_1=2,x_2=0$(不合题意,舍去);当$x^2=1$时,解得 $x_3=-1,x_4=1$(不合题意,舍去).综上所述,$x=2$ 或$-1$.
解析
【分析】
首先明确题目给出的新定义：$\min\{p,q\}$表示取$p,q$两个数中更小的数，已知$\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$，说明两个代数式的取值里较小的数是1。我们可以分两种情况讨论：第一种情况是较小的数为$(x-1)^2$，即$(x-1)^2=1$，解出候选值后验证另一个代数式的取值不能小于1，否则不符合min的定义；第二种情况是较小的数为$x^2$，即$x^2=1$，同样解出候选值后验证另一个代数式的取值不能小于1，最后汇总所有符合条件的x即可。
【解析】
解：根据新定义的运算规则，$\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$代表两个数中较小值为1，分两类讨论：
1. 当$(x-1)^2=1$时：
对等式直接开平方得$x-1=\pm1$，
解得$x_1=2$，$x_2=0$。
验证：当$x=2$时，$x^2=4$，此时$\min\{1,4\}=1$，符合题意；当$x=0$时，$x^2=0$，此时$\min\{1,0\}=0\ne1$，不符合要求，舍去$x=0$。
2. 当$x^2=1$时：
对等式直接开平方得$x=\pm1$，
解得$x_3=-1$，$x_4=1$。
验证：当$x=-1$时，$(x-1)^2=(-2)^2=4$，此时$\min\{4,1\}=1$，符合题意；当$x=1$时，$(x-1)^2=0$，此时$\min\{0,1\}=0\ne1$，不符合要求，舍去$x=1$。
综上，符合条件的x为2或-1。
【答案】
2或-1
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合自定义运算考察一元二次方程的求解，最容易出错的地方是解出方程的根后，没有结合min的定义核验另一个代数式的取值，容易误将0、1两个不符合约束的根也作为结果，解题时要牢记新定义的规则，对所有候选解逐一验证排除。
【难度系数】
0.6
首先明确题目给出的新定义：$\min\{p,q\}$表示取$p,q$两个数中更小的数，已知$\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$，说明两个代数式的取值里较小的数是1。我们可以分两种情况讨论：第一种情况是较小的数为$(x-1)^2$，即$(x-1)^2=1$，解出候选值后验证另一个代数式的取值不能小于1，否则不符合min的定义；第二种情况是较小的数为$x^2$，即$x^2=1$，同样解出候选值后验证另一个代数式的取值不能小于1，最后汇总所有符合条件的x即可。
【解析】
解：根据新定义的运算规则，$\min\{(x-1)^2,x^2\}=1$代表两个数中较小值为1，分两类讨论：
1. 当$(x-1)^2=1$时：
对等式直接开平方得$x-1=\pm1$，
解得$x_1=2$，$x_2=0$。
验证：当$x=2$时，$x^2=4$，此时$\min\{1,4\}=1$，符合题意；当$x=0$时，$x^2=0$，此时$\min\{1,0\}=0\ne1$，不符合要求，舍去$x=0$。
2. 当$x^2=1$时：
对等式直接开平方得$x=\pm1$，
解得$x_3=-1$，$x_4=1$。
验证：当$x=-1$时，$(x-1)^2=(-2)^2=4$，此时$\min\{4,1\}=1$，符合题意；当$x=1$时，$(x-1)^2=0$，此时$\min\{0,1\}=0\ne1$，不符合要求，舍去$x=1$。
综上，符合条件的x为2或-1。
【答案】
2或-1
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程，分类讨论思想
【点评】
本题结合自定义运算考察一元二次方程的求解，最容易出错的地方是解出方程的根后，没有结合min的定义核验另一个代数式的取值，容易误将0、1两个不符合约束的根也作为结果，解题时要牢记新定义的规则，对所有候选解逐一验证排除。
【难度系数】
0.6
8. 已知 a, b 为实数, 且 a, b 均不为 0, 现定义有序实数对$(a,b)$的“真诚值”为$d(a,b)=$$\begin{cases} ab^{2}-a\ (a＞b),\\ ba^{2}-b\ (a＜b), \end{cases}$如数对$(3,2)$的“真诚值”为$d(3,2)=3×2^{2}-3=9$; 数对$(-5,-2)$的“真诚值”为$d(-5,-2)=(-2)×(-5)^{2}-(-2)=-48$.
(1) 根据上述的定义填空:$d(-3,4)=$
(2) 数对$(a,2)$的“真诚值”的绝对值为$|d(a,2)|$. 若$|d(a,2)|=8$,求 a 的值.
(1) 根据上述的定义填空:$d(-3,4)=$
32
,$d(3,-2)=$9
.(2) 数对$(a,2)$的“真诚值”的绝对值为$|d(a,2)|$. 若$|d(a,2)|=8$,求 a 的值.
答案
(1) 32;9. $d(-3,4)=4×(-3)^2-4=32$,$d(3,-2)=3×(-2)^2-3=9$.
(2) $\because |d(a,2)|=8$,$\therefore d(a,2)=\pm8$. 若 $d(a,2)=8$,当$a＞2$时,$4a-a=8$,解得 $a=\dfrac{8}{3}$;当$a＜2$时,$2a^2-2=8$,解得 $a_1=-\sqrt{5}$,$a_2=\sqrt{5}$(不合题意,舍去). 若 $d(a,2)=-8$,当$a＞2$时,$4a-a=-8$,解得 $a=-\dfrac{8}{3}$(不合题意,舍去);当$a＜2$时,$2a^2-2=-8$,无实数根. 综上所述,当$|d(a,2)|=8$时,$a$ 的值为$\dfrac{8}{3}$或$-\sqrt{5}$.
(2) $\because |d(a,2)|=8$,$\therefore d(a,2)=\pm8$. 若 $d(a,2)=8$,当$a＞2$时,$4a-a=8$,解得 $a=\dfrac{8}{3}$;当$a＜2$时,$2a^2-2=8$,解得 $a_1=-\sqrt{5}$,$a_2=\sqrt{5}$(不合题意,舍去). 若 $d(a,2)=-8$,当$a＞2$时,$4a-a=-8$,解得 $a=-\dfrac{8}{3}$(不合题意,舍去);当$a＜2$时,$2a^2-2=-8$,无实数根. 综上所述,当$|d(a,2)|=8$时,$a$ 的值为$\dfrac{8}{3}$或$-\sqrt{5}$.
解析
【分析】
这是一道新定义运算的题型，解题思路如下：
1. 首先明确“真诚值”的分段规则：先比较有序实数对中两个数的大小，若第一个数大于第二个数，代入公式$ab^2 -a$计算；若第一个数小于第二个数，代入公式$ba^2 -b$计算。
2. 解第(1)问时，先分别比较每对数里两个数的大小，匹配对应的公式，直接代入数值计算即可得到结果。
3. 解第(2)问时，先根据绝对值的性质，由$|d(a,2)|=8$得到$d(a,2)=\pm8$，再分$a＞2$和$a＜2$两种情况，分别写出对应场景下$d(a,2)$的表达式，分别列方程求解，最后把不符合当前分类大小关系的解舍去，汇总所有符合条件的a值即可。
【解析】
(1) 计算$d(-3,4)$：
因为$-3＜4$，符合$a＜b$的情况，代入公式$ba^2 -b$，其中$a=-3$，$b=4$：
$d(-3,4)=4×(-3)^2 -4=4×9 -4=36-4=32$
计算$d(3,-2)$：
因为$3＞-2$，符合$a＞b$的情况，代入公式$ab^2 -a$，其中$a=3$，$b=-2$：
$d(3,-2)=3×(-2)^2 -3=3×4 -3=12-3=9$
(2) 已知$|d(a,2)|=8$，由绝对值的性质可得$d(a,2)=8$或$d(a,2)=-8$，分两类讨论：
① 当$a＞2$时，满足$a＞b=2$，此时$d(a,2)=a· 2^2 -a=4a -a=3a$：
若$d(a,2)=8$，则$3a=8$，解得$a=\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}＞2$，符合条件；
若$d(a,2)=-8$，则$3a=-8$，解得$a=-\frac{8}{3}$，$-\frac{8}{3}＜2$，不符合$a＞2$的前提，舍去。
② 当$a＜2$时，满足$a＜b=2$，此时$d(a,2)=2· a^2 -2=2a^2 -2$：
若$d(a,2)=8$，则$2a^2 -2=8$，整理得$a^2=5$，解得$a_1=\sqrt{5}$，$a_2=-\sqrt{5}$，其中$\sqrt{5}\approx2.236＞2$，不符合$a＜2$的前提，舍去，$a=-\sqrt{5}$符合条件；
若$d(a,2)=-8$，则$2a^2 -2=-8$，整理得$a^2=-3$，无实数根，该情况无解。
综上，符合条件的a的值为$\frac{8}{3}$和$-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32}$；$\boldsymbol{9}$
(2) $\boldsymbol{a=\dfrac{8}{3}}$或$\boldsymbol{a=-\sqrt{5}}$
【知识点】
新定义运算；绝对值性质；一元二次方程求解
【点评】
本题属于创新类新定义题型，核心考点是分段规则的理解和分类讨论思想的应用，易错点是解方程后忘记验证解是否符合对应分类下的a、b大小关系，容易出现多解的错误，解题时要严格按照定义的前提条件筛选结果，保证答案的正确性。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义运算的题型，解题思路如下：
1. 首先明确“真诚值”的分段规则：先比较有序实数对中两个数的大小，若第一个数大于第二个数，代入公式$ab^2 -a$计算；若第一个数小于第二个数，代入公式$ba^2 -b$计算。
2. 解第(1)问时，先分别比较每对数里两个数的大小，匹配对应的公式，直接代入数值计算即可得到结果。
3. 解第(2)问时，先根据绝对值的性质，由$|d(a,2)|=8$得到$d(a,2)=\pm8$，再分$a＞2$和$a＜2$两种情况，分别写出对应场景下$d(a,2)$的表达式，分别列方程求解，最后把不符合当前分类大小关系的解舍去，汇总所有符合条件的a值即可。
【解析】
(1) 计算$d(-3,4)$：
因为$-3＜4$，符合$a＜b$的情况，代入公式$ba^2 -b$，其中$a=-3$，$b=4$：
$d(-3,4)=4×(-3)^2 -4=4×9 -4=36-4=32$
计算$d(3,-2)$：
因为$3＞-2$，符合$a＞b$的情况，代入公式$ab^2 -a$，其中$a=3$，$b=-2$：
$d(3,-2)=3×(-2)^2 -3=3×4 -3=12-3=9$
(2) 已知$|d(a,2)|=8$，由绝对值的性质可得$d(a,2)=8$或$d(a,2)=-8$，分两类讨论：
① 当$a＞2$时，满足$a＞b=2$，此时$d(a,2)=a· 2^2 -a=4a -a=3a$：
若$d(a,2)=8$，则$3a=8$，解得$a=\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}＞2$，符合条件；
若$d(a,2)=-8$，则$3a=-8$，解得$a=-\frac{8}{3}$，$-\frac{8}{3}＜2$，不符合$a＞2$的前提，舍去。
② 当$a＜2$时，满足$a＜b=2$，此时$d(a,2)=2· a^2 -2=2a^2 -2$：
若$d(a,2)=8$，则$2a^2 -2=8$，整理得$a^2=5$，解得$a_1=\sqrt{5}$，$a_2=-\sqrt{5}$，其中$\sqrt{5}\approx2.236＞2$，不符合$a＜2$的前提，舍去，$a=-\sqrt{5}$符合条件；
若$d(a,2)=-8$，则$2a^2 -2=-8$，整理得$a^2=-3$，无实数根，该情况无解。
综上，符合条件的a的值为$\frac{8}{3}$和$-\sqrt{5}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{32}$；$\boldsymbol{9}$
(2) $\boldsymbol{a=\dfrac{8}{3}}$或$\boldsymbol{a=-\sqrt{5}}$
【知识点】
新定义运算；绝对值性质；一元二次方程求解
【点评】
本题属于创新类新定义题型，核心考点是分段规则的理解和分类讨论思想的应用，易错点是解方程后忘记验证解是否符合对应分类下的a、b大小关系，容易出现多解的错误，解题时要严格按照定义的前提条件筛选结果，保证答案的正确性。
【难度系数】
0.6
