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例1 填空：
(1)$x^2 -4x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)用配方法解方程$x^2 -4x +2=0$，则$x^2 -4x +2=0$可变形为$(x-2)^2 = \_\_\_\_\_\_$。
【思路导析】运用完全平方公式$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$进行对照填写。
【请你解答】(1)______；(2)______。
(1)$x^2 -4x + \_\_\_\_\_\_ = (x - \_\_\_\_\_\_)^2$；
(2)用配方法解方程$x^2 -4x +2=0$，则$x^2 -4x +2=0$可变形为$(x-2)^2 = \_\_\_\_\_\_$。
【思路导析】运用完全平方公式$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$进行对照填写。
【请你解答】(1)______；(2)______。
答案
解：
(1) 根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对比式子可得$2b=4$，解得$b=2$，$b^2=4$，因此两个空依次填$4$、$2$。
(2) 将方程$x^2-4x+2=0$移项，得$x^2-4x=-2$，两边同时加上一次项系数一半的平方$4$，得$x^2-4x+4=-2+4$，即$(x-2)^2=2$，因此空处填$2$。
(1) $\boldsymbol{4,2}$；(2) $\boldsymbol{2}$
(1) 根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，对比式子可得$2b=4$，解得$b=2$，$b^2=4$，因此两个空依次填$4$、$2$。
(2) 将方程$x^2-4x+2=0$移项，得$x^2-4x=-2$，两边同时加上一次项系数一半的平方$4$，得$x^2-4x+4=-2+4$，即$(x-2)^2=2$，因此空处填$2$。
(1) $\boldsymbol{4,2}$；(2) $\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用及配方法解一元二次方程的基本步骤。解题时先回忆完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对于(1)，直接对照公式，找到一次项系数，算出其一半的平方即为需要补充的常数项，括号内的数就是一次项系数的一半；对于(2)，先将方程中的常数项移到等号右侧，再给左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，计算右侧的结果即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，将题干式子$x^2-4x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$与公式对照，可得$a=x$，$2ab=4x$，代入$a=x$得$2b=4$，解得$b=2$，因此$b^2=2^2=4$，所以两个空依次填4、2。
(2) 对方程$x^2-4x+2=0$进行配方：先移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2-4x=-2$；再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为-4，一半是-2，平方为4，因此加4得：$x^2-4x+4=-2+4$，左侧整理为完全平方式得$(x-2)^2=2$，所以空处填2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4,2}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点要求掌握完全平方公式的结构特征和配方法的基本操作步骤，熟练掌握该知识点是后续学习一元二次方程解法、二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.85
本题考查完全平方公式的应用及配方法解一元二次方程的基本步骤。解题时先回忆完全平方公式的结构特征：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对于(1)，直接对照公式，找到一次项系数，算出其一半的平方即为需要补充的常数项，括号内的数就是一次项系数的一半；对于(2)，先将方程中的常数项移到等号右侧，再给左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，计算右侧的结果即可。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，将题干式子$x^2-4x+\_\_\_\_\_\_=(x-\_\_\_\_\_\_)^2$与公式对照，可得$a=x$，$2ab=4x$，代入$a=x$得$2b=4$，解得$b=2$，因此$b^2=2^2=4$，所以两个空依次填4、2。
(2) 对方程$x^2-4x+2=0$进行配方：先移项，将常数项移到等号右侧，得$x^2-4x=-2$；再给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为-4，一半是-2，平方为4，因此加4得：$x^2-4x+4=-2+4$，左侧整理为完全平方式得$(x-2)^2=2$，所以空处填2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4,2}$；(2) $\boldsymbol{2}$
【知识点】
完全平方公式；配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点要求掌握完全平方公式的结构特征和配方法的基本操作步骤，熟练掌握该知识点是后续学习一元二次方程解法、二次函数最值等内容的重要基础。
【难度系数】
0.85
例2 用配方法解下列方程：
(1)$x^2 -4x +3=0$； (2)$x^2 +3x=1$。
【思路导析】将方程左边配成完全平方式，再直接开平方。
【请你解答】
知识点二 形如$ax^2 +bx +c=0$的一元二次方程的配方
(1)$x^2 -4x +3=0$； (2)$x^2 +3x=1$。
【思路导析】将方程左边配成完全平方式，再直接开平方。
【请你解答】
知识点二 形如$ax^2 +bx +c=0$的一元二次方程的配方
答案
解：
(1) 移项，得：
$x^2 - 4x = -3$
配方，在方程两边同时加上$(-\dfrac{4}{2})^2 = 4$，得：
$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$
即$(x-2)^2 = 1$
两边直接开平方，得：
$x - 2 = \pm1$
所以$x - 2 = 1$，或$x - 2 = -1$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 1$
(2) 配方，在方程两边同时加上$(\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$，得：
$x^2 + 3x + \dfrac{9}{4} = 1 + \dfrac{9}{4}$
即$(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
两边直接开平方，得：
$x + \dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
所以$x = -\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}$
解得$x_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{13}}{2}$
(1) 移项，得：
$x^2 - 4x = -3$
配方，在方程两边同时加上$(-\dfrac{4}{2})^2 = 4$，得：
$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$
即$(x-2)^2 = 1$
两边直接开平方，得：
$x - 2 = \pm1$
所以$x - 2 = 1$，或$x - 2 = -1$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 1$
(2) 配方，在方程两边同时加上$(\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$，得：
$x^2 + 3x + \dfrac{9}{4} = 1 + \dfrac{9}{4}$
即$(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
两边直接开平方，得：
$x + \dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
所以$x = -\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}$
解得$x_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{13}}{2}$
解析
【分析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，可遵循以下思路：①先将常数项移到方程的右侧，使左侧仅含二次项和一次项；②给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；③若右侧常数为非负数，直接开平方即可求出方程的解。本题两个方程二次项系数均为1，可直接按上述步骤求解：(1)先移项将常数项3移到等号右侧，再配方计算；(2)常数项已经在右侧，直接配方即可。
【解析】
(1) 移项，得：
$x^2 - 4x = -3$
配方，在方程两边同时加上$(-\dfrac{4}{2})^2 = 4$，得：
$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$
即$(x-2)^2 = 1$
两边直接开平方，得：
$x - 2 = \pm1$
所以$x - 2 = 1$，或$x - 2 = -1$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 1$
(2) 配方，在方程两边同时加上$(\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$，得：
$x^2 + 3x + \dfrac{9}{4} = 1 + \dfrac{9}{4}$
即$(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
两边直接开平方，得：
$x + \dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
所以$x = -\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}$
解得$x_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{13}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=1$；(2) $x_1=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，解题核心是掌握配方的操作规则：当二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方，注意不要漏加等号右侧的常数，熟练掌握该方法可为后续学习公式法、解二次函数等内容打下基础。
【难度系数】
0.8
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，可遵循以下思路：①先将常数项移到方程的右侧，使左侧仅含二次项和一次项；②给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数；③若右侧常数为非负数，直接开平方即可求出方程的解。本题两个方程二次项系数均为1，可直接按上述步骤求解：(1)先移项将常数项3移到等号右侧，再配方计算；(2)常数项已经在右侧，直接配方即可。
【解析】
(1) 移项，得：
$x^2 - 4x = -3$
配方，在方程两边同时加上$(-\dfrac{4}{2})^2 = 4$，得：
$x^2 - 4x + 4 = -3 + 4$
即$(x-2)^2 = 1$
两边直接开平方，得：
$x - 2 = \pm1$
所以$x - 2 = 1$，或$x - 2 = -1$
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 1$
(2) 配方，在方程两边同时加上$(\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$，得：
$x^2 + 3x + \dfrac{9}{4} = 1 + \dfrac{9}{4}$
即$(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{13}{4}$
两边直接开平方，得：
$x + \dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{13}}{2}$
所以$x = -\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{13}}{2}$
解得$x_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{13}}{2}$，$x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{13}}{2}$
【答案】
(1) $x_1=3$，$x_2=1$；(2) $x_1=\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式；直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解方程的基础训练题，解题核心是掌握配方的操作规则：当二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数一半的平方，注意不要漏加等号右侧的常数，熟练掌握该方法可为后续学习公式法、解二次函数等内容打下基础。
【难度系数】
0.8
例3 用配方法解下列方程：
(1)$3x^2 -6x -2=0$；
(2)$2x^2 - \sqrt{2}x -1=0$。
【思路导析】将方程的两边同时除以二次项的系数，将二次项的系数化为1，再配方。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 求多项式的最小值
(1)$3x^2 -6x -2=0$；
(2)$2x^2 - \sqrt{2}x -1=0$。
【思路导析】将方程的两边同时除以二次项的系数，将二次项的系数化为1，再配方。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
典例探究 求多项式的最小值
答案
解：
(1) $3x^2 -6x -2=0$
方程两边同时除以3，得：
$x^2 - 2x - \frac{2}{3} = 0$
移项，得：
$x^2 - 2x = \frac{2}{3}$
配方，两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{2}{3} + 1$
即$(x-1)^2 = \frac{5}{3}$
开平方，得：
$x-1 = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$
解得：
$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{15}}{3},\quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$
(2) $2x^2 - \sqrt{2}x -1=0$
方程两边同时除以2，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
移项，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = \frac{1}{2}$
配方，两边同时加$\frac{1}{8}$：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$
即$(x - \frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{5}{8}$
开平方，得：
$x - \frac{\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
解得：
$x_1 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{4},\quad x_2 = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$
(1) $3x^2 -6x -2=0$
方程两边同时除以3，得：
$x^2 - 2x - \frac{2}{3} = 0$
移项，得：
$x^2 - 2x = \frac{2}{3}$
配方，两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{2}{3} + 1$
即$(x-1)^2 = \frac{5}{3}$
开平方，得：
$x-1 = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$
解得：
$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{15}}{3},\quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$
(2) $2x^2 - \sqrt{2}x -1=0$
方程两边同时除以2，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
移项，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = \frac{1}{2}$
配方，两边同时加$\frac{1}{8}$：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$
即$(x - \frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{5}{8}$
开平方，得：
$x - \frac{\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
解得：
$x_1 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{4},\quad x_2 = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$
解析
【分析】
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，遵循以下解题思路：第一步，先给方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1，为后续配方做准备；第二步，移项，把常数项移到方程右侧，使左侧仅保留二次项和一次项；第三步，配方，给方程左右两边同时添加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数项；第四步，利用直接开平方法求出方程的根，计算时注意分数、根式的运算规则，避免化简错误。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 -6x -2=0$
方程两边同时除以3，得：
$x^2 - 2x - \frac{2}{3} = 0$
移项，得：
$x^2 - 2x = \frac{2}{3}$
配方，两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{2}{3} + 1$
即$(x-1)^2 = \frac{5}{3}$
开平方，得：
$x-1 = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$
解得：
$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{15}}{3},\quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$
(2) 解方程$2x^2 - \sqrt{2}x -1=0$
方程两边同时除以2，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
移项，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = \frac{1}{2}$
配方，两边同时加$\frac{1}{8}$：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$
即$(x - \frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{5}{8}$
开平方，得：
$x - \frac{\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
解得：
$x_1 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{4},\quad x_2 = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$
【答案】
(1) $x_1 = 1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$
(2) $x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{4},x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题属于配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作步骤，易错点是配方时容易漏给方程右边加常数，以及二次根式化简出错，熟练掌握步骤后即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程时，遵循以下解题思路：第一步，先给方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1，为后续配方做准备；第二步，移项，把常数项移到方程右侧，使左侧仅保留二次项和一次项；第三步，配方，给方程左右两边同时添加一次项系数一半的平方，将左侧凑成完全平方式，右侧合并为常数项；第四步，利用直接开平方法求出方程的根，计算时注意分数、根式的运算规则，避免化简错误。
【解析】
(1) 解方程$3x^2 -6x -2=0$
方程两边同时除以3，得：
$x^2 - 2x - \frac{2}{3} = 0$
移项，得：
$x^2 - 2x = \frac{2}{3}$
配方，两边同时加1：
$x^2 - 2x + 1 = \frac{2}{3} + 1$
即$(x-1)^2 = \frac{5}{3}$
开平方，得：
$x-1 = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$
解得：
$x_1 = 1 + \frac{\sqrt{15}}{3},\quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$
(2) 解方程$2x^2 - \sqrt{2}x -1=0$
方程两边同时除以2，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x - \frac{1}{2} = 0$
移项，得：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x = \frac{1}{2}$
配方，两边同时加$\frac{1}{8}$：
$x^2 - \frac{\sqrt{2}}{2}x + \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8}$
即$(x - \frac{\sqrt{2}}{4})^2 = \frac{5}{8}$
开平方，得：
$x - \frac{\sqrt{2}}{4} = \pm \frac{\sqrt{10}}{4}$
解得：
$x_1 = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{4},\quad x_2 = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{10}}{4}$
【答案】
(1) $x_1 = 1+\frac{\sqrt{15}}{3},x_2=1-\frac{\sqrt{15}}{3}$
(2) $x_1=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{10}}{4},x_2=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{10}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，二次根式化简
【点评】
本题属于配方法解方程的基础训练题，重点考查配方法的标准操作步骤，易错点是配方时容易漏给方程右边加常数，以及二次根式化简出错，熟练掌握步骤后即可轻松求解。
【难度系数】
0.7
例4 当$x$，$y$分别为何值时，代数式$x^2+2xy+2y^2-4y+6$有最小值？请求出最小值。
【探究点拨】运用配方法把原式化成$(x+y)^2+(y-a)^2+m$的形式。
【规范解答】
$x^2+2xy+2y^2-4y+6$
$=x^2+2xy+y^2+y^2-4y+4+2$
$=(x+y)^2+(y-2)^2+2.$
所以当$x+y=0$，且$y-2=0$时，原式有最小值2，即当$x=-2$，$y=2$时，$x^2+2xy+2y^2-4y+6$有最小值，最小值为2。
【探究点拨】运用配方法把原式化成$(x+y)^2+(y-a)^2+m$的形式。
【规范解答】
$x^2+2xy+2y^2-4y+6$
$=x^2+2xy+y^2+y^2-4y+4+2$
$=(x+y)^2+(y-2)^2+2.$
所以当$x+y=0$，且$y-2=0$时，原式有最小值2，即当$x=-2$，$y=2$时，$x^2+2xy+2y^2-4y+6$有最小值，最小值为2。
答案
解：
对代数式进行配方：
$\begin{aligned}x^2+2xy+2y^2-4y+6&=x^2+2xy+y^2+y^2-4y+4+2\\&=(x+y)^2+(y-2)^2+2\end{aligned}$
$\because (x+y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
$\therefore$ 当$x+y=0$且$y-2=0$时，原式取得最小值。
由$y-2=0$得$y=2$，将$y=2$代入$x+y=0$得$x=-2$，
此时原式的最小值为$0+0+2=2$。
即当$x=-2$，$y=2$时，代数式$x^2+2xy+2y^2-4y+6$有最小值，最小值为2。
对代数式进行配方：
$\begin{aligned}x^2+2xy+2y^2-4y+6&=x^2+2xy+y^2+y^2-4y+4+2\\&=(x+y)^2+(y-2)^2+2\end{aligned}$
$\because (x+y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
$\therefore$ 当$x+y=0$且$y-2=0$时，原式取得最小值。
由$y-2=0$得$y=2$，将$y=2$代入$x+y=0$得$x=-2$，
此时原式的最小值为$0+0+2=2$。
即当$x=-2$，$y=2$时，代数式$x^2+2xy+2y^2-4y+6$有最小值，最小值为2。
解析
【分析】
求这类二次代数式的最小值，核心是利用平方的非负性（任意实数的平方大于等于0），通过配方法将原式转化为“几个完全平方式+常数”的形式，当所有完全平方式都取0时，代数式的值最小，即为常数项。首先观察到原式中$x^2+2xy$可与$y^2$配成完全平方，因此把$2y^2$拆为$y^2+y^2$，再对剩余的$y^2-4y$配常数项凑完全平方，最后根据平方为0的条件求解$x$、$y$的值即可。
【解析】
对代数式进行配方：
$\begin{aligned}x^2+2xy+2y^2-4y+6&=x^2+2xy+y^2+y^2-4y+4+2\\&=(x+y)^2+(y-2)^2+2\end{aligned}$
$\because (x+y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
$\therefore$ 当$x+y=0$且$y-2=0$时，原式取得最小值。
由$y-2=0$得$y=2$，将$y=2$代入$x+y=0$得$x=-2$，
此时原式的最小值为$0+0+2=2$。
【答案】
当$x=-2$，$y=2$时，代数式$x^2+2xy+2y^2-4y+6$有最小值，最小值为2。
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是配方法求代数式最值的典型题型，解题关键是合理拆分项，将原式转化为多个完全平方式与常数的和的形式，再结合平方的非负性即可求出最值及对应未知数的值，掌握拆项技巧是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
求这类二次代数式的最小值，核心是利用平方的非负性（任意实数的平方大于等于0），通过配方法将原式转化为“几个完全平方式+常数”的形式，当所有完全平方式都取0时，代数式的值最小，即为常数项。首先观察到原式中$x^2+2xy$可与$y^2$配成完全平方，因此把$2y^2$拆为$y^2+y^2$，再对剩余的$y^2-4y$配常数项凑完全平方，最后根据平方为0的条件求解$x$、$y$的值即可。
【解析】
对代数式进行配方：
$\begin{aligned}x^2+2xy+2y^2-4y+6&=x^2+2xy+y^2+y^2-4y+4+2\\&=(x+y)^2+(y-2)^2+2\end{aligned}$
$\because (x+y)^2≥0$，$(y-2)^2≥0$，
$\therefore$ 当$x+y=0$且$y-2=0$时，原式取得最小值。
由$y-2=0$得$y=2$，将$y=2$代入$x+y=0$得$x=-2$，
此时原式的最小值为$0+0+2=2$。
【答案】
当$x=-2$，$y=2$时，代数式$x^2+2xy+2y^2-4y+6$有最小值，最小值为2。
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，平方的非负性
【点评】
本题是配方法求代数式最值的典型题型，解题关键是合理拆分项，将原式转化为多个完全平方式与常数的和的形式，再结合平方的非负性即可求出最值及对应未知数的值，掌握拆项技巧是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
