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三、解答题(共40分)
11. (10分) 如图,正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $\odot O$.
(1)若 $P$ 是 $\overset{\frown}{CD}$ 上的动点,连接 $BP$、$FP$,求 $∠ BPF$ 的度数.
(2)已知 $△ ADF$ 的面积为 $2\sqrt{3}$,求 $\odot O$ 的面积.
11. (10分) 如图,正六边形 $ABCDEF$ 内接于 $\odot O$.
(1)若 $P$ 是 $\overset{\frown}{CD}$ 上的动点,连接 $BP$、$FP$,求 $∠ BPF$ 的度数.
(2)已知 $△ ADF$ 的面积为 $2\sqrt{3}$,求 $\odot O$ 的面积.
答案
11. (1)如图,在$\overset{\frown}{CD}$上取一点 P,连接 BP、AP、FP、FO. $\because$ 六边形 ABCDEF 是正六边形, $\therefore AF=AB,∠AOF=\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ },$$\therefore ∠APF=\frac{1}{2}∠AOF=30^{\circ }.\because AF=AB,\therefore ∠APB=∠APF=$$30^{\circ },\therefore ∠BPF=∠APB+∠APF=60^{\circ }.$ (2) $\because ∠AOF=60^{\circ },$$AO=FO,\therefore △AOF$ 是等边三角形, $\therefore ∠DAF=60^{\circ },\therefore DF=$$\sqrt{3}AF,AD=2AF,\therefore S_{△ADF}=\frac{1}{2}AF·DF=\frac{\sqrt{3}}{2}AF^{2}=2\sqrt{3},$$\therefore AF=2$,即 $\odot O$ 的半径为 2, $\therefore \odot O$ 的面积为 $π×2^{2}=4π.$
解析
【分析】
要解决本题，需结合正六边形的性质和圆的相关定理：
1. 对于第(1)问，正六边形每条边对应圆心角为60°，根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，结合正六边形边长相等、对应弧相等的特点，可拆分∠BPF为两个30°的角，进而求和得到结果。
2. 对于第(2)问，正六边形中AD是直径，△AOF为等边三角形，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合三角形面积公式求出圆的半径，最终计算圆的面积。
【解析】
(1) 连接OA、OF、OB，
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ 每条边对应的圆心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，即 $∠ AOF=∠ AOB=60°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ 弧AF所对的圆周角 $∠ APF=\frac{1}{2}∠ AOF=\frac{1}{2}×60°=30°$，
同理，弧AB所对的圆周角 $∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$，
∴ $∠ BPF=∠ APB+∠ APF=30°+30°=60°$。
(2)
∵ AD是⊙O的直径（正六边形的对角线AD过圆心O），
∴ OA=OF=⊙O的半径r，
又 $∠ AOF=60°$，
∴ △AOF是等边三角形，故AF=r，$∠ DAF=60°$，
∵ AD是直径，
∴ $∠ AFD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ADF中，$DF=AF·\tan60°=\sqrt{3}r$，
△ADF的面积 $S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AF· DF=\frac{1}{2}· r·\sqrt{3}r=\frac{\sqrt{3}}{2}r^2$，
已知 $S_{△ ADF}=2\sqrt{3}$，则 $\frac{\sqrt{3}}{2}r^2=2\sqrt{3}$，
解得 $r^2=4$，即 $r=2$，
∴ ⊙O的面积为 $π r^2=π×2^2=4π$。
【答案】
(1) $∠ BPF=60°$；(2) ⊙O的面积为 $4π$![]()
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，圆的面积计算
【点评】
本题是几何综合题，结合正六边形性质考查圆周角定理、等边三角形性质及圆的面积计算，需掌握正多边形中心角与圆周角的关系，以及直径所对圆周角的性质，综合性适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合正六边形的性质和圆的相关定理：
1. 对于第(1)问，正六边形每条边对应圆心角为60°，根据圆周角定理，同弧所对圆周角是圆心角的一半，结合正六边形边长相等、对应弧相等的特点，可拆分∠BPF为两个30°的角，进而求和得到结果。
2. 对于第(2)问，正六边形中AD是直径，△AOF为等边三角形，利用直径所对圆周角为直角的性质，结合三角形面积公式求出圆的半径，最终计算圆的面积。
【解析】
(1) 连接OA、OF、OB，
∵ 六边形ABCDEF是正六边形，
∴ 每条边对应的圆心角为 $\frac{360°}{6}=60°$，即 $∠ AOF=∠ AOB=60°$，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴ 弧AF所对的圆周角 $∠ APF=\frac{1}{2}∠ AOF=\frac{1}{2}×60°=30°$，
同理，弧AB所对的圆周角 $∠ APB=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$，
∴ $∠ BPF=∠ APB+∠ APF=30°+30°=60°$。
(2)
∵ AD是⊙O的直径（正六边形的对角线AD过圆心O），
∴ OA=OF=⊙O的半径r，
又 $∠ AOF=60°$，
∴ △AOF是等边三角形，故AF=r，$∠ DAF=60°$，
∵ AD是直径，
∴ $∠ AFD=90°$（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ADF中，$DF=AF·\tan60°=\sqrt{3}r$，
△ADF的面积 $S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AF· DF=\frac{1}{2}· r·\sqrt{3}r=\frac{\sqrt{3}}{2}r^2$，
已知 $S_{△ ADF}=2\sqrt{3}$，则 $\frac{\sqrt{3}}{2}r^2=2\sqrt{3}$，
解得 $r^2=4$，即 $r=2$，
∴ ⊙O的面积为 $π r^2=π×2^2=4π$。
【答案】
(1) $∠ BPF=60°$；(2) ⊙O的面积为 $4π$
【知识点】
正多边形与圆，圆周角定理，圆的面积计算
【点评】
本题是几何综合题，结合正六边形性质考查圆周角定理、等边三角形性质及圆的面积计算，需掌握正多边形中心角与圆周角的关系，以及直径所对圆周角的性质，综合性适中。
【难度系数】
0.5
12. (10 分) 如图,在直径为 2 的圆形纸片上裁剪出圆心角 $∠ ACB=90°$ 的扇形 $CAB$.
(1)求阴影部分的面积.
(2)用所裁剪的扇形纸片 $CAB$ 围成一个圆锥的侧面,求此圆锥底面圆的半径.
(1)求阴影部分的面积.
(2)用所裁剪的扇形纸片 $CAB$ 围成一个圆锥的侧面,求此圆锥底面圆的半径.
答案
12. (1)如图,连接 AB、OC. $\because ∠ACB=90^{\circ },\therefore AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore A、O、B$ 三点共线, $\therefore OB=OC=OA$. 又 $\because AC=BC$,$\therefore AB⊥OC$. $\because \odot O$ 的直径为 2, 则 $AC=BC=\sqrt{2}$, 故 $S_{扇形}=$$\frac{90}{360}×π×(\sqrt{2})^{2}=\frac{π}{2},\therefore S_{阴影部分}=π×1^{2}-\frac{π}{2}=\frac{π}{2}.$ (2)扇形 CAB 中 $\overset{\frown}{AB}$的长 $l=\frac{90π×\sqrt{2}}{180}=\frac{\sqrt{2}π}{2}$, 则 $2πr=\frac{\sqrt{2}π}{2}$, 解得 $r=$$\frac{\sqrt{2}}{4}$, 故该圆锥的底面圆的半径是 $\frac{\sqrt{2}}{4}.$
解析
【分析】
第(1)问：阴影部分面积可通过“圆的面积减去扇形CAB的面积”计算，需先利用圆周角定理和勾股定理求出扇形CAB的半径，再分别计算圆和扇形的面积，进而得到阴影面积；第(2)问：圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此先求扇形弧长，再根据圆的周长公式求解底面半径。
【解析】
(1) 连接AB、OC，因为$∠ ACB=90°$，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，所以AB是$\odot O$的直径，$\odot O$直径为2，故$\odot O$半径为1，$AB=2$。在等腰直角$△ ACB$中，$AC=BC$，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$2AC^2=2^2=4$，解得$AC=\sqrt{2}$。扇形CAB的圆心角为$90°$，半径为$\sqrt{2}$，则扇形面积：
$S_{扇形CAB}=\frac{90°}{360°} × π × (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{4} × π × 2 = \frac{π}{2}$
$\odot O$的面积：$S_{\odot O}=π × 1^2 = π$
因此阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{\odot O} - S_{扇形CAB} = π - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$
(2) 扇形CAB中$\overset{\frown}{AB}$的弧长（即圆锥侧面展开图的弧长）：
$l=\frac{90° × π × \sqrt{2}}{180°} = \frac{\sqrt{2}π}{2}$
设圆锥底面圆的半径为$r$，圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，即$2π r = \frac{\sqrt{2}π}{2}$，两边同除以$π$得：$2r = \frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$
【答案】
(1) $\frac{π}{2}$；(2) $\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
圆的面积、扇形面积、圆锥侧面展开图
【点评】
本题综合考查圆的性质、扇形面积计算及圆锥的相关计算，核心是利用圆周角定理确定直径，以及圆锥侧面弧长与底面周长的等量关系，解题需注意公式的正确应用。
【难度系数】
0.6
第(1)问：阴影部分面积可通过“圆的面积减去扇形CAB的面积”计算，需先利用圆周角定理和勾股定理求出扇形CAB的半径，再分别计算圆和扇形的面积，进而得到阴影面积；第(2)问：圆锥侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，因此先求扇形弧长，再根据圆的周长公式求解底面半径。
【解析】
(1) 连接AB、OC，因为$∠ ACB=90°$，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，所以AB是$\odot O$的直径，$\odot O$直径为2，故$\odot O$半径为1，$AB=2$。在等腰直角$△ ACB$中，$AC=BC$，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即$2AC^2=2^2=4$，解得$AC=\sqrt{2}$。扇形CAB的圆心角为$90°$，半径为$\sqrt{2}$，则扇形面积：
$S_{扇形CAB}=\frac{90°}{360°} × π × (\sqrt{2})^2 = \frac{1}{4} × π × 2 = \frac{π}{2}$
$\odot O$的面积：$S_{\odot O}=π × 1^2 = π$
因此阴影部分面积：$S_{阴影}=S_{\odot O} - S_{扇形CAB} = π - \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$
(2) 扇形CAB中$\overset{\frown}{AB}$的弧长（即圆锥侧面展开图的弧长）：
$l=\frac{90° × π × \sqrt{2}}{180°} = \frac{\sqrt{2}π}{2}$
设圆锥底面圆的半径为$r$，圆锥底面圆的周长等于扇形弧长，即$2π r = \frac{\sqrt{2}π}{2}$，两边同除以$π$得：$2r = \frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$r=\frac{\sqrt{2}}{4}$
【答案】
(1) $\frac{π}{2}$；(2) $\frac{\sqrt{2}}{4}$
【知识点】
圆的面积、扇形面积、圆锥侧面展开图
【点评】
本题综合考查圆的性质、扇形面积计算及圆锥的相关计算，核心是利用圆周角定理确定直径，以及圆锥侧面弧长与底面周长的等量关系，解题需注意公式的正确应用。
【难度系数】
0.6
13. (10 分) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D$ 是 $\odot O$ 的一条弦, 且 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$.
(1) 求证: $∠ B C O=∠ D$.
(2) 若 $C D=4 \sqrt{3}, A E=2$, 求阴影部分的面积.
(1) 求证: $∠ B C O=∠ D$.
(2) 若 $C D=4 \sqrt{3}, A E=2$, 求阴影部分的面积.
答案
13. (1) 证明: $\because OC=OB,\therefore ∠BCO=∠B.\because ∠B=∠D,$$\therefore ∠BCO=∠D.$ (2) 设 $\odot O$ 的半径为 $r$. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径, $CD⊥AB$ 于点 E, $\therefore CE=\frac{1}{2}CD.\because CD=4\sqrt{3},\therefore CE=$$2\sqrt{3}$. 在 $Rt△OEC$ 中, $OC^{2}=CE^{2}+OE^{2},\therefore r^{2}=(2\sqrt{3})^{2}+(r-$$2)^{2}$, 解得 $r=4,\therefore OC=OA=4,\therefore OE=OA-AE=4-2=2,$$\therefore ∠OCE=30^{\circ },\therefore ∠AOC=60^{\circ },\therefore S_{阴影部分}=S_{扇形AOC}-S_{△COE}=$$\frac{60}{360}×π×4^{2}-\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}=\frac{8π}{3}-2\sqrt{3}.$
解析
【分析】
第(1)问要证明∠BCO=∠D，先利用等腰三角形性质得∠BCO=∠B，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠D，从而完成证明；第(2)问求阴影面积，需先通过垂径定理和勾股定理求出⊙O的半径，再确定扇形AOC的圆心角，最后用扇形面积减去△COE的面积得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ OC、OB都是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠B。又
∵ ∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠B=∠D，
∴ ∠BCO=∠D。
(2) 解：设⊙O的半径为r。
∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ CE=½CD。已知CD=4√3，
∴ CE=½×4√3=2√3。在Rt△OEC中，OC=r，OE=OA - AE=r - 2，由勾股定理得：OC²=CE² + OE²，即r²=(2√3)² + (r - 2)²，展开得r²=12 + r² -4r +4，化简得0=16 -4r，解得r=4。
∴ OC=4，OE=4 -2=2。在Rt△OEC中，OE=½OC，
∴ ∠OCE=30°，
∴ ∠AOC=60°。阴影部分面积S=S扇形AOC - S△COE。S扇形AOC= (60×π×4²)/360=8π/3，S△COE=½×CE×OE=½×2√3×2=2√3，故S阴影=8π/3 -2√3。
【答案】
8π/3 -2√3
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，第(1)问利用等腰三角形与圆周角定理推导角相等，第(2)问结合垂径定理、勾股定理求半径，再计算阴影面积，需熟练掌握圆的相关公式与定理，是圆章节的典型题型。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证明∠BCO=∠D，先利用等腰三角形性质得∠BCO=∠B，再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得∠B=∠D，从而完成证明；第(2)问求阴影面积，需先通过垂径定理和勾股定理求出⊙O的半径，再确定扇形AOC的圆心角，最后用扇形面积减去△COE的面积得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ OC、OB都是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
∴ ∠BCO=∠B。又
∵ ∠B和∠D都是弧AC所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，
∴ ∠B=∠D，
∴ ∠BCO=∠D。
(2) 解：设⊙O的半径为r。
∵ AB是⊙O的直径，CD⊥AB，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，
∴ CE=½CD。已知CD=4√3，
∴ CE=½×4√3=2√3。在Rt△OEC中，OC=r，OE=OA - AE=r - 2，由勾股定理得：OC²=CE² + OE²，即r²=(2√3)² + (r - 2)²，展开得r²=12 + r² -4r +4，化简得0=16 -4r，解得r=4。
∴ OC=4，OE=4 -2=2。在Rt△OEC中，OE=½OC，
∴ ∠OCE=30°，
∴ ∠AOC=60°。阴影部分面积S=S扇形AOC - S△COE。S扇形AOC= (60×π×4²)/360=8π/3，S△COE=½×CE×OE=½×2√3×2=2√3，故S阴影=8π/3 -2√3。
【答案】
8π/3 -2√3
【知识点】
圆周角定理、垂径定理、扇形面积计算
【点评】
本题综合考查圆的核心性质，第(1)问利用等腰三角形与圆周角定理推导角相等，第(2)问结合垂径定理、勾股定理求半径，再计算阴影面积，需熟练掌握圆的相关公式与定理，是圆章节的典型题型。
【难度系数】
0.5
14. (10 分) 如图, 四边形 $A B C D$ 是边长为 4 的正方形, 以边 $A B$ 为直径作 $\odot O$, 点 $E$ 在边 $B C$ 上,连接 $A E$ 交 $\odot O$ 于点 $F$,连接 $B F$ 并延长交 $C D$ 于点 $G$.
(1) 求证: $△ A B E ≌ △ B C G$.
(2) 若 $∠ A E B=55°$, 求 $\overgroup{B F}$ 的长. (结果保留 $π$ )
(1) 求证: $△ A B E ≌ △ B C G$.
(2) 若 $∠ A E B=55°$, 求 $\overgroup{B F}$ 的长. (结果保留 $π$ )
答案
14. (1) 证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形, $AB$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ABE=∠BCG=∠AFB=90^{\circ },\therefore ∠BAF+∠ABF=90^{\circ },∠ABF+∠EBF=$$90^{\circ },\therefore ∠EBF=∠BAF$. 在 $△ABE$ 和 $△BCG$ 中, $\begin{cases} ∠BAE=∠CBG, \\ AB=BC, \\ ∠ABE=∠BCG, \end{cases}$$\therefore △ABE≌△BCG(ASA).$ (2) 如图, 连接 OF. $\because ∠ABE=$$90^{\circ },∠AEB=55^{\circ },\therefore ∠BAE=90^{\circ }-55^{\circ }=35^{\circ },\therefore ∠BOF=$$2∠BAE=70^{\circ }$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 是边长为 4 的正方形, $\therefore OB=$$\frac{1}{2}AB=2,\therefore \overset{\frown}{BF}$的长为 $\frac{70π×2}{180}=\frac{7π}{9}.$
解析
【分析】
要解决本题，需结合正方形和圆的性质逐步推导：
(1) 证明△ABE≌△BCG：先利用正方形性质得AB=BC，∠ABE=∠BCG=90°；再由AB是⊙O直径，得∠AFB=90°，推出∠BAE=∠CBG，最后用ASA判定全等。
(2) 求弧BF的长：弧长公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $，需先求圆心角∠BOF和半径OB：在Rt△ABE中，由∠AEB=55°算出∠BAE=35°，根据圆周角定理得∠BOF=70°；正方形边长为4，得OB=2，代入公式计算弧长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴ AB=BC，∠ABE=∠BCG=90°，∠AFB=90°（直径所对圆周角为直角），
∴ ∠BAE + ∠ABF = 90°，∠ABF + ∠EBF = 90°，
∴ ∠BAE = ∠CBG（同角的余角相等）。
在△ABE和△BCG中：
$\begin{cases}∠BAE=∠CBG \\AB=BC \\∠ABE=∠BCG\end{cases}$
∴ △ABE≌△BCG（ASA）。
(2) 解：连接OF，
∵ ∠ABE=90°，∠AEB=55°，
∴ 在Rt△ABE中，∠BAE=90° - 55°=35°，
根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得∠BOF=2∠BAE=70°。
∵ 正方形ABCD边长为4，AB是⊙O的直径，
∴ OB=$\frac{1}{2}$AB=2，
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，得$\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{70π × 2}{180}=\frac{7π}{9}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{7π}{9}$。
【知识点】
全等三角形判定、圆周角定理、弧长计算
【点评】
本题是正方形与圆结合的几何综合题，考查全等三角形判定、圆周角定理及弧长公式的应用，需熟练运用几何定理推导角的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合正方形和圆的性质逐步推导：
(1) 证明△ABE≌△BCG：先利用正方形性质得AB=BC，∠ABE=∠BCG=90°；再由AB是⊙O直径，得∠AFB=90°，推出∠BAE=∠CBG，最后用ASA判定全等。
(2) 求弧BF的长：弧长公式为$ l=\frac{nπ r}{180} $，需先求圆心角∠BOF和半径OB：在Rt△ABE中，由∠AEB=55°算出∠BAE=35°，根据圆周角定理得∠BOF=70°；正方形边长为4，得OB=2，代入公式计算弧长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，
∴ AB=BC，∠ABE=∠BCG=90°，∠AFB=90°（直径所对圆周角为直角），
∴ ∠BAE + ∠ABF = 90°，∠ABF + ∠EBF = 90°，
∴ ∠BAE = ∠CBG（同角的余角相等）。
在△ABE和△BCG中：
$\begin{cases}∠BAE=∠CBG \\AB=BC \\∠ABE=∠BCG\end{cases}$
∴ △ABE≌△BCG（ASA）。
(2) 解：连接OF，
∵ ∠ABE=90°，∠AEB=55°，
∴ 在Rt△ABE中，∠BAE=90° - 55°=35°，
根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，得∠BOF=2∠BAE=70°。
∵ 正方形ABCD边长为4，AB是⊙O的直径，
∴ OB=$\frac{1}{2}$AB=2，
根据弧长公式$ l=\frac{nπ r}{180} $，得$\overset{\frown}{BF}$的长为$\frac{70π × 2}{180}=\frac{7π}{9}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\frac{7π}{9}$。
【知识点】
全等三角形判定、圆周角定理、弧长计算
【点评】
本题是正方形与圆结合的几何综合题，考查全等三角形判定、圆周角定理及弧长公式的应用，需熟练运用几何定理推导角的关系，难度适中。
【难度系数】
0.5
