1. 计算$\sqrt{27} × \sqrt{\dfrac{1}{3}}$的结果是()

A.$9$
B.$3$
C.$3\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$

B

根据二次根式的乘法法则，$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），则$\sqrt{27}×\sqrt{\frac{1}{3}}=\sqrt{27×\frac{1}{3}}=\sqrt{9} = 3$。

2. 计算：$\sqrt{8} × \sqrt{\dfrac{1}{2}} - (-\dfrac{1}{2026})^{0} =$.

1

先根据二次根式乘法法则计算 $\sqrt{8}×\sqrt{\frac{1}{2}}$，$\sqrt{8}×\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{8×\frac{1}{2}}=\sqrt{4} = 2$。
再根据零指数幂的运算法则计算 $(-\frac{1}{2026})^0$，因为任何非零数的 $0$ 次幂都等于 $1$，所以 $(-\frac{1}{2026})^0 = 1$。
最后计算原式的值：$\sqrt{8}×\sqrt{\frac{1}{2}}-(-\frac{1}{2026})^0=2 - 1=1$。

3. 计算：
（1）$\sqrt{\dfrac{1}{5}} × \sqrt{125}$；
（2）$\sqrt{48} × \sqrt{12}$；
（3）$\sqrt{2\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{1}{2}}$；
（4）$\sqrt{2x^{3}} · \sqrt{8x}$.

（1）
$\sqrt{\dfrac{1}{5}} × \sqrt{125}$
$=\sqrt{\dfrac{1}{5} × 125}$
$=\sqrt{25}$
$= 5$
（2）
$\sqrt{48} × \sqrt{12}$
$=\sqrt{48 × 12}$
$=\sqrt{576}$
$= 24$
（3）
$\sqrt{2\dfrac{2}{3}} × \sqrt{1\dfrac{1}{2}}$
$=\sqrt{\dfrac{8}{3}} × \sqrt{\dfrac{3}{2}}$
$=\sqrt{\dfrac{8}{3} × \dfrac{3}{2}}$
$=\sqrt{4}$
$= 2$
（4）
$\sqrt{2x^{3}} · \sqrt{8x}$
$=\sqrt{2x^{3} · 8x}$
$=\sqrt{16x^{4}}$
$=4x^{2}$

4. 化简：
（1）$\sqrt{50}$；
（2）$\sqrt{24a}$；
（3）$\sqrt{81ab^{3}}(a ≥ 0,b ≥ 0)$；
（4）$\sqrt{12^{2} + 5^{2}}$.

（1）
$\begin{aligned} \sqrt{50} & = \sqrt{25 × 2} \\ & = \sqrt{25} × \sqrt{2} \\ & = 5\sqrt{2} \end{aligned}$
（2）
$\begin{aligned} \sqrt{24a} & = \sqrt{4 × 6a} \\ & = \sqrt{4} × \sqrt{6a} \\ & = 2\sqrt{6a} \end{aligned}$
（3）
$\begin{aligned} \sqrt{81ab^{3}} & = \sqrt{81} × \sqrt{a} × \sqrt{b^{2} × b} \\ & = 9 × \sqrt{a} × b\sqrt{b} \\ & = 9b\sqrt{ab} \end{aligned}$
（4）
$\begin{aligned} \sqrt{12^{2} + 5^{2}} & = \sqrt{144 + 25} \\ & = \sqrt{169} \\ & = 13 \end{aligned}$

5. 若等式$\sqrt{(x - 1)(x + 2)} = \sqrt{x - 1} · \sqrt{x + 2}$成立，则$x$应满足的条件是.

$x≥ 1$

要使等式$\sqrt{(x - 1)(x + 2)} = \sqrt{x - 1} · \sqrt{x + 2}$成立，根据二次根式乘法法则，需满足$\{\begin{array}{l}x - 1≥ 0\\x + 2≥ 0\end{array} $，解得$x≥ 1$。

6. 若$\sqrt{x - 3}$的值与$y^{2} + \dfrac{1}{4} - y$的值互为相反数，则$\sqrt{x} · \sqrt{4y}$的值为.

$\sqrt{6}$（填具体数值，由于本题为填空题，直接填写$\sqrt{6}$即可）

由于$\sqrt{x - 3}$与$y^{2} + \frac{1}{4} - y$互为相反数，根据相反数的定义，有：
$\sqrt{x - 3} + ( y^{2} + \frac{1}{4} - y ) = 0$
注意到$y^{2} + \frac{1}{4} - y$可以写成完全平方的形式，即：
$y^{2} - y + \frac{1}{4} = ( y - \frac{1}{2} )^{2}$
所以原方程变为：
$\sqrt{x - 3} + ( y - \frac{1}{2} )^{2} = 0$
由于$\sqrt{x - 3}$和$( y - \frac{1}{2} )^{2}$都是非负数，它们的和为0意味着两者都必须为0。
因此，有：
$x - 3 = 0 ⇒ x = 3$
$y - \frac{1}{2} = 0 ⇒ y = \frac{1}{2}$
接下来求$\sqrt{x} · \sqrt{4y}$的值：
$\sqrt{x} · \sqrt{4y} = \sqrt{3} × \sqrt{4 × \frac{1}{2}} = \sqrt{3} × \sqrt{2} = \sqrt{6}$

7. 若某个直角三角形的两条直角边长分别为$\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$，$\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$，则这个直角三角形的斜边长为$\mathrm{cm}$，面积为$\mathrm{cm}^{2}$.

$2\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$

斜边长：$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{10})^2} = \sqrt{2 + 10} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；面积：$\frac{1}{2} × \sqrt{2} × \sqrt{10} = \frac{1}{2} × \sqrt{20} = \frac{1}{2} × 2\sqrt{5} = \sqrt{5}\ \mathrm{cm}^2$

8. (2025·宿豫期末)写出一个含有二次根式的式子，使它与$\sqrt{11}$的积是有理数，则这个式子可以是.(只需要写出一个即可)

$\sqrt{11}$

根据二次根式的乘法规则，要使一个式子与 $\sqrt{11}$ 的积为有理数，可以设该式子为 $\sqrt{a}$，满足 $\sqrt{a} × \sqrt{11} = \sqrt{a × 11}$ 为有理数。
因此 $a × 11$ 必须是一个完全平方数。
取 $a = 11$，则 $\sqrt{11} × \sqrt{11} = 11$，为有理数。
所以该式子可以是 $\sqrt{11}$（或其它 $\sqrt{11}$ 的有理数倍的二次根式，如 $2\sqrt{11}$ 等，但题目只需写出一个）。