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5. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地,以 80 km/h 的平均速度行驶 6 h 到达目的地.
(1) 当他按原路匀速返回时,求汽车速度 $v$(单位:$\mathrm{km/h}$)与时间 $t$(单位:$\mathrm{h}$)之间的函数关系式.
(2)若返回时,司机全程走高速公路,且匀速行驶,根据规定:最高车速不得超过 120 km/h,最低车速不得低于 60 km/h,则返程时间 $t$(单位:$\mathrm{h}$)的取值范围是多少?
(1) 当他按原路匀速返回时,求汽车速度 $v$(单位:$\mathrm{km/h}$)与时间 $t$(单位:$\mathrm{h}$)之间的函数关系式.
(2)若返回时,司机全程走高速公路,且匀速行驶,根据规定:最高车速不得超过 120 km/h,最低车速不得低于 60 km/h,则返程时间 $t$(单位:$\mathrm{h}$)的取值范围是多少?
答案
(1)
∵s=80×6=480,
∴汽车速度$v$(单位:km/h)与时间$t$(单位:h)之间的函数关系式为$v=\frac{480}{t}$.
(2)函数$v=\frac{480}{t}$的图象如图所示,
∵k=480＞0,
∴t随v的减小而增大,当v=120时,t=4;当v=60时,t=8,
∴返程时间$t$(单位:h)的取值范围为4≤t≤8.
解析
【分析】首先根据去程的速度和时间计算出甲、乙两地的固定路程，返程时路程不变，利用“路程=速度×时间”推导速度v与时间t的函数关系式；对于返程时间范围，结合反比例函数的性质，根据速度的上下限代入函数求出对应时间，进而确定时间的取值范围。
【解析】(1) 计算甲、乙两地的路程：去程速度为80 km/h，行驶时间6 h，因此路程$s=80×6=480$ km。返程时路程不变，由路程=速度×时间，可得$v·t=480$，所以速度$v$与时间$t$的函数关系式为$v=\frac{480}{t}$（$t＞0$）。
(2) 已知返程速度范围为$60\ \mathrm{km/h} ≤ v ≤ 120\ \mathrm{km/h}$，对函数$v=\frac{480}{t}$变形得$t=\frac{480}{v}$。当$v=120$时，$t=\frac{480}{120}=4$；当$v=60$时，$t=\frac{480}{60}=8$。因为反比例函数$v=\frac{480}{t}$中$k=480＞0$，所以$v$随$t$的增大而减小，因此当$v$在60到120之间时，$t$的取值范围是$4≤ t≤8$。
【答案】(1) $v=\frac{480}{t}$；(2) 返程时间$t$的取值范围是$4≤ t≤8$。
【知识点】反比例函数应用、行程问题
【点评】本题结合行程问题考查反比例函数的实际应用，核心是抓住路程不变的等量关系，利用反比例函数的单调性求解变量范围，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】(1) 计算甲、乙两地的路程：去程速度为80 km/h，行驶时间6 h，因此路程$s=80×6=480$ km。返程时路程不变，由路程=速度×时间，可得$v·t=480$，所以速度$v$与时间$t$的函数关系式为$v=\frac{480}{t}$（$t＞0$）。
(2) 已知返程速度范围为$60\ \mathrm{km/h} ≤ v ≤ 120\ \mathrm{km/h}$，对函数$v=\frac{480}{t}$变形得$t=\frac{480}{v}$。当$v=120$时，$t=\frac{480}{120}=4$；当$v=60$时，$t=\frac{480}{60}=8$。因为反比例函数$v=\frac{480}{t}$中$k=480＞0$，所以$v$随$t$的增大而减小，因此当$v$在60到120之间时，$t$的取值范围是$4≤ t≤8$。
【答案】(1) $v=\frac{480}{t}$；(2) 返程时间$t$的取值范围是$4≤ t≤8$。
【知识点】反比例函数应用、行程问题
【点评】本题结合行程问题考查反比例函数的实际应用，核心是抓住路程不变的等量关系，利用反比例函数的单调性求解变量范围，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.5
6. 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化的图象如图所示，消毒效果$y$(单位：效力)与时间$x$(单位：min)呈现三段函数图象，其中$OA$段为渐消毒阶段，$AB$段为深消毒阶段，$BC$段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段。请根据图中信息解答下列问题。
(1)第 10 min 时，消毒效果为
(2)当$x ≥ 10$时，求$y$与$x$之间的函数关系式。
(3)若消毒效果持续 28 min 达到 4 效力及以上，即可产生消毒作用，问：本次消毒是否有效？
(1)第 10 min 时，消毒效果为
3
效力。(2)当$x ≥ 10$时，求$y$与$x$之间的函数关系式。
(3)若消毒效果持续 28 min 达到 4 效力及以上，即可产生消毒作用，问：本次消毒是否有效？
答案
(1)3
(2)当10≤x≤30时,设直线AB的函数关系式为y=kx+b,根据题意,得$\begin{cases}10k+b=3,\\30k+b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{20},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴直线AB的函数关系式为$y=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$;当x≥30时,设反比例函数的表达式为$y=\frac{m}{x}$,由题意可得,$6=\frac{m}{30}$,解得m=180,故反比例函数的表达式为$y=\frac{180}{x}$.综上所述,当x≥10时,y与x之间的函数关系式为$y=\begin{cases}\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}(10≤ x≤30),\\\frac{180}{x}(x≥30).\end{cases}$
(3)将y=4分别代入$y=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$、$y=\frac{180}{x}$,得$4=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$、$4=\frac{180}{x}$,解得$x=\frac{50}{3}$、x=45,
∴持续时长为$45-\frac{50}{3}=\frac{85}{3}(\min)＞28\ \min$,故本次消毒有效.
(2)当10≤x≤30时,设直线AB的函数关系式为y=kx+b,根据题意,得$\begin{cases}10k+b=3,\\30k+b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{20},\\b=\frac{3}{2},\end{cases}$
∴直线AB的函数关系式为$y=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$;当x≥30时,设反比例函数的表达式为$y=\frac{m}{x}$,由题意可得,$6=\frac{m}{30}$,解得m=180,故反比例函数的表达式为$y=\frac{180}{x}$.综上所述,当x≥10时,y与x之间的函数关系式为$y=\begin{cases}\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}(10≤ x≤30),\\\frac{180}{x}(x≥30).\end{cases}$
(3)将y=4分别代入$y=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$、$y=\frac{180}{x}$,得$4=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$、$4=\frac{180}{x}$,解得$x=\frac{50}{3}$、x=45,
∴持续时长为$45-\frac{50}{3}=\frac{85}{3}(\min)＞28\ \min$,故本次消毒有效.
解析
【分析】
本题是函数图像在实际消毒问题中的应用，需结合图像分段分析函数关系：
1. 第(1)题直接读取图像中x=10对应的y值即可；
2. 第(2)题中，当x≥10时分为两段：10≤x≤30的直线段AB、x≥30的反比例函数段BC，分别用待定系数法求函数关系式：直线段用两点A(10,3)、B(30,6)列方程组求解；反比例函数段用点B(30,6)代入反比例函数式求参数；
3. 第(3)题需先求y=4时对应的两个x值（分别在直线段和反比例段），计算两x的差得到消毒效果达4及以上的时长，再与28min比较判断是否有效。
【解析】
(1) 由图像可知，第10min时，对应的消毒效果为3效力，故答案为3。
(2) 当10≤x≤30时，设直线AB的函数关系式为$y=kx+b$，将A(10,3)、B(30,6)代入得：
$\begin{cases}10k + b = 3 \\30k + b = 6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \frac{3}{20} \\b = \frac{3}{2}\end{cases}$，因此直线AB的函数关系式为$y=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$；
当x≥30时，设反比例函数的表达式为$y=\frac{m}{x}$，将B(30,6)代入得：$6=\frac{m}{30}$，解得$m=180$，故反比例函数的表达式为$y=\frac{180}{x}$；
综上，当x≥10时，y与x之间的函数关系式为：
$y=\begin{cases}\frac{3}{20}x+\frac{3}{2} & (10≤x≤30) \\\frac{180}{x} & (x≥30)\end{cases}$
(3) 分别将y=4代入两段函数：
① 代入$y=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$，得$4=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{50}{3}$；
② 代入$y=\frac{180}{x}$，得$4=\frac{180}{x}$，解得$x=45$；
则消毒效果达4效力及以上的时长为$45-\frac{50}{3}=\frac{85}{3}\ \mathrm{min}$，因为$\frac{85}{3}＞28$，所以本次消毒有效。
【答案】
(1) 3；(2) $y=\begin{cases}\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}(10≤ x≤30)\\\frac{180}{x}(x≥30)\end{cases}$；(3) 本次消毒有效
【知识点】
一次函数应用，反比例函数应用，函数图像解读
【点评】
本题结合实际消毒场景考查分段函数的应用，需掌握待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，再通过解方程解决实际时长问题，是函数应用的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是函数图像在实际消毒问题中的应用，需结合图像分段分析函数关系：
1. 第(1)题直接读取图像中x=10对应的y值即可；
2. 第(2)题中，当x≥10时分为两段：10≤x≤30的直线段AB、x≥30的反比例函数段BC，分别用待定系数法求函数关系式：直线段用两点A(10,3)、B(30,6)列方程组求解；反比例函数段用点B(30,6)代入反比例函数式求参数；
3. 第(3)题需先求y=4时对应的两个x值（分别在直线段和反比例段），计算两x的差得到消毒效果达4及以上的时长，再与28min比较判断是否有效。
【解析】
(1) 由图像可知，第10min时，对应的消毒效果为3效力，故答案为3。
(2) 当10≤x≤30时，设直线AB的函数关系式为$y=kx+b$，将A(10,3)、B(30,6)代入得：
$\begin{cases}10k + b = 3 \\30k + b = 6\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \frac{3}{20} \\b = \frac{3}{2}\end{cases}$，因此直线AB的函数关系式为$y=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$；
当x≥30时，设反比例函数的表达式为$y=\frac{m}{x}$，将B(30,6)代入得：$6=\frac{m}{30}$，解得$m=180$，故反比例函数的表达式为$y=\frac{180}{x}$；
综上，当x≥10时，y与x之间的函数关系式为：
$y=\begin{cases}\frac{3}{20}x+\frac{3}{2} & (10≤x≤30) \\\frac{180}{x} & (x≥30)\end{cases}$
(3) 分别将y=4代入两段函数：
① 代入$y=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$，得$4=\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{50}{3}$；
② 代入$y=\frac{180}{x}$，得$4=\frac{180}{x}$，解得$x=45$；
则消毒效果达4效力及以上的时长为$45-\frac{50}{3}=\frac{85}{3}\ \mathrm{min}$，因为$\frac{85}{3}＞28$，所以本次消毒有效。
【答案】
(1) 3；(2) $y=\begin{cases}\frac{3}{20}x+\frac{3}{2}(10≤ x≤30)\\\frac{180}{x}(x≥30)\end{cases}$；(3) 本次消毒有效
【知识点】
一次函数应用，反比例函数应用，函数图像解读
【点评】
本题结合实际消毒场景考查分段函数的应用，需掌握待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，再通过解方程解决实际时长问题，是函数应用的典型题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
7. 某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示.
(1)观察表中数据，$x$、$y$满足什么函数关系？请求出这个函数的关系式.
(2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？
(1)观察表中数据，$x$、$y$满足什么函数关系？请求出这个函数的关系式.
(2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？
答案
(1)由表中数据得,xy=6 000,
∴y是x的反比例函数,函数关系式为$y=\frac{6\ 000}{x}$.
(2)由题意得,$(x-120)y=3\ 000$,把$y=\frac{6\ 000}{x}$代入,得$(x-120)·\frac{6\ 000}{x}=3\ 000$,解得x=240.经检验,x=240是原方程的解,且符合题意.答:若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其单价应定为240元.
∴y是x的反比例函数,函数关系式为$y=\frac{6\ 000}{x}$.
(2)由题意得,$(x-120)y=3\ 000$,把$y=\frac{6\ 000}{x}$代入,得$(x-120)·\frac{6\ 000}{x}=3\ 000$,解得x=240.经检验,x=240是原方程的解,且符合题意.答:若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其单价应定为240元.
解析
【分析】
首先观察表格中售价x和销售量y的乘积，发现每组数据的乘积均为定值，据此判断x与y的函数关系；再根据反比例函数的定义求出函数关系式；第(2)问利用“销售利润=(售价-进价)×销售量”的公式，结合第(1)问的函数关系式列方程求解，最后检验解的合理性。
【解析】
(1) 计算表中每组x与y的乘积：
$150×40=6000$，$200×30=6000$，$250×24=6000$，$300×20=6000$，
可知$xy=6000$（定值），因此y是x的反比例函数。
设反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入$x=150,y=40$，得$k=150×40=6000$，
故函数关系式为$y=\frac{6000}{x}$。
(2) 根据销售利润公式：销售利润=(售价-进价)×销售量，结合题意列方程：
$(x-120)y=3000$，
将$y=\frac{6000}{x}$代入方程，得：
$(x-120)·\frac{6000}{x}=3000$，
两边同乘$x$（$x≠0$），整理得：
$6000(x-120)=3000x$，
展开：$6000x - 720000=3000x$，
移项合并：$3000x=720000$，
解得$x=240$。
经检验，$x=240$是原方程的解，且符合实际销售意义。
【答案】
(1) $y$与$x$成反比例函数关系，函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{6000}{x}}$；
(2) 单价应定为$\boldsymbol{240}$元。
【知识点】
反比例函数应用、销售利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景，考查反比例函数的判断、求解及应用，同时涉及分式方程的解法，解题关键是先通过数据特征确定函数类型，再代入关系式计算，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
首先观察表格中售价x和销售量y的乘积，发现每组数据的乘积均为定值，据此判断x与y的函数关系；再根据反比例函数的定义求出函数关系式；第(2)问利用“销售利润=(售价-进价)×销售量”的公式，结合第(1)问的函数关系式列方程求解，最后检验解的合理性。
【解析】
(1) 计算表中每组x与y的乘积：
$150×40=6000$，$200×30=6000$，$250×24=6000$，$300×20=6000$，
可知$xy=6000$（定值），因此y是x的反比例函数。
设反比例函数关系式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，代入$x=150,y=40$，得$k=150×40=6000$，
故函数关系式为$y=\frac{6000}{x}$。
(2) 根据销售利润公式：销售利润=(售价-进价)×销售量，结合题意列方程：
$(x-120)y=3000$，
将$y=\frac{6000}{x}$代入方程，得：
$(x-120)·\frac{6000}{x}=3000$，
两边同乘$x$（$x≠0$），整理得：
$6000(x-120)=3000x$，
展开：$6000x - 720000=3000x$，
移项合并：$3000x=720000$，
解得$x=240$。
经检验，$x=240$是原方程的解，且符合实际销售意义。
【答案】
(1) $y$与$x$成反比例函数关系，函数关系式为$\boldsymbol{y=\frac{6000}{x}}$；
(2) 单价应定为$\boldsymbol{240}$元。
【知识点】
反比例函数应用、销售利润问题
【点评】
本题结合实际销售场景，考查反比例函数的判断、求解及应用，同时涉及分式方程的解法，解题关键是先通过数据特征确定函数类型，再代入关系式计算，难度适中，属于基础应用题。
【难度系数】
0.6
