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1. (2025·云南)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为$90^{\circ }$,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为（
A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
B
）A.9 cm
B.10 cm
C.11 cm
D.12 cm
答案
1. B 解析:设圆锥的底面圆的半径为 r cm. 根据题意,得 $2πr=\frac{90π×40}{180}$,解得 $r=10$,即圆锥的底面圆的半径为 10 cm.
解析
【分析】要解决本题，需掌握圆锥侧面展开图的核心性质：圆锥侧面展开图（扇形）的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先设底面圆半径为$r$，分别写出扇形弧长公式和圆的周长公式，再根据两者相等的关系列方程求解，最后对应选项得出答案。
【解析】设该圆锥的底面圆的半径为$r \, \mathrm{cm}$。
圆锥侧面展开图是圆心角为$90°$、母线长（即扇形半径）为$40 \, \mathrm{cm}$的扇形，根据扇形弧长公式，其弧长为$\frac{nπ R}{180} = \frac{90π × 40}{180}$；
同时，圆锥底面圆的周长为$2π r$，由侧面展开图弧长等于底面圆周长，列方程：
$2π r = \frac{90π × 40}{180}$
化简得：$2π r = 20π$，两边同除以$2π$，解得$r = 10$，即底面圆半径为$10 \, \mathrm{cm}$。
【答案】B
【知识点】圆锥侧面展开图、弧长公式
【点评】本题考查圆锥侧面展开图与底面圆的关系，核心是利用“扇形弧长等于底面圆周长”建立方程，属于基础题型，只要掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】0.7
【解析】设该圆锥的底面圆的半径为$r \, \mathrm{cm}$。
圆锥侧面展开图是圆心角为$90°$、母线长（即扇形半径）为$40 \, \mathrm{cm}$的扇形，根据扇形弧长公式，其弧长为$\frac{nπ R}{180} = \frac{90π × 40}{180}$；
同时，圆锥底面圆的周长为$2π r$，由侧面展开图弧长等于底面圆周长，列方程：
$2π r = \frac{90π × 40}{180}$
化简得：$2π r = 20π$，两边同除以$2π$，解得$r = 10$，即底面圆半径为$10 \, \mathrm{cm}$。
【答案】B
【知识点】圆锥侧面展开图、弧长公式
【点评】本题考查圆锥侧面展开图与底面圆的关系，核心是利用“扇形弧长等于底面圆周长”建立方程，属于基础题型，只要掌握相关公式即可快速求解。
【难度系数】0.7
2. 如图,A、B、C 是半径为 4 的$\odot O$上的三点,如果$∠ ACB=45^{\circ }$,那么$\overset{\frown}{AB}$的长为 （
A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$8π$
A
）A.$2π$
B.$3π$
C.$4π$
D.$8π$
答案
2. A 解析:连接 OA、OB. $\because ∠ACB=45^{\circ },\therefore ∠AOB=90^{\circ }.$$\because OA=4,\therefore \overset{\frown}{AB}$的长是$\frac{90π×4}{180}=2π.$
解析
【分析】要计算弧$\overset{\frown}{AB}$的长，需先明确弧长的计算公式，而公式需要知道弧对应的圆心角度数和圆的半径。根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，因此可先通过已知的圆周角$∠ ACB$求出圆心角$∠ AOB$，再结合弧长公式计算弧长。
【解析】解：连接OA、OB。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠ ACB=45°$，可得$∠ AOB=2∠ ACB=2×45°=90°$。
已知$\odot O$的半径$OA=4$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），将$n=90°$，$r=4$代入公式，得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{90π×4}{180}=2π$。
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】圆周角定理、弧长公式
【点评】本题考查圆周角定理与弧长公式的基础应用，解题核心是利用圆周角定理求出弧对应的圆心角，再代入弧长公式计算，属于难度较低的基础题。
【难度系数】0.7
【解析】解：连接OA、OB。
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，已知$∠ ACB=45°$，可得$∠ AOB=2∠ ACB=2×45°=90°$。
已知$\odot O$的半径$OA=4$，根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径），将$n=90°$，$r=4$代入公式，得：
$\overset{\frown}{AB}$的长$=\frac{90π×4}{180}=2π$。
因此答案选A。
【答案】A
【知识点】圆周角定理、弧长公式
【点评】本题考查圆周角定理与弧长公式的基础应用，解题核心是利用圆周角定理求出弧对应的圆心角，再代入弧长公式计算，属于难度较低的基础题。
【难度系数】0.7
3. 如图,$\odot O$是正六边形$ABCDEF$的外接圆,若$\odot O$的半径为6,则四边形$ACDF$的周长是
（
A.$6+6\sqrt{3}$
B.$12+6\sqrt{3}$
C.$12+12\sqrt{3}$
D.$6+12\sqrt{3}$
（
C
）A.$6+6\sqrt{3}$
B.$12+6\sqrt{3}$
C.$12+12\sqrt{3}$
D.$6+12\sqrt{3}$
答案
3. C 解析:如图,连接 OA、OF,过点 O 作 $OM⊥DF$ 于点 M,则 $FM=DM=\frac{1}{2}DF$.$\because O$ 是正六边形 $ABCDEF$ 的中心, $\therefore ∠AOF=\frac{360^{\circ }}{6}=60^{\circ }.$$\because OA=OF,\therefore △AOF$ 是等边三角形, $\therefore AF=OA=6$. 在$Rt△OMF$ 中, $∠OFM=\frac{1}{2}∠AOF=30^{\circ },OF=6,\therefore FM=$$\frac{\sqrt{3}}{2}OF=3\sqrt{3},\therefore DF=2FM=6\sqrt{3},\therefore$ 四边形 $ACDF$ 的周长是$2AF+2DF=12+12\sqrt{3}.$
解析
【分析】
要解决本题，需结合正六边形的性质与圆的相关知识：首先，正六边形的外接圆半径等于其边长，且中心角为60°；其次，四边形ACDF的对边分别相等，因此周长为2倍的（AF + DF）。解题时，先利用正六边形的中心角判定△AOF为等边三角形，得到AF的长度；再通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出DF的长度，最终计算四边形周长。
【解析】
如图，连接OA、OF，过点O作OM⊥DF于点M，则FM = DM = $\frac{1}{2}$DF。
∵ O是正六边形ABCDEF的中心，⊙O半径为6，
∴ ∠AOF = $\frac{360°}{6}$ = 60°，且OA = OF = 6，
∴ △AOF是等边三角形，故AF = OA = 6。
在Rt△OMF中，∠OFM = $\frac{1}{2}$∠AOF = 30°，OF = 6，
∴ FM = OF·cos30° = 6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 3$\sqrt{3}$，
∴ DF = 2FM = 6$\sqrt{3}$。
又
∵ 四边形ACDF是矩形，AC = DF = 6$\sqrt{3}$，CD = AF = 6，
∴ 四边形ACDF的周长 = 2×(AF + DF) = 2×(6 + 6$\sqrt{3}$) = 12 + 12$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、等边三角形性质、解直角三角形
【点评】
本题结合正六边形外接圆，考查正多边形中心角、等边三角形判定与性质、直角三角形边角关系，解题核心是利用正六边形性质求线段长度，进而计算周长，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合正六边形的性质与圆的相关知识：首先，正六边形的外接圆半径等于其边长，且中心角为60°；其次，四边形ACDF的对边分别相等，因此周长为2倍的（AF + DF）。解题时，先利用正六边形的中心角判定△AOF为等边三角形，得到AF的长度；再通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出DF的长度，最终计算四边形周长。
【解析】
如图，连接OA、OF，过点O作OM⊥DF于点M，则FM = DM = $\frac{1}{2}$DF。
∵ O是正六边形ABCDEF的中心，⊙O半径为6，
∴ ∠AOF = $\frac{360°}{6}$ = 60°，且OA = OF = 6，
∴ △AOF是等边三角形，故AF = OA = 6。
在Rt△OMF中，∠OFM = $\frac{1}{2}$∠AOF = 30°，OF = 6，
∴ FM = OF·cos30° = 6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 3$\sqrt{3}$，
∴ DF = 2FM = 6$\sqrt{3}$。
又
∵ 四边形ACDF是矩形，AC = DF = 6$\sqrt{3}$，CD = AF = 6，
∴ 四边形ACDF的周长 = 2×(AF + DF) = 2×(6 + 6$\sqrt{3}$) = 12 + 12$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
正多边形与圆、等边三角形性质、解直角三角形
【点评】
本题结合正六边形外接圆，考查正多边形中心角、等边三角形判定与性质、直角三角形边角关系，解题核心是利用正六边形性质求线段长度，进而计算周长，属于中等难度的几何基础题。
【难度系数】
0.5
4. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,$AD$交$\odot O$于点$F$,$C$是$\overset{\frown}{BF}$的中点,连接$AC$.若$∠ CAB=30°$,$AB=2$,则图中阴影部分的面积是（
A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{π}{6}$
C.$\dfrac{2π}{3}$
D.$\dfrac{π}{2}$
B
）A.$\dfrac{π}{3}$
B.$\dfrac{π}{6}$
C.$\dfrac{2π}{3}$
D.$\dfrac{π}{2}$
答案
4. B 解析:如图,连接 CF、OC、OF,OF 交 AC 于点 E.$\because C$ 为$\overset{\frown}{BF}$的中点,$\therefore \overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BC},\therefore ∠CAF=∠BAC=30^{\circ },\therefore ∠COF=$$∠COB=2∠CAF=60^{\circ },\therefore ∠AOF=60^{\circ }$. 又 $\because AB=2,\therefore OA=$$OF=OC=\frac{1}{2}AB=1,\therefore △AOF$ 和 $△COF$ 均为等边三角形,$\therefore ∠AOF=∠CFO=60^{\circ },\therefore AB// CF,\therefore S_{△ACF}=S_{△COF}$,则阴影部分的面积为 $S_{△ACF}+S_{弓形CF}=S_{△COF}+S_{弓形CF}=S_{扇形COF}=$$\frac{60}{360}×π×1^{2}=\frac{π}{6}.$
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分由△ACF和弓形CF组成，可利用“同底等高的三角形面积相等”将△ACF的面积转化为△COF的面积，从而将阴影部分面积转化为扇形COF的面积。接下来需根据已知条件求出扇形COF的圆心角和半径，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接CF、OC、OF，OF交AC于点E。
1. 因为C是$\overset{\frown}{BF}$的中点，所以$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BC}$，根据同弧所对的圆周角相等，得∠CAF=∠BAC=30°；
2. 由圆心角与圆周角的关系（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），得∠COF=2∠CAF=60°，∠COB=2∠BAC=60°，故∠AOF=180°-∠COF-∠COB=60°；
3. 已知AB=2，所以⊙O的半径OA=OF=OC=$\frac{1}{2}$AB=1；
4. 因为OA=OF=1，∠AOF=60°，所以△AOF是等边三角形，同理△COF也是等边三角形，得∠CFO=60°，故∠AOF=∠CFO，所以AB//CF；
5. 由于AB//CF，△ACF与△COF同底（CF）且等高，因此$S_{△ACF}=S_{△COF}$；
6. 阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ACF}+S_{弓形CF}=S_{△COF}+S_{弓形CF}=S_{扇形COF}$；
7. 根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=60°，r=1，得$S_{扇形COF}=\frac{60×π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】B
【知识点】弧中点性质、扇形面积计算、三角形面积
【点评】本题运用转化思想，将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，解题关键是利用圆的性质和同底等高三角形面积相等实现面积转化，综合考查了圆的相关知识，难度适中。
【难度系数】0.5
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影部分由△ACF和弓形CF组成，可利用“同底等高的三角形面积相等”将△ACF的面积转化为△COF的面积，从而将阴影部分面积转化为扇形COF的面积。接下来需根据已知条件求出扇形COF的圆心角和半径，再代入扇形面积公式计算即可。
【解析】
解：连接CF、OC、OF，OF交AC于点E。
1. 因为C是$\overset{\frown}{BF}$的中点，所以$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BC}$，根据同弧所对的圆周角相等，得∠CAF=∠BAC=30°；
2. 由圆心角与圆周角的关系（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），得∠COF=2∠CAF=60°，∠COB=2∠BAC=60°，故∠AOF=180°-∠COF-∠COB=60°；
3. 已知AB=2，所以⊙O的半径OA=OF=OC=$\frac{1}{2}$AB=1；
4. 因为OA=OF=1，∠AOF=60°，所以△AOF是等边三角形，同理△COF也是等边三角形，得∠CFO=60°，故∠AOF=∠CFO，所以AB//CF；
5. 由于AB//CF，△ACF与△COF同底（CF）且等高，因此$S_{△ACF}=S_{△COF}$；
6. 阴影部分面积$S_{阴影}=S_{△ACF}+S_{弓形CF}=S_{△COF}+S_{弓形CF}=S_{扇形COF}$；
7. 根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为半径），代入n=60°，r=1，得$S_{扇形COF}=\frac{60×π×1^2}{360}=\frac{π}{6}$。
【答案】B
【知识点】弧中点性质、扇形面积计算、三角形面积
【点评】本题运用转化思想，将不规则阴影面积转化为规则扇形面积，解题关键是利用圆的性质和同底等高三角形面积相等实现面积转化，综合考查了圆的相关知识，难度适中。
【难度系数】0.5
5. 已知圆锥的母线长为10,底面圆半径为5,则此圆锥的侧面积为
50π
.答案
5. 50π 解析:此圆锥的侧面积为 $π×5×$$10=50π.$
解析
【分析】
要计算圆锥的侧面积，需先明确圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积公式为$ S_{侧} = π r l $（其中$ r $是底面圆半径，$ l $是圆锥的母线长）。本题已知底面圆半径$ r=5 $，母线长$ l=10 $，直接将数值代入公式计算即可。
【解析】
根据圆锥侧面积公式$ S_{侧} = π r l $，把$ r=5 $、$ l=10 $代入公式：
$ S_{侧} = π × 5 × 10 = 50π $
【答案】
50π
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题考查圆锥侧面积公式的直接应用，属于基础题型，只需牢记公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
要计算圆锥的侧面积，需先明确圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积公式为$ S_{侧} = π r l $（其中$ r $是底面圆半径，$ l $是圆锥的母线长）。本题已知底面圆半径$ r=5 $，母线长$ l=10 $，直接将数值代入公式计算即可。
【解析】
根据圆锥侧面积公式$ S_{侧} = π r l $，把$ r=5 $、$ l=10 $代入公式：
$ S_{侧} = π × 5 × 10 = 50π $
【答案】
50π
【知识点】
圆锥侧面积计算
【点评】
本题考查圆锥侧面积公式的直接应用，属于基础题型，只需牢记公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
6. 若半径为 8 的扇形弧长为 $2π$,则该扇形的圆心角度数为
45°
.答案
6. $45^{\circ }$ 解析:设圆心角度数为 $n^{\circ }$. 根据题意,得$\frac{nπ×8}{180}=2π$,解得 $n=45$,$\therefore$ 该扇形的圆心角度数为 $45^{\circ }.$
解析
【分析】
要计算扇形的圆心角度数，需运用扇形弧长公式。首先回忆扇形弧长公式：弧长$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形半径）。题目已知弧长$ l=2π $、半径$ r=8 $，设圆心角度数为$ n° $，将已知量代入公式列方程，解方程即可求出圆心角度数。
【解析】
设该扇形的圆心角度数为$ n° $。
根据扇形弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $，代入$ l=2π $、$ r=8 $得：
$ \frac{nπ × 8}{180} = 2π $
两边同时除以$ π $化简：$ \frac{8n}{180} = 2 $
整理得：$ 8n = 360 $
解得：$ n = 45 $
因此该扇形的圆心角度数为$ 45° $。
【答案】
$ 45° $
【知识点】
扇形弧长公式
【点评】
本题考查扇形弧长公式的基础应用，属于常规基础题，只需牢记公式并代入数值计算即可，对学生来说难度较低。
【难度系数】
0.8
要计算扇形的圆心角度数，需运用扇形弧长公式。首先回忆扇形弧长公式：弧长$ l = \frac{nπ r}{180} $（其中$ n $为圆心角度数，$ r $为扇形半径）。题目已知弧长$ l=2π $、半径$ r=8 $，设圆心角度数为$ n° $，将已知量代入公式列方程，解方程即可求出圆心角度数。
【解析】
设该扇形的圆心角度数为$ n° $。
根据扇形弧长公式$ l = \frac{nπ r}{180} $，代入$ l=2π $、$ r=8 $得：
$ \frac{nπ × 8}{180} = 2π $
两边同时除以$ π $化简：$ \frac{8n}{180} = 2 $
整理得：$ 8n = 360 $
解得：$ n = 45 $
因此该扇形的圆心角度数为$ 45° $。
【答案】
$ 45° $
【知识点】
扇形弧长公式
【点评】
本题考查扇形弧长公式的基础应用，属于常规基础题，只需牢记公式并代入数值计算即可，对学生来说难度较低。
【难度系数】
0.8
7. 在如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为 1,点 O、A、B、C 均在小正方形的格点上(小正方形的顶点称为格点),则扇形 AOC 的周长为
$2\sqrt{10}+\dfrac{\sqrt{10}π}{2}$
.答案
7. $2\sqrt{10}+\frac{\sqrt{10}π}{2}$ 解析:如图,连接 AC,由勾股定理,得 $OA=$$OC=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},AC=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=2\sqrt{5},\therefore OA^{2}+OC^{2}=$$20=AC^{2},\therefore ∠AOC=90^{\circ },\therefore \overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{90π×\sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}π}{2},$$\therefore$ 扇形 AOC 的周长为 $2\sqrt{10}+\frac{\sqrt{10}π}{2}.$
解析
【分析】要计算扇形AOC的周长，需先确定扇形的半径和圆心角：1. 利用勾股定理计算OA、OC、AC的长度；2. 通过勾股定理逆定理判断圆心角∠AOC的度数；3. 利用弧长公式计算弧AC的长度；4. 扇形周长为两条半径长与弧AC长的和，代入计算即可。
【解析】解：设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理：
$OA = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，$OC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，$AC = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$；
∵ $OA^2 + OC^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 20$，$AC^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$，
∴ $OA^2 + OC^2 = AC^2$，根据勾股定理逆定理，得$∠ AOC = 90°$；
根据弧长公式，弧$\overset{\frown}{AC}$的长为：$\frac{90π × \sqrt{10}}{180} = \frac{\sqrt{10}π}{2}$；
扇形AOC的周长 = $OA + OC + \overset{\frown}{AC}$的长 = $\sqrt{10} + \sqrt{10} + \frac{\sqrt{10}π}{2} = 2\sqrt{10} + \frac{\sqrt{10}π}{2}$。
【答案】$2\sqrt{10}+\frac{\sqrt{10}π}{2}$
【知识点】勾股定理，弧长公式，勾股定理逆定理
【点评】本题结合网格图形考查扇形周长的计算，核心是利用勾股定理及逆定理确定半径和圆心角，再结合弧长公式求解，属于中等难度的几何基础题，需熟练掌握相关公式和定理。
【难度系数】0.6
【解析】解：设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理：
$OA = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，$OC = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$，$AC = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$；
∵ $OA^2 + OC^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{10})^2 = 20$，$AC^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$，
∴ $OA^2 + OC^2 = AC^2$，根据勾股定理逆定理，得$∠ AOC = 90°$；
根据弧长公式，弧$\overset{\frown}{AC}$的长为：$\frac{90π × \sqrt{10}}{180} = \frac{\sqrt{10}π}{2}$；
扇形AOC的周长 = $OA + OC + \overset{\frown}{AC}$的长 = $\sqrt{10} + \sqrt{10} + \frac{\sqrt{10}π}{2} = 2\sqrt{10} + \frac{\sqrt{10}π}{2}$。
【答案】$2\sqrt{10}+\frac{\sqrt{10}π}{2}$
【知识点】勾股定理，弧长公式，勾股定理逆定理
【点评】本题结合网格图形考查扇形周长的计算，核心是利用勾股定理及逆定理确定半径和圆心角，再结合弧长公式求解，属于中等难度的几何基础题，需熟练掌握相关公式和定理。
【难度系数】0.6
8. 如图,正八边形 $ABCDEFGH$ 内接于$\odot O$,对角线 $AE$ 为$\odot O$ 的直径,连接 $HE$,则$∠ AEH$ 的度数为
$22.5°$
.答案
8. 22.5° 解析:如图,连接 OH. $\because$ 正八边形 $ABCDEFGH$ 内接于 $\odot O,\therefore ∠AOH=\frac{360^{\circ }}{8}=45^{\circ }$. 又 $\because$ 对角线 AE 为 $\odot O$ 的直径,$OE=OH,\therefore ∠AEH=\frac{1}{2}∠AOH=22.5^{\circ }.$
解析
【分析】
要计算∠AEH的度数，需结合正多边形的中心角性质和圆周角定理。首先，正八边形的各边对应相等的中心角，可先求出弧AH对应的圆心角；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可推导得出∠AEH的度数。
【解析】
连接OH。
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴整个圆周被8等份，每一份的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，即$∠ AOH=45°$。
又
∵AE是⊙O的直径，OE、OH均为⊙O的半径，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ AEH=\frac{1}{2}∠ AOH=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
22.5°
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理
【点评】
本题结合正多边形的中心角性质和圆周角定理求解，核心是确定弧对应的圆心角，利用圆周角定理计算角度，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算∠AEH的度数，需结合正多边形的中心角性质和圆周角定理。首先，正八边形的各边对应相等的中心角，可先求出弧AH对应的圆心角；再根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可推导得出∠AEH的度数。
【解析】
连接OH。
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴整个圆周被8等份，每一份的中心角为$\frac{360°}{8}=45°$，即$∠ AOH=45°$。
又
∵AE是⊙O的直径，OE、OH均为⊙O的半径，
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴$∠ AEH=\frac{1}{2}∠ AOH=\frac{1}{2}×45°=22.5°$。
【答案】
22.5°
【知识点】
正多边形与圆、圆周角定理
【点评】
本题结合正多边形的中心角性质和圆周角定理求解，核心是确定弧对应的圆心角，利用圆周角定理计算角度，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=72^{\circ },BC=10$，若以$BC$为直径作$\odot O$分别交$AB$、$AC$于点$M$、$N$，则图中阴影部分的面积为
$10π$
.（结果保留$π$）答案
9. 10π 解析: $\because ∠A=72^{\circ },∠A+∠B+∠C=180^{\circ },\therefore ∠B+∠C=$$108^{\circ }$. $\because$ 以 BC 为直径作 $\odot O$ 分别交 AB、AC 于点 M、N, $\therefore OB=$$OM=OC=ON=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5,\therefore ∠B=∠OMB,∠C=$$∠ONC,\therefore ∠OMB+∠ONC=∠B+∠C=108^{\circ },\therefore ∠BOM+∠CON=$$180^{\circ }-(∠B+∠OMB)+180^{\circ }-(∠C+∠ONC)=$$360^{\circ }-(∠B+∠C)-(∠OMB+∠ONC)=144^{\circ },\therefore S_{阴影部分}=$$S_{扇形OBM}+S_{扇形OCN}=\frac{144}{360}×π×5^{2}=10π.$
解析
【分析】
要计算阴影部分面积，观察图形可知阴影部分是扇形OBM与扇形OCN的面积和，因此需先求出这两个扇形的圆心角之和。首先利用三角形内角和求出△ABC中∠B+∠C的度数，再结合圆的半径相等得到等腰三角形，进而推导两个扇形圆心角的和，最后用扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求△ABC中∠B+∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=72°，因此∠B+∠C=180°−72°=108°。
2. 确定圆的半径：
因为BC是⊙O的直径，BC=10，所以半径OB=OM=OC=ON=1/2 BC=5。
3. 计算扇形的圆心角之和：
在△OBM中，OB=OM，故△OBM为等腰三角形，∠B=∠OMB，因此∠BOM=180°−2∠B；
同理，在△OCN中，OC=ON，∠C=∠ONC，故∠CON=180°−2∠C；
所以∠BOM+∠CON= (180°−2∠B)+(180°−2∠C)=360°−2(∠B+∠C)=360°−2×108°=144°。
4. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积为扇形OBM与扇形OCN的面积和，根据扇形面积公式S= nπr²/360（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
S阴影= (144×π×5²)/360 = (144×25π)/360 = 10π。
【答案】
10π
【知识点】
三角形内角和、等腰三角形性质、扇形面积计算
【点评】
本题将阴影面积转化为两个扇形的面积和，核心是利用三角形内角和与等腰三角形的性质推导扇形圆心角之和，需灵活运用几何性质解决问题。
【难度系数】
0.5
要计算阴影部分面积，观察图形可知阴影部分是扇形OBM与扇形OCN的面积和，因此需先求出这两个扇形的圆心角之和。首先利用三角形内角和求出△ABC中∠B+∠C的度数，再结合圆的半径相等得到等腰三角形，进而推导两个扇形圆心角的和，最后用扇形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求△ABC中∠B+∠C的度数：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，已知∠A=72°，因此∠B+∠C=180°−72°=108°。
2. 确定圆的半径：
因为BC是⊙O的直径，BC=10，所以半径OB=OM=OC=ON=1/2 BC=5。
3. 计算扇形的圆心角之和：
在△OBM中，OB=OM，故△OBM为等腰三角形，∠B=∠OMB，因此∠BOM=180°−2∠B；
同理，在△OCN中，OC=ON，∠C=∠ONC，故∠CON=180°−2∠C；
所以∠BOM+∠CON= (180°−2∠B)+(180°−2∠C)=360°−2(∠B+∠C)=360°−2×108°=144°。
4. 计算阴影部分面积：
阴影部分面积为扇形OBM与扇形OCN的面积和，根据扇形面积公式S= nπr²/360（n为圆心角度数，r为半径），代入得：
S阴影= (144×π×5²)/360 = (144×25π)/360 = 10π。
【答案】
10π
【知识点】
三角形内角和、等腰三角形性质、扇形面积计算
【点评】
本题将阴影面积转化为两个扇形的面积和，核心是利用三角形内角和与等腰三角形的性质推导扇形圆心角之和，需灵活运用几何性质解决问题。
【难度系数】
0.5
10. 如图,正方形$ABCD$的边长为2,将长为2的线段$QR$的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动. 如果点$Q$从点$A$出发,沿图中所示方向按$A \to B \to C \to D \to A$滑动到点$A$停止,同时点$R$从点$B$出发,沿图中所示方向按$B \to C \to D \to A \to B$滑动到点$B$停止. 在这个过程中,线段$QR$的中点$M$所经过的路线的长为
$2π$
.答案
10. 2π 解析:如图,连接 BM. 当 Q 在 A、B 之间运动时,QR 及点 B 形成直角三角形,$\because M$ 为 QR 中点,$\therefore$ 总有 $BM=\frac{1}{2}QR=1$,$\therefore$ 点 M 的运动轨迹是以点 B 为圆心、1 为半径的四分之一圆;同理,当点 Q 在点 B、C 之间运动时,点 M 的运动轨迹是以点 C 为圆心、1 为半径的四分之一圆;当点 Q 在点 C、D 之间运动时,点 M 的运动轨迹是以点 D 为圆心、1 为半径的四分之一圆;当点 Q 在点 D、A 之间运动时,点 M 的运动轨迹是以点 A 为圆心、1 为半径的四分之一圆. 综上所述,点 M 经过的路线的长为半径 1 的圆的周长,即为 2π.
解析
【分析】要确定线段QR中点M的运动路线长度，核心是利用直角三角形斜边中线的性质找到M到定点的距离不变，进而明确M的运动轨迹。首先连接BM，结合QR的固定长度，可推出BM为定值；再分阶段分析Q的运动过程，对应M的轨迹为多个圆弧，最终计算总长度。
【解析】连接BM，因为M是QR的中点，且QR=2，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半（Q、R在正方形相邻边上时，△QBR为直角三角形），所以$BM=\frac{1}{2}QR=1$。
分四个阶段分析Q的运动：
1. 当Q沿A→B滑动时，R沿B→C滑动，M的轨迹是以B为圆心、1为半径的四分之一圆；
2. 当Q沿B→C滑动时，R沿C→D滑动，M的轨迹是以C为圆心、1为半径的四分之一圆；
3. 当Q沿C→D滑动时，R沿D→A滑动，M的轨迹是以D为圆心、1为半径的四分之一圆；
4. 当Q沿D→A滑动时，R沿A→B滑动，M的轨迹是以A为圆心、1为半径的四分之一圆。
四个四分之一圆的总长度等于半径为1的圆的周长，即$C=2π r=2π×1=2π$。
【答案】2π
【知识点】直角三角形斜边中线性质、圆的周长、动点轨迹
【点评】本题通过直角三角形斜边中线定理确定动点到定点的距离不变，将复杂的动点轨迹转化为规则圆弧，是几何中分析轨迹的典型题型，需要学生掌握相关定理并能分阶段拆解问题。
【难度系数】0.5
【解析】连接BM，因为M是QR的中点，且QR=2，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半（Q、R在正方形相邻边上时，△QBR为直角三角形），所以$BM=\frac{1}{2}QR=1$。
分四个阶段分析Q的运动：
1. 当Q沿A→B滑动时，R沿B→C滑动，M的轨迹是以B为圆心、1为半径的四分之一圆；
2. 当Q沿B→C滑动时，R沿C→D滑动，M的轨迹是以C为圆心、1为半径的四分之一圆；
3. 当Q沿C→D滑动时，R沿D→A滑动，M的轨迹是以D为圆心、1为半径的四分之一圆；
4. 当Q沿D→A滑动时，R沿A→B滑动，M的轨迹是以A为圆心、1为半径的四分之一圆。
四个四分之一圆的总长度等于半径为1的圆的周长，即$C=2π r=2π×1=2π$。
【答案】2π
【知识点】直角三角形斜边中线性质、圆的周长、动点轨迹
【点评】本题通过直角三角形斜边中线定理确定动点到定点的距离不变，将复杂的动点轨迹转化为规则圆弧，是几何中分析轨迹的典型题型，需要学生掌握相关定理并能分阶段拆解问题。
【难度系数】0.5
