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1. (教材例题变式)码头工人每天往一艘轮船上装载 30 t 货物,装载完毕恰好用了 8 天时间.
(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度$v$(单位:吨/天)与卸货天数$t$是反比例函数关系,求这个函数表达式.
(2)由于遇到紧急情况,要求船上货物的卸载时间不超过 5 天,那么平均每天至少要卸载多少吨?
(1)轮船到达目的地后开始卸货,平均卸货速度$v$(单位:吨/天)与卸货天数$t$是反比例函数关系,求这个函数表达式.
(2)由于遇到紧急情况,要求船上货物的卸载时间不超过 5 天,那么平均每天至少要卸载多少吨?
答案
(1)设轮船上的货物总量为k t.根据已知条件,得k=30×8=240,
∴v关于t的函数关系式为$v=\frac{240}{t}$.
(2)
∵$v=\frac{240}{t}$,
∴$t=\frac{240}{v}$.
∵t≤5,
∴$\frac{240}{v} ≤ 5$,解得v≥48,答:平均每天至少要卸载 48 t 货物.
∴v关于t的函数关系式为$v=\frac{240}{t}$.
(2)
∵$v=\frac{240}{t}$,
∴$t=\frac{240}{v}$.
∵t≤5,
∴$\frac{240}{v} ≤ 5$,解得v≥48,答:平均每天至少要卸载 48 t 货物.
解析
【分析】
第(1)问：要确定卸货速度$v$与卸货天数$t$的反比例函数，需先求出货物总量（定值），根据装载条件，货物总量=每天装载量×装载天数，算出总量后，利用反比例函数的定义即可写出函数表达式；第(2)问：要求卸货时间不超过5天，即$t≤5$，将第(1)问的反比例函数变形为用$v$表示$t$的形式，代入不等式求解，注意$v$为正数，解不等式时不等号方向不变。
【解析】
(1) 设轮船上的货物总量为$k$吨，根据装载条件，货物总量为：
$k = 30×8 = 240$（吨）
因为卸货时，货物总量=平均卸货速度×卸货天数，且$v$与$t$成反比例函数关系，所以函数表达式为：
$v = \frac{240}{t}$
(2) 由(1)知$v = \frac{240}{t}$，变形得$t = \frac{240}{v}$，根据题意$t≤5$，代入得：
$\frac{240}{v} ≤ 5$
因为$v＞0$，不等式两边同乘$v$得：$240 ≤ 5v$，解得$v≥48$，即平均每天至少要卸载48吨货物。
【答案】
(1) $v = \frac{240}{t}$；(2) 平均每天至少要卸载48吨货物。
【知识点】
反比例函数应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题是教材例题的变式题，主要考察反比例函数在实际问题中的应用以及利用不等式解决实际问题，属于基础题型，解题关键是先确定货物总量，再结合函数关系和不等式求解，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
第(1)问：要确定卸货速度$v$与卸货天数$t$的反比例函数，需先求出货物总量（定值），根据装载条件，货物总量=每天装载量×装载天数，算出总量后，利用反比例函数的定义即可写出函数表达式；第(2)问：要求卸货时间不超过5天，即$t≤5$，将第(1)问的反比例函数变形为用$v$表示$t$的形式，代入不等式求解，注意$v$为正数，解不等式时不等号方向不变。
【解析】
(1) 设轮船上的货物总量为$k$吨，根据装载条件，货物总量为：
$k = 30×8 = 240$（吨）
因为卸货时，货物总量=平均卸货速度×卸货天数，且$v$与$t$成反比例函数关系，所以函数表达式为：
$v = \frac{240}{t}$
(2) 由(1)知$v = \frac{240}{t}$，变形得$t = \frac{240}{v}$，根据题意$t≤5$，代入得：
$\frac{240}{v} ≤ 5$
因为$v＞0$，不等式两边同乘$v$得：$240 ≤ 5v$，解得$v≥48$，即平均每天至少要卸载48吨货物。
【答案】
(1) $v = \frac{240}{t}$；(2) 平均每天至少要卸载48吨货物。
【知识点】
反比例函数应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题是教材例题的变式题，主要考察反比例函数在实际问题中的应用以及利用不等式解决实际问题，属于基础题型，解题关键是先确定货物总量，再结合函数关系和不等式求解，思路清晰易懂。
【难度系数】
0.7
2. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度$v$(单位:m/s)是载重后总质量$m$(单位:kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量$m=60\ \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度$v=6\ \mathrm{m/s}$.当其载重后总质量$m=80\ \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度$v=$
4.5
m/s.答案
4.5 解析:设反比例函数的表达式为$v=\frac{k}{m}$.
∵机器狗载重后总质量$m=60 \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度$v=6 \mathrm{m/s}$,
∴k=60×6=360,
∴反比例函数的表达式为$v=\frac{360}{m}$.当$m=80 \mathrm{kg}$时,$v=\frac{360}{80}=4.5(\mathrm{m/s})$,即当其载重后总质量$m=80 \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度$v=4.5 \mathrm{m/s}$.
∵机器狗载重后总质量$m=60 \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度$v=6 \mathrm{m/s}$,
∴k=60×6=360,
∴反比例函数的表达式为$v=\frac{360}{m}$.当$m=80 \mathrm{kg}$时,$v=\frac{360}{80}=4.5(\mathrm{m/s})$,即当其载重后总质量$m=80 \mathrm{kg}$时,它的最快移动速度$v=4.5 \mathrm{m/s}$.
解析
【分析】题目中明确最快移动速度$v$是载重后总质量$m$的反比例函数，因此先设出反比例函数表达式，利用已知的$m$和$v$求出比例系数$k$，再将$m=80$代入表达式计算对应的$v$值即可。
【解析】设反比例函数的表达式为$v=\frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$）。
已知当$m=60\ \mathrm{kg}$时，$v=6\ \mathrm{m/s}$，将其代入表达式得：
$6=\frac{k}{60}$，解得$k=60×6=360$。
因此反比例函数的表达式为$v=\frac{360}{m}$。
当$m=80\ \mathrm{kg}$时，代入表达式得：
$v=\frac{360}{80}=4.5\ \mathrm{m/s}$。
【答案】4.5
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，核心是利用待定系数法确定反比例函数解析式，再代入求值，属于难度较低的基础题，学生只要掌握反比例函数的定义和基本计算即可完成。
【难度系数】0.8
【解析】设反比例函数的表达式为$v=\frac{k}{m}$（$k$为常数，$k≠0$）。
已知当$m=60\ \mathrm{kg}$时，$v=6\ \mathrm{m/s}$，将其代入表达式得：
$6=\frac{k}{60}$，解得$k=60×6=360$。
因此反比例函数的表达式为$v=\frac{360}{m}$。
当$m=80\ \mathrm{kg}$时，代入表达式得：
$v=\frac{360}{80}=4.5\ \mathrm{m/s}$。
【答案】4.5
【知识点】反比例函数的应用
【点评】本题是反比例函数在实际场景中的基础应用，核心是利用待定系数法确定反比例函数解析式，再代入求值，属于难度较低的基础题，学生只要掌握反比例函数的定义和基本计算即可完成。
【难度系数】0.8
3. 某药物研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度$y$(单位:$μ \mathrm{g}/\mathrm{mL}$)与注射时间$x$(单位:天)之间的函数关系如图所示(当$x ≤ 20$时,$y$与$x$是正比例函数关系;当$x ≥ 20$时,$y$与$x$是反比例函数关系),则体内抗体浓度$y$高于$70\ μ \mathrm{g}/\mathrm{mL}$时,相应的自变量$x$的取值范围是
$5＜x＜80$
.答案
$5＜x＜80$ 解析:设当$x ≤ 20$时,$y$与$x$之间的函数关系式是$y=kx$,
∵图象过$(20,280)$,
∴20k=280,解得k=14,即$y$与$x$之间的函数关系式是$y=14x$;设当$x ≥ 20$时,$y$与$x$之间的函数关系式是$y=\frac{m}{x}$,
∵图象过$(20,280)$,
∴m=5 600,即$y$与$x$之间的函数关系式是$y=\frac{5\ 600}{x}$.当$x ≤ 20$时,令$y=70$,则70=14x,解得x=5;当$x ≥ 20$时,令$y=70$,则$70=\frac{5\ 600}{x}$,解得x=80,故相应的自变量$x$的取值范围是$5＜x＜80$.
∵图象过$(20,280)$,
∴20k=280,解得k=14,即$y$与$x$之间的函数关系式是$y=14x$;设当$x ≥ 20$时,$y$与$x$之间的函数关系式是$y=\frac{m}{x}$,
∵图象过$(20,280)$,
∴m=5 600,即$y$与$x$之间的函数关系式是$y=\frac{5\ 600}{x}$.当$x ≤ 20$时,令$y=70$,则70=14x,解得x=5;当$x ≥ 20$时,令$y=70$,则$70=\frac{5\ 600}{x}$,解得x=80,故相应的自变量$x$的取值范围是$5＜x＜80$.
解析
【分析】
要解决该问题，需先根据图像确定两段函数的解析式：当$x≤20$时为正比例函数，利用已知点$(20,280)$求出其解析式；当$x≥20$时为反比例函数，同样用该点求出其解析式。再分别令$y=70$，解出对应的$x$值，结合函数图像判断$y＞70$时自变量$x$的取值范围。
【解析】
1. 求$x≤20$时的函数解析式：设正比例函数为$y=kx$，将点$(20,280)$代入得$20k=280$，解得$k=14$，故解析式为$y=14x\ (x≤20)$。
2. 求$x≥20$时的函数解析式：设反比例函数为$y=\frac{m}{x}$，将点$(20,280)$代入得$m=20×280=5600$，故解析式为$y=\frac{5600}{x}\ (x≥20)$。
3. 求$y=70$对应的$x$值：
当$x≤20$时，令$14x=70$，解得$x=5$；
当$x≥20$时，令$\frac{5600}{x}=70$，解得$x=80$。
4. 结合图像可知，当$5＜x＜80$时，抗体浓度$y$高于$70\ μ g/mL$。
【答案】
$5＜x＜80$
【知识点】
正比例函数应用、反比例函数应用、不等式求解
【点评】
本题是分段函数的实际应用题，核心是用待定系数法求函数解析式，再结合函数图像与不等式确定自变量范围，属于基础题型，需掌握待定系数法和函数图像的解读方法。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需先根据图像确定两段函数的解析式：当$x≤20$时为正比例函数，利用已知点$(20,280)$求出其解析式；当$x≥20$时为反比例函数，同样用该点求出其解析式。再分别令$y=70$，解出对应的$x$值，结合函数图像判断$y＞70$时自变量$x$的取值范围。
【解析】
1. 求$x≤20$时的函数解析式：设正比例函数为$y=kx$，将点$(20,280)$代入得$20k=280$，解得$k=14$，故解析式为$y=14x\ (x≤20)$。
2. 求$x≥20$时的函数解析式：设反比例函数为$y=\frac{m}{x}$，将点$(20,280)$代入得$m=20×280=5600$，故解析式为$y=\frac{5600}{x}\ (x≥20)$。
3. 求$y=70$对应的$x$值：
当$x≤20$时，令$14x=70$，解得$x=5$；
当$x≥20$时，令$\frac{5600}{x}=70$，解得$x=80$。
4. 结合图像可知，当$5＜x＜80$时，抗体浓度$y$高于$70\ μ g/mL$。
【答案】
$5＜x＜80$
【知识点】
正比例函数应用、反比例函数应用、不等式求解
【点评】
本题是分段函数的实际应用题，核心是用待定系数法求函数解析式，再结合函数图像与不等式确定自变量范围，属于基础题型，需掌握待定系数法和函数图像的解读方法。
【难度系数】
0.6
4. 一辆货车上装有 40 t 货物,货车到达目的地后开始卸货.设平均卸货速度为$v$(单位:$\mathrm{t/h}$),卸完这批货物所需的时间为$t$(单位:$\mathrm{h}$).
(1)求$v$关于$t$的函数表达式.
(2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过 5 h,则平均每小时至少要卸货多少吨?
(1)求$v$关于$t$的函数表达式.
(2)若要求卸完货车上这批货物的时间不超过 5 h,则平均每小时至少要卸货多少吨?
答案
(1)$v$关于$t$的函数表达式为$v=\frac{40}{t}$.
(2)
∵$v=\frac{40}{t}$,
∴$t=\frac{40}{v}$.
∵t≤5,
∴$\frac{40}{v} ≤ 5$,解得v≥8,答:平均每小时至少要卸货 8 t.
(2)
∵$v=\frac{40}{t}$,
∴$t=\frac{40}{v}$.
∵t≤5,
∴$\frac{40}{v} ≤ 5$,解得v≥8,答:平均每小时至少要卸货 8 t.
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据“卸货总量=平均卸货速度×卸货时间”的基本关系，结合已知总货物量为40t，建立v与t的函数关系，注意时间t为正数，确定函数形式。
2. 第(2)问：已知卸货时间不超过5h，即$t ≤ 5$，将第(1)问的函数关系变形为t关于v的表达式，代入不等式求解，结合卸货速度v为正数的实际意义，确定最终结果。
【解析】
(1) 根据卸货总量=平均卸货速度×卸货时间，可得：
$v · t = 40$
整理得v关于t的函数表达式为：
$v = \frac{40}{t}$（$t＞0$）
(2) 由(1)知$v = \frac{40}{t}$，变形得$t = \frac{40}{v}$。
已知卸货时间不超过5h，即$t ≤ 5$，代入得：
$\frac{40}{v} ≤ 5$
因为卸货速度$v＞0$，两边同时乘$v$不等号方向不变，解得：
$v ≥ 8$
即平均每小时至少要卸货8t。
【答案】
(1) $v=\frac{40}{t}$；(2) 8t
【知识点】
反比例函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，难度较低，主要考查函数关系的建立及不等式求解，需注意实际问题中变量的取值范围，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：
1. 第(1)问：根据“卸货总量=平均卸货速度×卸货时间”的基本关系，结合已知总货物量为40t，建立v与t的函数关系，注意时间t为正数，确定函数形式。
2. 第(2)问：已知卸货时间不超过5h，即$t ≤ 5$，将第(1)问的函数关系变形为t关于v的表达式，代入不等式求解，结合卸货速度v为正数的实际意义，确定最终结果。
【解析】
(1) 根据卸货总量=平均卸货速度×卸货时间，可得：
$v · t = 40$
整理得v关于t的函数表达式为：
$v = \frac{40}{t}$（$t＞0$）
(2) 由(1)知$v = \frac{40}{t}$，变形得$t = \frac{40}{v}$。
已知卸货时间不超过5h，即$t ≤ 5$，代入得：
$\frac{40}{v} ≤ 5$
因为卸货速度$v＞0$，两边同时乘$v$不等号方向不变，解得：
$v ≥ 8$
即平均每小时至少要卸货8t。
【答案】
(1) $v=\frac{40}{t}$；(2) 8t
【知识点】
反比例函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题是反比例函数在实际问题中的基础应用，难度较低，主要考查函数关系的建立及不等式求解，需注意实际问题中变量的取值范围，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.7
