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1. (常州中考)计算:$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{x}{x+1}=$______。
答案
1
解析
【分析】
这是一道同分母分式的加法计算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现均为$x+1$，属于同分母分式相加，满足同分母分式加法的运算条件；第二步根据同分母分式加法法则，分母保持不变，将两个分子相加得到新的分子；第三步对得到的分式进行约分，化简得到最终结果，运算默认分式有意义（即$x≠-1$）。
【解析】
根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1+x}{x+1}\\&=\frac{x+1}{x+1}\\&=1\quad(x≠-1)\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考查同分母分式的运算规则，只要熟练掌握运算法则，正确合并分子后约分就能得到正确结果，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
这是一道同分母分式的加法计算题，解题思路如下：第一步先观察两个分式的分母，发现均为$x+1$，属于同分母分式相加，满足同分母分式加法的运算条件；第二步根据同分母分式加法法则，分母保持不变，将两个分子相加得到新的分子；第三步对得到的分式进行约分，化简得到最终结果，运算默认分式有意义（即$x≠-1$）。
【解析】
根据同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，计算过程如下：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1+x}{x+1}\\&=\frac{x+1}{x+1}\\&=1\quad(x≠-1)\end{aligned}$
【答案】
$1$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分
【点评】
本题是分式加减运算的基础题型，重点考查同分母分式的运算规则，只要熟练掌握运算法则，正确合并分子后约分就能得到正确结果，计算难度较低。
【难度系数】
0.9
2. 通分：
(1)$\frac{4a}{5b^2c},\frac{3c}{10a^2b},\frac{5b}{-2ac^2}$；
(2)$\frac{1}{x^2 - 4},\frac{3}{4 - 2x}$。
(1)$\frac{4a}{5b^2c},\frac{3c}{10a^2b},\frac{5b}{-2ac^2}$；
(2)$\frac{1}{x^2 - 4},\frac{3}{4 - 2x}$。
答案
(1)$\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2},\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2},-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$；
(2)$\frac{2}{2(x+2)(x-2)},-\frac{3(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$
(2)$\frac{2}{2(x+2)(x-2)},-\frac{3(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的整式，使所有分式的分母统一为最简公分母。（1）中分母均为单项式，找最简公分母的规则为：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，单独出现的字母连同指数一起作为公分母的因式；（2）中分母为多项式，需先对每个分母因式分解，再按单项式找公分母的规则确定最简公分母，同时注意负号的正确处理。
【解析】
(1) 先确定三个分式分母$5b^2c$、$10a^2b$、$-2ac^2$的最简公分母：
系数5、10、2的最小公倍数是10，字母$a$的最高次为$a^2$，字母$b$的最高次为$b^2$，字母$c$的最高次为$c^2$，因此最简公分母为$10a^2b^2c^2$。
对每个分式变形：
$\frac{4a}{5b^2c}=\frac{4a· 2a^2c}{5b^2c· 2a^2c}=\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{3c}{10a^2b}=\frac{3c· bc^2}{10a^2b· bc^2}=\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{5b}{-2ac^2}=-\frac{5b}{2ac^2}=-\frac{5b· 5ab^2}{2ac^2· 5ab^2}=-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$，因此最简公分母为$2(x+2)(x-2)$。
对每个分式变形：
$\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{(x+2)(x-2)}=\frac{1×2}{2(x+2)(x-2)}=\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$；
$\frac{3}{4-2x}=\frac{3}{-2(x-2)}=-\frac{3}{2(x-2)}=-\frac{3(x+2)}{2(x-2)(x+2)}=-\frac{3(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$。
【答案】
(1)$\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2},\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2},-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$；
(2)$\frac{2}{2(x+2)(x-2)},-\frac{3(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题是通分的基础题型，分别考查了分母为单项式和多项式的分式通分方法，解题的关键是准确找到最简公分母，处理分母带负号的情况时要注意符号变化，是分式加减运算的必备基础技能。
【难度系数】
0.7
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再利用分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的整式，使所有分式的分母统一为最简公分母。（1）中分母均为单项式，找最简公分母的规则为：系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，单独出现的字母连同指数一起作为公分母的因式；（2）中分母为多项式，需先对每个分母因式分解，再按单项式找公分母的规则确定最简公分母，同时注意负号的正确处理。
【解析】
(1) 先确定三个分式分母$5b^2c$、$10a^2b$、$-2ac^2$的最简公分母：
系数5、10、2的最小公倍数是10，字母$a$的最高次为$a^2$，字母$b$的最高次为$b^2$，字母$c$的最高次为$c^2$，因此最简公分母为$10a^2b^2c^2$。
对每个分式变形：
$\frac{4a}{5b^2c}=\frac{4a· 2a^2c}{5b^2c· 2a^2c}=\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{3c}{10a^2b}=\frac{3c· bc^2}{10a^2b· bc^2}=\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2}$；
$\frac{5b}{-2ac^2}=-\frac{5b}{2ac^2}=-\frac{5b· 5ab^2}{2ac^2· 5ab^2}=-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2-4=(x+2)(x-2)$，$4-2x=-2(x-2)$，因此最简公分母为$2(x+2)(x-2)$。
对每个分式变形：
$\frac{1}{x^2-4}=\frac{1}{(x+2)(x-2)}=\frac{1×2}{2(x+2)(x-2)}=\frac{2}{2(x+2)(x-2)}$；
$\frac{3}{4-2x}=\frac{3}{-2(x-2)}=-\frac{3}{2(x-2)}=-\frac{3(x+2)}{2(x-2)(x+2)}=-\frac{3(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$。
【答案】
(1)$\frac{8a^3c}{10a^2b^2c^2},\frac{3bc^3}{10a^2b^2c^2},-\frac{25ab^3}{10a^2b^2c^2}$；
(2)$\frac{2}{2(x+2)(x-2)},-\frac{3(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$
【知识点】
分式的基本性质，最简公分母的确定，因式分解
【点评】
本题是通分的基础题型，分别考查了分母为单项式和多项式的分式通分方法，解题的关键是准确找到最简公分母，处理分母带负号的情况时要注意符号变化，是分式加减运算的必备基础技能。
【难度系数】
0.7
3. 计算:
(1)$\frac{b}{3a^2} - \frac{1}{6ab}$;
(2)$\frac{1}{2x^2y} + \frac{2}{3x^2} - \frac{3}{4xy^2}$;
(3)$\frac{m}{m+n} + \frac{m}{m-n} - \frac{m^2}{m^2 - n^2}$;
(4)$\frac{2}{y^2 - 1} - \frac{2}{y + 1} - \frac{1}{y - 1}$.
(1)$\frac{b}{3a^2} - \frac{1}{6ab}$;
(2)$\frac{1}{2x^2y} + \frac{2}{3x^2} - \frac{3}{4xy^2}$;
(3)$\frac{m}{m+n} + \frac{m}{m-n} - \frac{m^2}{m^2 - n^2}$;
(4)$\frac{2}{y^2 - 1} - \frac{2}{y + 1} - \frac{1}{y - 1}$.
答案
(1)原式=$\frac{2b^2 - a}{6a^2b}$；
(2)原式=$\frac{6y + 8y^2 - 9x}{12x^2y^2}$；
(3)原式=$\frac{m^2}{(m+n)(m-n)}$；
(4)原式=$-\frac{3}{y+1}$。
(2)原式=$\frac{6y + 8y^2 - 9x}{12x^2y^2}$；
(3)原式=$\frac{m^2}{(m+n)(m-n)}$；
(4)原式=$-\frac{3}{y+1}$。
解析
【分析】
本组题目为异分母分式的加减运算，解题思路可按以下步骤展开：第一步，确定最简公分母：若分母是单项式，系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，所有不同字母都要包含；若分母是多项式，先将多项式因式分解，再取各不同因式的最高次幂的乘积作为公分母的因式部分。第二步，将每个分式通分，化为以最简公分母为分母的同分母分式，注意分子要和分母乘相同的整式，避免漏乘。第三步，按同分母分式加减规则运算：分母不变，分子相加减，分子部分要先去括号，再合并同类项。第四步，检查运算结果的分子分母是否有公因式，若有则约分，最终结果要化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 两个分式的分母分别为$3a^2$、$6ab$，最简公分母为$6a^2b$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{b·2b}{3a^2·2b} - \frac{1· a}{6ab· a}\\&=\frac{2b^2}{6a^2b} - \frac{a}{6a^2b}\\&=\frac{2b^2 - a}{6a^2b}\end{aligned}$
(2) 三个分式的分母分别为$2x^2y$、$3x^2$、$4xy^2$，最简公分母为$12x^2y^2$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1·6y}{2x^2y·6y} + \frac{2·4y^2}{3x^2·4y^2} - \frac{3·3x}{4xy^2·3x}\\&=\frac{6y}{12x^2y^2} + \frac{8y^2}{12x^2y^2} - \frac{9x}{12x^2y^2}\\&=\frac{6y + 8y^2 - 9x}{12x^2y^2}\end{aligned}$
(3) 先对第三个分母因式分解：$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，最简公分母为$(m+n)(m-n)$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} + \frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)} - \frac{m^2}{(m+n)(m-n)}\\&=\frac{m(m-n)+m(m+n)-m^2}{(m+n)(m-n)}\\&=\frac{m^2 - mn + m^2 + mn - m^2}{(m+n)(m-n)}\\&=\frac{m^2}{(m+n)(m-n)}\end{aligned}$
(4) 先对第一个分母因式分解：$y^2 - 1=(y+1)(y-1)$，最简公分母为$(y+1)(y-1)$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{(y+1)(y-1)} - \frac{2(y-1)}{(y+1)(y-1)} - \frac{y+1}{(y+1)(y-1)}\\&=\frac{2 - 2(y-1) - (y+1)}{(y+1)(y-1)}\\&=\frac{2 - 2y + 2 - y - 1}{(y+1)(y-1)}\\&=\frac{-3y + 3}{(y+1)(y-1)}\\&=\frac{-3(y-1)}{(y+1)(y-1)}\\&=-\frac{3}{y+1}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{2b^2 - a}{6a^2b}$；(2)$\frac{6y + 8y^2 - 9x}{12x^2y^2}$；(3)$\frac{m^2}{(m+n)(m-n)}$；(4)$-\frac{3}{y+1}$
【知识点】
异分母分式加减，通分，分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，核心是掌握异分母分式加减的运算顺序，易错点在于通分时分子漏乘对应整式、分子加减时符号出错，以及最后结果未化简为最简形式，计算时需仔细核对每一步。
【难度系数】
0.7
本组题目为异分母分式的加减运算，解题思路可按以下步骤展开：第一步，确定最简公分母：若分母是单项式，系数取各分母系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，所有不同字母都要包含；若分母是多项式，先将多项式因式分解，再取各不同因式的最高次幂的乘积作为公分母的因式部分。第二步，将每个分式通分，化为以最简公分母为分母的同分母分式，注意分子要和分母乘相同的整式，避免漏乘。第三步，按同分母分式加减规则运算：分母不变，分子相加减，分子部分要先去括号，再合并同类项。第四步，检查运算结果的分子分母是否有公因式，若有则约分，最终结果要化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 两个分式的分母分别为$3a^2$、$6ab$，最简公分母为$6a^2b$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{b·2b}{3a^2·2b} - \frac{1· a}{6ab· a}\\&=\frac{2b^2}{6a^2b} - \frac{a}{6a^2b}\\&=\frac{2b^2 - a}{6a^2b}\end{aligned}$
(2) 三个分式的分母分别为$2x^2y$、$3x^2$、$4xy^2$，最简公分母为$12x^2y^2$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1·6y}{2x^2y·6y} + \frac{2·4y^2}{3x^2·4y^2} - \frac{3·3x}{4xy^2·3x}\\&=\frac{6y}{12x^2y^2} + \frac{8y^2}{12x^2y^2} - \frac{9x}{12x^2y^2}\\&=\frac{6y + 8y^2 - 9x}{12x^2y^2}\end{aligned}$
(3) 先对第三个分母因式分解：$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$，最简公分母为$(m+n)(m-n)$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{m(m-n)}{(m+n)(m-n)} + \frac{m(m+n)}{(m+n)(m-n)} - \frac{m^2}{(m+n)(m-n)}\\&=\frac{m(m-n)+m(m+n)-m^2}{(m+n)(m-n)}\\&=\frac{m^2 - mn + m^2 + mn - m^2}{(m+n)(m-n)}\\&=\frac{m^2}{(m+n)(m-n)}\end{aligned}$
(4) 先对第一个分母因式分解：$y^2 - 1=(y+1)(y-1)$，最简公分母为$(y+1)(y-1)$：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2}{(y+1)(y-1)} - \frac{2(y-1)}{(y+1)(y-1)} - \frac{y+1}{(y+1)(y-1)}\\&=\frac{2 - 2(y-1) - (y+1)}{(y+1)(y-1)}\\&=\frac{2 - 2y + 2 - y - 1}{(y+1)(y-1)}\\&=\frac{-3y + 3}{(y+1)(y-1)}\\&=\frac{-3(y-1)}{(y+1)(y-1)}\\&=-\frac{3}{y+1}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\frac{2b^2 - a}{6a^2b}$；(2)$\frac{6y + 8y^2 - 9x}{12x^2y^2}$；(3)$\frac{m^2}{(m+n)(m-n)}$；(4)$-\frac{3}{y+1}$
【知识点】
异分母分式加减，通分，分式约分
【点评】
本题是分式加减的基础运算题，核心是掌握异分母分式加减的运算顺序，易错点在于通分时分子漏乘对应整式、分子加减时符号出错，以及最后结果未化简为最简形式，计算时需仔细核对每一步。
【难度系数】
0.7
4. 计算$\frac{2}{a^2 - 1} + \frac{1}{a + 1}$，并求当$a = 2$时原式的值。
答案
原式=$\frac{1}{a-1}$. 当$a=2$时,原式$=1$.
解析
【分析】
这是异分母分式的加法运算，解题分为两步：先化简分式，再代入求值。化简时首先对各分母因式分解找最简公分母：第一个分母$a^2-1$符合平方差公式，可分解为$(a+1)(a-1)$，因此最简公分母是$(a+1)(a-1)$；接下来将第二个分式通分为以最简公分母为分母的分式，再按同分母分式加法法则计算，最后约分化为最简形式，再代入$a=2$计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
∵ $a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
∴ 最简公分母为$(a+1)(a-1)$，对$\frac{1}{a+1}$通分得：
$\frac{1}{a+1} = \frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$
代入原式得：
$\begin{aligned}\frac{2}{a^2 - 1} + \frac{1}{a + 1}&=\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2+a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a-1} \quad (a≠\pm1)\end{aligned}$
当$a=2$时，代入化简结果：
原式$=\frac{1}{2-1}=1$
【答案】
原式化简结果为$\frac{1}{a-1}$，当$a=2$时，原式的值为1。
【知识点】
异分母分式加减，因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是正确对分母因式分解、确定最简公分母，通分计算后要注意约分得到最简结果，代入数值时需保证原分式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
这是异分母分式的加法运算，解题分为两步：先化简分式，再代入求值。化简时首先对各分母因式分解找最简公分母：第一个分母$a^2-1$符合平方差公式，可分解为$(a+1)(a-1)$，因此最简公分母是$(a+1)(a-1)$；接下来将第二个分式通分为以最简公分母为分母的分式，再按同分母分式加法法则计算，最后约分化为最简形式，再代入$a=2$计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
∵ $a^2 - 1 = (a+1)(a-1)$
∴ 最简公分母为$(a+1)(a-1)$，对$\frac{1}{a+1}$通分得：
$\frac{1}{a+1} = \frac{a-1}{(a+1)(a-1)}$
代入原式得：
$\begin{aligned}\frac{2}{a^2 - 1} + \frac{1}{a + 1}&=\frac{2}{(a+1)(a-1)} + \frac{a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{2+a-1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{a+1}{(a+1)(a-1)}\\&=\frac{1}{a-1} \quad (a≠\pm1)\end{aligned}$
当$a=2$时，代入化简结果：
原式$=\frac{1}{2-1}=1$
【答案】
原式化简结果为$\frac{1}{a-1}$，当$a=2$时，原式的值为1。
【知识点】
异分母分式加减，因式分解，代数式求值
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是正确对分母因式分解、确定最简公分母，通分计算后要注意约分得到最简结果，代入数值时需保证原分式的分母不为0。
【难度系数】
0.8
5. 已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{5}(a≠b)$，求$\frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}$的值.
答案
$\because \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{5},\therefore \frac{a+b}{ab}=\sqrt{5}.$
原式=$\frac{a^2 - b^2}{ab(a-b)}=\frac{a+b}{ab}=\sqrt{5}.$
原式=$\frac{a^2 - b^2}{ab(a-b)}=\frac{a+b}{ab}=\sqrt{5}.$
解析
【分析】
解题时不要直接尝试代入数值计算，首先对待求分式进行化简：两个分式的分母分别为$b(a-b)$和$a(a-b)$，最简公分母是$ab(a-b)$，先通分计算分式减法，再对分子利用平方差公式因式分解，约分后即可将待求式转化为与已知条件形式一致的式子，最后整体代入已知条件计算即可。
【解析】
已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{5}$，先对已知条件通分可得：
$\frac{a+b}{ab}=\sqrt{5}$
再化简待求式：
$\frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}$
$=\frac{a^2}{ab(a-b)}-\frac{b^2}{ab(a-b)}$
$=\frac{a^2 - b^2}{ab(a-b)}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入得：
$=\frac{(a-b)(a+b)}{ab(a-b)}$
$\because a≠ b$，$\therefore a-b≠0$，约分后可得：
$=\frac{a+b}{ab}$
将$\frac{a+b}{ab}=\sqrt{5}$代入，即得原式结果为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 分式化简求值
2. 平方差公式
3. 分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心思路是先化简待求式，再整体代入已知条件求解，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，主要考查学生的基础分式运算能力和整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.8
解题时不要直接尝试代入数值计算，首先对待求分式进行化简：两个分式的分母分别为$b(a-b)$和$a(a-b)$，最简公分母是$ab(a-b)$，先通分计算分式减法，再对分子利用平方差公式因式分解，约分后即可将待求式转化为与已知条件形式一致的式子，最后整体代入已知条件计算即可。
【解析】
已知$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\sqrt{5}$，先对已知条件通分可得：
$\frac{a+b}{ab}=\sqrt{5}$
再化简待求式：
$\frac{a}{b(a-b)}-\frac{b}{a(a-b)}$
$=\frac{a^2}{ab(a-b)}-\frac{b^2}{ab(a-b)}$
$=\frac{a^2 - b^2}{ab(a-b)}$
利用平方差公式分解分子：$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，代入得：
$=\frac{(a-b)(a+b)}{ab(a-b)}$
$\because a≠ b$，$\therefore a-b≠0$，约分后可得：
$=\frac{a+b}{ab}$
将$\frac{a+b}{ab}=\sqrt{5}$代入，即得原式结果为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
1. 分式化简求值
2. 平方差公式
3. 分式通分约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，核心思路是先化简待求式，再整体代入已知条件求解，不需要单独求解$a$、$b$的具体值，主要考查学生的基础分式运算能力和整体代入思想的应用。
【难度系数】
0.8
