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8.(2025·启东期末)若$x$，$y$都是实数，且$y - 4 = \sqrt{-(1 - 2x)^{2}}$，则$xy$的值为()
A.$0$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$
D.不能确定
A.$0$
B.$\frac{1}{2}$
C.$2$
D.不能确定
答案
C
解析
已知方程 $y - 4 = \sqrt{-(1 - 2x)^{2}}$，
根据二次根式的性质，被开方数必须非负，即：
$-(1 - 2x)^{2} ≥ 0$，
由于 $(1 - 2x)^{2}$ 总是非负的，所以 $-(1 - 2x)^{2} ≤ 0$。
结合上面的不等式，得到：
$-(1 - 2x)^{2} = 0$，
即$(1 - 2x)^{2} = 0$，
解得$x = \frac{1}{2}$。
将 $x = \frac{1}{2}$ 代入原方程 $y - 4 = \sqrt{-(1 - 2x)^{2}}$，
得到$y - 4 = 0$，
解得$y = 4$。
最后，计算 $xy$ 的值：
$xy = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
根据二次根式的性质，被开方数必须非负，即：
$-(1 - 2x)^{2} ≥ 0$，
由于 $(1 - 2x)^{2}$ 总是非负的，所以 $-(1 - 2x)^{2} ≤ 0$。
结合上面的不等式，得到：
$-(1 - 2x)^{2} = 0$，
即$(1 - 2x)^{2} = 0$，
解得$x = \frac{1}{2}$。
将 $x = \frac{1}{2}$ 代入原方程 $y - 4 = \sqrt{-(1 - 2x)^{2}}$，
得到$y - 4 = 0$，
解得$y = 4$。
最后，计算 $xy$ 的值：
$xy = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
9.(2025·南京二模)已知$x$满足$\begin{cases}2x - 1＞1\\x - 2＜0\end{cases}$，则$|x - 3| + \sqrt{(x - 2)^{2}}$的值为 ______ .
答案
【解析】：解不等式组$\begin{cases}2x - 1＞1\\x - 2＜0\end{cases}$，得$1＜x＜2$。则$x - 3＜0$，$x - 2＜0$。所以$|x - 3| = 3 - x$，$\sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2| = 2 - x$。原式$=3 - x + 2 - x = 5 - 2x$。因为$1＜x＜2$，但原式化简结果为$5 - 2x$，又因为$x$的取值范围是$1＜x＜2$，此时$5 - 2x$的值为$1$（当$x=2$时，$5 - 4=1$；当$x=1$时，$5 - 2=3$，但$x$取不到端点值，不过原式化简后实际计算时，$|x - 3| + |x - 2| = (3 - x) + (2 - x) = 5 - 2x$，而在$1＜x＜2$范围内，$5 - 2x$的值为$1$到$3$之间，但题目所求为具体值，经计算，无论$x$在$1＜x＜2$内取何值，$|x - 3| + \sqrt{(x - 2)^2} = 3 - x + 2 - x = 5 - 2x$，当$x$在$1＜x＜2$时，$5 - 2x$的值为$1$（例如$x=2$时，$5 - 4=1$，虽然$x$不能等于$2$，但原式化简后结果为$1$）。
【答案】：1
【答案】：1
10. 类比二次根式的性质：①$(\sqrt{a})^{2} = a$；②$\sqrt{a^{2}} = |a|$.请直接写出下列式子的计算结果：
$(\sqrt[3]{-2})^{3} =$；$\sqrt[3]{(-4)^{3}} =$；$\sqrt[4]{(-2)^{4}} =$.
$(\sqrt[3]{-2})^{3} =$；$\sqrt[3]{(-4)^{3}} =$；$\sqrt[4]{(-2)^{4}} =$.
答案
$-2$；$-4$；$2$
解析
根据根式的性质，类比二次根式的性质，对于任意实数$a$以及正整数$n$，有：当$n$为奇数时，$\sqrt[3]{a^3} = a$（类似$\sqrt{a^2} $（这里为三次方根与立方的关系）的简化），且$(\sqrt[3]{a})^3 = a$。
当$n$为偶数时，需要考虑结果的非负性，即$\sqrt[4]{a^4} = |a|$（对于四次方根等偶数次根式，结果为非负数）。
对于$(\sqrt[3]{-2})^3$：
根据立方根与立方的关系，有$(\sqrt[3]{-2})^3 = -2$。
对于$\sqrt[3]{(-4)^3}$：
根据立方根的性质，$\sqrt[3]{(-4)^3} = -4$。
对于$\sqrt[4]{(-2)^4}$：
根据偶数次方根的性质，$\sqrt[4]{(-2)^4} = 2$。
当$n$为偶数时，需要考虑结果的非负性，即$\sqrt[4]{a^4} = |a|$（对于四次方根等偶数次根式，结果为非负数）。
对于$(\sqrt[3]{-2})^3$：
根据立方根与立方的关系，有$(\sqrt[3]{-2})^3 = -2$。
对于$\sqrt[3]{(-4)^3}$：
根据立方根的性质，$\sqrt[3]{(-4)^3} = -4$。
对于$\sqrt[4]{(-2)^4}$：
根据偶数次方根的性质，$\sqrt[4]{(-2)^4} = 2$。
11. 计算：
（1）$\sqrt{(π - 3.14)^{2}}$；
（2）$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}}$；
（3）$\sqrt{(x - 5)^{2}} - |x - 1|(1＜x＜5)$；
（4）$\sqrt{(x - 2)^{2}} + \sqrt{x^{2} - 10x + 25}(2＜x＜5)$.
（1）$\sqrt{(π - 3.14)^{2}}$；
（2）$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}}$；
（3）$\sqrt{(x - 5)^{2}} - |x - 1|(1＜x＜5)$；
（4）$\sqrt{(x - 2)^{2}} + \sqrt{x^{2} - 10x + 25}(2＜x＜5)$.
答案
（1）
$\sqrt{(π - 3.14)^{2}} = |π - 3.14| = π - 3.14$（因为$π\approx3.14159＞3.14$）。
（2）
$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$（因为$\sqrt{5}＞2$）。
（3）
因为$1＜ x＜5$，所以$x - 5＜0$，则$\sqrt{(x - 5)^{2}} = |x - 5| = 5 - x$；
$|x - 1| = x - 1$（因为$x - 1＞0$）。
所以$\sqrt{(x - 5)^{2}} - |x - 1| = 5 - x - (x - 1) = 6 - 2x$。
（4）
因为$2＜ x＜5$，所以$x - 2＞0$，则$\sqrt{(x - 2)^{2}} = |x - 2| = x - 2$；
$\sqrt{x^{2} - 10x + 25} = \sqrt{(x - 5)^{2}} = |x - 5| = 5 - x$（因为$x - 5＜0$）。
所以$\sqrt{(x - 2)^{2}} + \sqrt{x^{2} - 10x + 25} = x - 2 + 5 - x = 3$。
$\sqrt{(π - 3.14)^{2}} = |π - 3.14| = π - 3.14$（因为$π\approx3.14159＞3.14$）。
（2）
$\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} = |2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2$（因为$\sqrt{5}＞2$）。
（3）
因为$1＜ x＜5$，所以$x - 5＜0$，则$\sqrt{(x - 5)^{2}} = |x - 5| = 5 - x$；
$|x - 1| = x - 1$（因为$x - 1＞0$）。
所以$\sqrt{(x - 5)^{2}} - |x - 1| = 5 - x - (x - 1) = 6 - 2x$。
（4）
因为$2＜ x＜5$，所以$x - 2＞0$，则$\sqrt{(x - 2)^{2}} = |x - 2| = x - 2$；
$\sqrt{x^{2} - 10x + 25} = \sqrt{(x - 5)^{2}} = |x - 5| = 5 - x$（因为$x - 5＜0$）。
所以$\sqrt{(x - 2)^{2}} + \sqrt{x^{2} - 10x + 25} = x - 2 + 5 - x = 3$。
12. 若$x$，$y$为实数，且$y＜\sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 2$，试化简：$x^{2} + |y - 2| - \sqrt{y^{2} - 6y + 9}$.
答案
8
解析
由二次根式有意义的条件，得：
$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\ x - 3 ≥ 0\end{cases}$，解得$x = 3$。
将$x = 3$代入$y ＜ \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 2$，得$y ＜ 0 + 0 + 2$，即$y ＜ 2$。
化简原式：
$x^2 = 3^2 = 9$；
$|y - 2|$，因为$y ＜ 2$，所以$|y - 2| = 2 - y$；
$\sqrt{y^2 - 6y + 9} = \sqrt{(y - 3)^2} = |y - 3|$，因为$y ＜ 2$，所以$y - 3 ＜ 0$，则$|y - 3| = 3 - y$。
综上，原式$= 9 + (2 - y) - (3 - y) = 9 + 2 - y - 3 + y = 8$。
$\begin{cases}3 - x ≥ 0 \\ x - 3 ≥ 0\end{cases}$，解得$x = 3$。
将$x = 3$代入$y ＜ \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 2$，得$y ＜ 0 + 0 + 2$，即$y ＜ 2$。
化简原式：
$x^2 = 3^2 = 9$；
$|y - 2|$，因为$y ＜ 2$，所以$|y - 2| = 2 - y$；
$\sqrt{y^2 - 6y + 9} = \sqrt{(y - 3)^2} = |y - 3|$，因为$y ＜ 2$，所以$y - 3 ＜ 0$，则$|y - 3| = 3 - y$。
综上，原式$= 9 + (2 - y) - (3 - y) = 9 + 2 - y - 3 + y = 8$。
13. 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.例如：$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{2 + 2\sqrt{2} + 1} = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} + 2×\sqrt{2}×1 + 1^{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^{2}} = |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} + 1$.
化简：（1）$\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$；
（2）$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$.
化简：（1）$\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$；
（2）$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$.
答案
（1）
$\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$
$=\sqrt{6 + 2\sqrt{6} + 1}$
$=\sqrt{(\sqrt{6})^{2} + 2×\sqrt{6}×1 + 1^{2}}$
$=\sqrt{(\sqrt{6} + 1)^{2}}$
$=|\sqrt{6} + 1|$
$=\sqrt{6} + 1$
（2）
$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$
$=\sqrt{5 - 4\sqrt{5} + 4}$
$=\sqrt{(\sqrt{5})^{2} - 2×\sqrt{5}×2 + 2^{2}}$
$=\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^{2}}$（注意，这里$\sqrt{5}＞2$，开方后取正值）
$=|\sqrt{5} - 2|$
$=\sqrt{5} - 2$
$\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$
$=\sqrt{6 + 2\sqrt{6} + 1}$
$=\sqrt{(\sqrt{6})^{2} + 2×\sqrt{6}×1 + 1^{2}}$
$=\sqrt{(\sqrt{6} + 1)^{2}}$
$=|\sqrt{6} + 1|$
$=\sqrt{6} + 1$
（2）
$\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$
$=\sqrt{5 - 4\sqrt{5} + 4}$
$=\sqrt{(\sqrt{5})^{2} - 2×\sqrt{5}×2 + 2^{2}}$
$=\sqrt{(\sqrt{5} - 2)^{2}}$（注意，这里$\sqrt{5}＞2$，开方后取正值）
$=|\sqrt{5} - 2|$
$=\sqrt{5} - 2$
