1. 综合与实践:车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆,车轮都是圆形的.为什么车轮要设计成圆形的呢? 这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问,小青进行了如下的探究活动:
将车轮设计成不同的正多边形,在水平地面上模拟行驶.
(1)探究一:将车轮设计成等边三角形,转动过程如图 1,设其中心到顶点的距离是 2,以车轮转动一次 (以一个顶点为支点旋转) 为例, 中心的轨迹是$\overset{\frown}{BD}$,$BA=CA=DA=2$, 圆心角$∠ BAD=120°$. 此时中心轨迹最高点是 $C$ (即$\overset{\frown}{BD}$的中点), 转动一次前后中心的连线是$BD$(水平线), 请在图 2 中计算点 $C$ 到 $BD$ 的距离 $d_1$.
(2)探究二:将车轮设计成正方形,转动过程如图 3,设其中心到顶点的距离是 2,以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例, 中心的轨迹是$\overset{\frown}{BD}$,$BA=CA=DA=2$, 圆心角$∠ BAD=90°$. 此时中心轨迹最高点是 $C$ (即$\overset{\frown}{BD}$的中点), 转动一次前后中心的连线是 $BD$(水平线), 请在图 4 中计算 $C$ 到 $BD$ 的距离 $d_2$.(结果保留根号)
(3)探究三:将车轮设计成正六边形,转动过程如图 5,设其中心到顶点的距离是 2,以车轮转动一次 (以一个顶点为支点旋转) 为例, 中心的轨迹是$\overset{\frown}{BD}$, 圆心角$∠ BAD=$. 此时中心轨迹最高点是 $C$ (即$\overset{\frown}{BD}$的中点), 转动一次前后中心的连线是 $BD$(水平线), 请直接写出图 6 中 $C$ 到 $BD$ 的距离 $d_3=$(结果保留根号).
(4)归纳推理:$d_1$、$d_2$、$d_3$的大小关系为,按此规律推理,车轮设计成的正多边形边数越多,其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线(水平线)的距离(填“越大”或“越小”).
(5)得出结论:将车轮设计成圆形,转动过程如图 7,其中心(即圆心)的轨迹与水平地面平行,此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线 (水平线) 的距离 $d=$. 这样车辆行驶平稳、没有颠簸感. 因此,将车轮设计成圆形.


2. 根据素材解决问题:

1. (1)如图 1,
∵AB=AD=2,AC⊥BD,
∴∠BAC=∠CAD=
$\frac{1}{2}∠BAD=60°$.
∵AB=AC,
∴△ABC 是等边三角形,
∴BC=
AC=AB=2,
∴$d_1=CE=\frac{1}{2}AC=1$.

(2)如图 2,
∵AB=AD,AC⊥BD,∠BAD=90°,
∴∠ABD=
∠ADB=45°,
∴$AE=\sqrt{2}$,
∴$d_2=CE=AC-AE=2-\sqrt{2}$.

(3)$60°$ $2-\sqrt{3}$ 解析:如图 3,
∵AB=AD,∠ABD=60°,
∴△ABD 是等边三角形,
∴∠BAD=60°. 又
∵C 是$\overset{\frown}{BD}$的中
点,
∴AC⊥BD,
∴$∠BAC=\frac{1}{2}∠BAD=30°$,
∴$BE=\frac{1}{2}AB=$
1,
∴$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{3}$,
∴$d_3=CE=AC-AE=2-\sqrt{3}$.

(4)$d_1＞d_2＞d_3$ 越小
(5)0
2. 任务 1:如图 4,设圆心为
O,则点 O 在 CD 的延长线上,连接 AO,设桥拱的半径为 r m,
则 OD=(r−4) m.
∵OC⊥AB,
∴$AD=BD=\frac{1}{2}AB=8$ m.
∵$OD^2+AD^2=OA^2$,
∴$(r-4)^2+8^2=r^2$,解得 r=10,
∴圆形
桥拱的半径为 10 m.

任务 2:根据题图 3 状态,货船不能通
过圆形桥拱,至少要增加 10 t 的货物才能通过. 理由如下:如
图 5,当 EH 是⊙O 的弦时,EH 与 OC 的交点为 M,连接 OE、
OH.
∵四边形 EFGH 为矩形,
∴EH//FG.
∵OC⊥AB,
∴OM⊥
EH,
∴$EM=\frac{1}{2}EH=6$ m,
∴$OM=\sqrt{OE^2-EM^2}=8$ m.
∵OD=OC−CD=6 m,
∴DM=OM−OD=2 m＜2.1 m,
∴根据题图 3 状态,货船不能通过圆形桥拱.
∵货船的载质量
每增加 1 t,船身下降 0.01 m.
∴船在水面部分可以下降的高
度为(2.1−2)÷0.01=10(t),
∴至少要增加 10 t 的货物才能
通过.

【分析】
本题围绕车轮设计的数学道理展开，通过探究正多边形车轮转动时中心轨迹最高点与水平线的距离，结合正多边形性质、等腰三角形、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理、垂径定理解决问题。解题思路：对于正多边形，利用中心到顶点的距离相等，结合等腰三角形三线合一，计算中心到水平线BD的垂线段长度AE，再用中心到顶点的距离AC减去AE得到d；正多边形边数越多，中心角越小，AE越大，d越小；圆形车轮转动时，圆心轨迹与水平地面平行，最高点与水平线的距离为0；素材题利用垂径定理和勾股定理求解桥拱半径及货船通过问题。
【解析】
1. 探究一：
(1) 已知AB=AD=2，∠BAD=120°，AC⊥BD，根据等腰三角形三线合一，得∠BAC=∠CAD=60°。又AB=AC=2，故△ABC为等边三角形，AE为等边三角形的高，AE=AB·cos60°=2×1/2=1，因此d₁=CE=AC - AE=2 - 1=1。
2. 探究二：
(2) 已知AB=AD=2，∠BAD=90°，AC⊥BD，故△ABD为等腰直角三角形，∠ABD=45°，AE为等腰直角三角形斜边上的高，AE=AB·cos45°=2×√2/2=√2，因此d₂=CE=AC - AE=2 - √2。
3. 探究三：
(3) 正六边形的中心角为60°，故∠BAD=60°；AC⊥BD，△ABD为等边三角形，AE=AB·cos30°=2×√3/2=√3，因此d₃=CE=AC - AE=2 - √3。
4. 归纳推理：
(4) 计算得d₁=1，d₂=2-√2≈0.586，d₃=2-√3≈0.268，故d₁＞d₂＞d₃；正多边形边数越多，中心角越小，AE越大，d越小。
5. 得出结论：
(5) 圆形车轮转动时，圆心轨迹与水平地面平行，最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离d=0。
6. 素材题（桥拱问题）：
任务1：设桥拱半径为r m，圆心为O，OD=(r-4)m，OC⊥AB，由垂径定理得AD=8m，在Rt△AOD中，OA²=OD²+AD²，即r²=(r-4)²+8²，解得r=10，故桥拱半径为10m。
任务2：当EH为弦时，OM⊥EH，EM=6m，OM=√(OE²-EM²)=8m，DM=OM-OD=8-6=2m＜2.1m，故货船不能通过；需下降的高度为2.1-2=0.1m，每增加1t货物船身下降0.01m，故需增加0.1÷0.01=10t货物。
【答案】
1. (1) d₁=1；(2) d₂=2-√2；(3) ∠BAD=60°，d₃=2-√3；(4) d₁＞d₂＞d₃，越小；(5) 0；
2. 任务1：桥拱半径为10m；任务2：至少增加10t货物。





【知识点】
正多边形性质、勾股定理、垂径定理
【点评】
本题结合生活实际，通过探究正多边形到圆形的变化，体现数学的应用价值，培养学生的归纳推理能力；素材题结合桥拱问题考查几何知识的综合应用，整体难度适中，适合学生巩固几何定理的运用。
【难度系数】
0.5