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1. 约分:
(1)$\dfrac{2a(a - 1)}{8ab^2(1 - a)}$；
(2)$\dfrac{a^2 - 4ab + 4b^2}{a^2 - 4b^2}$；
(3)$\dfrac{a^3b^3}{a^2b + ab}$；
(4)$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2 - 4x^2}$。
(1)$\dfrac{2a(a - 1)}{8ab^2(1 - a)}$；
(2)$\dfrac{a^2 - 4ab + 4b^2}{a^2 - 4b^2}$；
(3)$\dfrac{a^3b^3}{a^2b + ab}$；
(4)$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{(x^2 + 1)^2 - 4x^2}$。
答案
(1)原式$=-\dfrac{1}{4b^2}$；
(2)原式$=\dfrac{a-2b}{a+2b}$；
(3)原式$=\dfrac{a^2b^2}{a+1}$；
(4)原式$=\dfrac{1}{(x+1)^2}$。
(2)原式$=\dfrac{a-2b}{a+2b}$；
(3)原式$=\dfrac{a^2b^2}{a+1}$；
(4)原式$=\dfrac{1}{(x+1)^2}$。
解析
【分析】
约分的核心是先确定分子、分母的公因式，再约去公因式化为最简分式。解题步骤为：1. 若分子分母含多项式，先对多项式因式分解；2. 注意互为相反数的因式的符号转换（如$a-1$和$1-a=-(a-1)$）；3. 找出分子分母的公因式，约去公因式即可，约分过程要注意隐含的分母不为0的条件。
【解析】
(1) 先转换互为相反数的因式：$1-a=-(a-1)$，则
原式$=\dfrac{2a(a-1)}{8ab^2·[-(a-1)]}$，公因式为$2a(a-1)$（$a≠0,a≠1,b≠0$），约去公因式得：
原式$=-\dfrac{1}{4b^2}$
(2) 先对分子分母因式分解：分子$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$，分母$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)$，公因式为$a-2b$（$a≠2b,a≠-2b$），约去公因式得：
原式$=\dfrac{(a-2b)^2}{(a-2b)(a+2b)}=\dfrac{a-2b}{a+2b}$
(3) 先对分母提公因式：$a^2b+ab=ab(a+1)$，公因式为$ab$（$a≠0,b≠0,a≠-1$），约去公因式得：
原式$=\dfrac{a^3b^3}{ab(a+1)}=\dfrac{a^2b^2}{a+1}$
(4) 先对分子分母因式分解：分子$x^2-2x+1=(x-1)^2$；分母用平方差公式分解：$(x^2+1)^2-4x^2=(x^2+1-2x)(x^2+1+2x)=(x-1)^2(x+1)^2$，公因式为$(x-1)^2$（$x≠\pm1$），约去公因式得：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{4b^2}$；(2)$\dfrac{a-2b}{a+2b}$；(3)$\dfrac{a^2b^2}{a+1}$；(4)$\dfrac{1}{(x+1)^2}$
【知识点】
分式约分；因式分解；乘法公式应用
【点评】
本题是分式约分的基础训练题，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法，注意互为相反数的因式的符号转换，约分时要彻底约去所有公因式，同时不要忽略分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
约分的核心是先确定分子、分母的公因式，再约去公因式化为最简分式。解题步骤为：1. 若分子分母含多项式，先对多项式因式分解；2. 注意互为相反数的因式的符号转换（如$a-1$和$1-a=-(a-1)$）；3. 找出分子分母的公因式，约去公因式即可，约分过程要注意隐含的分母不为0的条件。
【解析】
(1) 先转换互为相反数的因式：$1-a=-(a-1)$，则
原式$=\dfrac{2a(a-1)}{8ab^2·[-(a-1)]}$，公因式为$2a(a-1)$（$a≠0,a≠1,b≠0$），约去公因式得：
原式$=-\dfrac{1}{4b^2}$
(2) 先对分子分母因式分解：分子$a^2-4ab+4b^2=(a-2b)^2$，分母$a^2-4b^2=(a-2b)(a+2b)$，公因式为$a-2b$（$a≠2b,a≠-2b$），约去公因式得：
原式$=\dfrac{(a-2b)^2}{(a-2b)(a+2b)}=\dfrac{a-2b}{a+2b}$
(3) 先对分母提公因式：$a^2b+ab=ab(a+1)$，公因式为$ab$（$a≠0,b≠0,a≠-1$），约去公因式得：
原式$=\dfrac{a^3b^3}{ab(a+1)}=\dfrac{a^2b^2}{a+1}$
(4) 先对分子分母因式分解：分子$x^2-2x+1=(x-1)^2$；分母用平方差公式分解：$(x^2+1)^2-4x^2=(x^2+1-2x)(x^2+1+2x)=(x-1)^2(x+1)^2$，公因式为$(x-1)^2$（$x≠\pm1$），约去公因式得：
原式$=\dfrac{(x-1)^2}{(x-1)^2(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}$
【答案】
(1)$-\dfrac{1}{4b^2}$；(2)$\dfrac{a-2b}{a+2b}$；(3)$\dfrac{a^2b^2}{a+1}$；(4)$\dfrac{1}{(x+1)^2}$
【知识点】
分式约分；因式分解；乘法公式应用
【点评】
本题是分式约分的基础训练题，解题关键是熟练掌握因式分解的常用方法，注意互为相反数的因式的符号转换，约分时要彻底约去所有公因式，同时不要忽略分母不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.8
2. 计算:
(1)$\frac{2}{x+1}+\frac{2x}{x+1}$;
(2)$\frac{2a-3}{a+1}-\frac{a-2}{a+1}$;
(3)$\frac{5a-3b}{a-b}-\frac{2a}{a-b}$;
(4)$\frac{2x}{x^2-y^2}-\frac{2y}{x^2-y^2}$;
(5)$\frac{5x+3y}{x^2-y^2}-\frac{2x}{x^2-y^2}$;
(6)$\frac{m+n}{m-n}+\frac{2m}{n-m}$.
(1)$\frac{2}{x+1}+\frac{2x}{x+1}$;
(2)$\frac{2a-3}{a+1}-\frac{a-2}{a+1}$;
(3)$\frac{5a-3b}{a-b}-\frac{2a}{a-b}$;
(4)$\frac{2x}{x^2-y^2}-\frac{2y}{x^2-y^2}$;
(5)$\frac{5x+3y}{x^2-y^2}-\frac{2x}{x^2-y^2}$;
(6)$\frac{m+n}{m-n}+\frac{2m}{n-m}$.
答案
(1)原式$=2$；
(2)原式$=\dfrac{a-1}{a+1}$；
(3)原式$=3$；
(4)原式$=\dfrac{2}{x+y}$；
(5)原式$=\dfrac{3}{x-y}$；
(6)原式$=-1$。
(2)原式$=\dfrac{a-1}{a+1}$；
(3)原式$=3$；
(4)原式$=\dfrac{2}{x+y}$；
(5)原式$=\dfrac{3}{x-y}$；
(6)原式$=-1$。
解析
【分析】
这6道题均属于分式加减运算，解题思路如下：①先观察分母是否相同，若分母互为相反数（如第(6)题的$m-n$和$n-m$），先利用分式符号法则统一为同分母；②按照同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，注意分子是多项式时要添加括号避免符号错误；③合并分子中的同类项后，对分子、分母因式分解，约去公因式，将结果化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 同分母分式相加，分母不变，分子相加：
原式$=\frac{2+2x}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}=2$
(2) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式$=\frac{(2a-3)-(a-2)}{a+1}=\frac{2a-3-a+2}{a+1}=\frac{a-1}{a+1}$
(3) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式$=\frac{(5a-3b)-2a}{a-b}=\frac{3a-3b}{a-b}=\frac{3(a-b)}{a-b}=3$
(4) 同分母分式相减，分母不变，分子相减后约分：
原式$=\frac{2x-2y}{x^2-y^2}=\frac{2(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{2}{x+y}$
(5) 同分母分式相减，分母不变，分子相减后约分：
原式$=\frac{(5x+3y)-2x}{x^2-y^2}=\frac{3x+3y}{(x+y)(x-y)}=\frac{3(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{3}{x-y}$
(6) 先统一分母，$n-m=-(m-n)$，再按同分母法则计算：
原式$=\frac{m+n}{m-n}-\frac{2m}{m-n}=\frac{m+n-2m}{m-n}=\frac{n-m}{m-n}=\frac{-(m-n)}{m-n}=-1$
【答案】
(1)$2$；(2)$\dfrac{a-1}{a+1}$；(3)$3$；(4)$\dfrac{2}{x+y}$；(5)$\dfrac{3}{x-y}$；(6)$-1$
【知识点】
同分母分式加减、分式约分、分式符号法则
【点评】
本组是分式加减的基础运算题，核心是熟练掌握同分母分式的加减规则，尤其要注意多项式分子加减时的符号问题，以及互为相反数的分母的变形技巧，计算最后要记得约分得到最简结果，能有效提升运算准确率。
【难度系数】
0.8
这6道题均属于分式加减运算，解题思路如下：①先观察分母是否相同，若分母互为相反数（如第(6)题的$m-n$和$n-m$），先利用分式符号法则统一为同分母；②按照同分母分式加减法法则：分母不变，分子相加减，注意分子是多项式时要添加括号避免符号错误；③合并分子中的同类项后，对分子、分母因式分解，约去公因式，将结果化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 同分母分式相加，分母不变，分子相加：
原式$=\frac{2+2x}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}=2$
(2) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式$=\frac{(2a-3)-(a-2)}{a+1}=\frac{2a-3-a+2}{a+1}=\frac{a-1}{a+1}$
(3) 同分母分式相减，分母不变，分子相减：
原式$=\frac{(5a-3b)-2a}{a-b}=\frac{3a-3b}{a-b}=\frac{3(a-b)}{a-b}=3$
(4) 同分母分式相减，分母不变，分子相减后约分：
原式$=\frac{2x-2y}{x^2-y^2}=\frac{2(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{2}{x+y}$
(5) 同分母分式相减，分母不变，分子相减后约分：
原式$=\frac{(5x+3y)-2x}{x^2-y^2}=\frac{3x+3y}{(x+y)(x-y)}=\frac{3(x+y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{3}{x-y}$
(6) 先统一分母，$n-m=-(m-n)$，再按同分母法则计算：
原式$=\frac{m+n}{m-n}-\frac{2m}{m-n}=\frac{m+n-2m}{m-n}=\frac{n-m}{m-n}=\frac{-(m-n)}{m-n}=-1$
【答案】
(1)$2$；(2)$\dfrac{a-1}{a+1}$；(3)$3$；(4)$\dfrac{2}{x+y}$；(5)$\dfrac{3}{x-y}$；(6)$-1$
【知识点】
同分母分式加减、分式约分、分式符号法则
【点评】
本组是分式加减的基础运算题，核心是熟练掌握同分母分式的加减规则，尤其要注意多项式分子加减时的符号问题，以及互为相反数的分母的变形技巧，计算最后要记得约分得到最简结果，能有效提升运算准确率。
【难度系数】
0.8
