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【例1】[问题情境]“制作纸魔方”是人教版数学教材七年级上册的数学活动.某数学兴趣小组在学习了这一课后,开展了“长方体纸盒的制作”数学活动.
[问题解决](1)下列图形中,是无盖正方体的表面展开图的是(填序号);
(2)数学兴趣小组利用边长为a cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子[图(1)为无盖的长方体纸盒,图(2)为有盖的长方体纸盒].
①按图(1)方式制作一个无盖的长方体盒子的方法:先在纸板四个角上剪去四个边长均为b cm的小正方形,再沿虚线折合起来.则长方体纸盒的底面周长为cm.
②按图(2)方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法:先在纸板四个角上剪去两个边长均为b cm的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折合起来.如果a=30 cm,b=5 cm,那么该长方体纸盒的体积为cm³.
[问题进阶]
(3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm,3 cm,它缺一个长为6 cm,宽为4 cm的长方形底面,将它的表面沿某些棱剪开,展开成一个平面图形,则该长方体表面展开图的最大外围周长为;通过比较长方体表面展开图中取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形,你发现了什么规律?写出你发现的规律.
[问题解决](1)下列图形中,是无盖正方体的表面展开图的是(填序号);
(2)数学兴趣小组利用边长为a cm的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子[图(1)为无盖的长方体纸盒,图(2)为有盖的长方体纸盒].
①按图(1)方式制作一个无盖的长方体盒子的方法:先在纸板四个角上剪去四个边长均为b cm的小正方形,再沿虚线折合起来.则长方体纸盒的底面周长为cm.
②按图(2)方式制作一个有盖的长方体纸盒的方法:先在纸板四个角上剪去两个边长均为b cm的小正方形和两个同样大小的小长方形,再沿虚线折合起来.如果a=30 cm,b=5 cm,那么该长方体纸盒的体积为cm³.
[问题进阶]
(3)若一个无盖长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm,3 cm,它缺一个长为6 cm,宽为4 cm的长方形底面,将它的表面沿某些棱剪开,展开成一个平面图形,则该长方体表面展开图的最大外围周长为;通过比较长方体表面展开图中取得最大外围周长和最小外围周长的两个图形,你发现了什么规律?写出你发现的规律.
答案
解：
(1) ①③④
(2) ① 剪去四个角边长为$b\ \mathrm{cm}$的小正方形后，长方体纸盒底面的边长为$(a-2b)\ \mathrm{cm}$，因此底面周长为$4(a-2b)=(4a-8b)\ \mathrm{cm}$。
② 当$a=30\ \mathrm{cm}$，$b=5\ \mathrm{cm}$时，长方体纸盒的高为$5\ \mathrm{cm}$，底面长为$20\ \mathrm{cm}$，底面宽为$10\ \mathrm{cm}$，因此体积为$20×10×5=1000\ \mathrm{cm}^3$。
(3) $70\ \mathrm{cm}$
规律：要使无盖长方体表面展开图的外围周长最大，需将所有长度最短的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边；要使外围周长最小，需将所有长度最长的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边。
(1) ①③④
(2) ① 剪去四个角边长为$b\ \mathrm{cm}$的小正方形后，长方体纸盒底面的边长为$(a-2b)\ \mathrm{cm}$，因此底面周长为$4(a-2b)=(4a-8b)\ \mathrm{cm}$。
② 当$a=30\ \mathrm{cm}$，$b=5\ \mathrm{cm}$时，长方体纸盒的高为$5\ \mathrm{cm}$，底面长为$20\ \mathrm{cm}$，底面宽为$10\ \mathrm{cm}$，因此体积为$20×10×5=1000\ \mathrm{cm}^3$。
(3) $70\ \mathrm{cm}$
规律：要使无盖长方体表面展开图的外围周长最大，需将所有长度最短的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边；要使外围周长最小，需将所有长度最长的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边。
解析
【分析】
(1) 解决第一问需明确无盖正方体表面展开图由5个完全相同的正方形组成，且折叠后无面重叠、可顺利围成无盖正方体，逐一排查图形，排除无法围成的选项即可得到答案。
(2) ①第二问第①小问，先确定剪去小正方形后，长方体底面为正方形，边长等于原正方形边长减去2倍小正方形的边长，再代入正方形周长公式计算即可。②第②小问，先结合裁剪方式确定长方体的长、宽、高：高为小正方形边长b，长为原边长a减去2倍b，宽为(a-2b)的一半，再代入a、b的取值，根据长方体体积公式计算即可。
(3) 第三问需先明确展开图的外围周长由剪开的棱和原表面的边共同组成，要让外围周长最大，需尽可能让最短的棱被剪开成为外围边，计算得出最大周长后，对比最大、最小周长对应的剪开棱的特征，即可总结出规律。
【解析】
(1) 无盖正方体的展开图共5个正方形，②折叠后会出现面重叠，无法围成无盖正方体，①③④均可正常围成，故答案为①③④。
(2) ①剪去边长为b的小正方形后，长方体底面边长为$(a-2b)\ \mathrm{cm}$，底面为正方形，因此底面周长为$4(a-2b)=(4a-8b)\ \mathrm{cm}$。
②由裁剪方式可知，长方体高为$b\ \mathrm{cm}$，长为$(a-2b)\ \mathrm{cm}$，宽为$\frac{a-2b}{2}\ \mathrm{cm}$。代入$a=30\ \mathrm{cm}$、$b=5\ \mathrm{cm}$，得长为$30-2×5=20\ \mathrm{cm}$，宽为$\frac{30-2×5}{2}=10\ \mathrm{cm}$，高为$5\ \mathrm{cm}$，因此体积为$20×10×5=1000\ \mathrm{cm}^3$。
(3) 该无盖长方体最短棱为高3cm，将所有最短棱剪开可得到最大外围周长，计算得最大外围周长为$70\ \mathrm{cm}$。规律：要使无盖长方体表面展开图的外围周长最大，需将所有长度最短的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边；要使外围周长最小，需将所有长度最长的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边。
【答案】
(1) ①③④
(2) ① $4a-8b$
② $1000$
(3) $70\ \mathrm{cm}$；规律：要使无盖长方体表面展开图的外围周长最大，需将所有长度最短的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边；要使外围周长最小，需将所有长度最长的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边。
【知识点】
1. 几何体的展开与折叠
2. 列代数式及求值
3. 长方体周长与体积计算
【点评】
本题结合手工操作的实践情境考查立体图形与平面展开图的关联，既需要具备空间想象能力判断展开图的合理性，也需要结合裁剪逻辑准确计算几何体的边长，同时引导学生在操作中总结几何规律，兼顾了知识性与实践性。
【难度系数】
0.6
(1) 解决第一问需明确无盖正方体表面展开图由5个完全相同的正方形组成，且折叠后无面重叠、可顺利围成无盖正方体，逐一排查图形，排除无法围成的选项即可得到答案。
(2) ①第二问第①小问，先确定剪去小正方形后，长方体底面为正方形，边长等于原正方形边长减去2倍小正方形的边长，再代入正方形周长公式计算即可。②第②小问，先结合裁剪方式确定长方体的长、宽、高：高为小正方形边长b，长为原边长a减去2倍b，宽为(a-2b)的一半，再代入a、b的取值，根据长方体体积公式计算即可。
(3) 第三问需先明确展开图的外围周长由剪开的棱和原表面的边共同组成，要让外围周长最大，需尽可能让最短的棱被剪开成为外围边，计算得出最大周长后，对比最大、最小周长对应的剪开棱的特征，即可总结出规律。
【解析】
(1) 无盖正方体的展开图共5个正方形，②折叠后会出现面重叠，无法围成无盖正方体，①③④均可正常围成，故答案为①③④。
(2) ①剪去边长为b的小正方形后，长方体底面边长为$(a-2b)\ \mathrm{cm}$，底面为正方形，因此底面周长为$4(a-2b)=(4a-8b)\ \mathrm{cm}$。
②由裁剪方式可知，长方体高为$b\ \mathrm{cm}$，长为$(a-2b)\ \mathrm{cm}$，宽为$\frac{a-2b}{2}\ \mathrm{cm}$。代入$a=30\ \mathrm{cm}$、$b=5\ \mathrm{cm}$，得长为$30-2×5=20\ \mathrm{cm}$，宽为$\frac{30-2×5}{2}=10\ \mathrm{cm}$，高为$5\ \mathrm{cm}$，因此体积为$20×10×5=1000\ \mathrm{cm}^3$。
(3) 该无盖长方体最短棱为高3cm，将所有最短棱剪开可得到最大外围周长，计算得最大外围周长为$70\ \mathrm{cm}$。规律：要使无盖长方体表面展开图的外围周长最大，需将所有长度最短的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边；要使外围周长最小，需将所有长度最长的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边。
【答案】
(1) ①③④
(2) ① $4a-8b$
② $1000$
(3) $70\ \mathrm{cm}$；规律：要使无盖长方体表面展开图的外围周长最大，需将所有长度最短的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边；要使外围周长最小，需将所有长度最长的棱剪开，使这些棱都成为展开图的外围边。
【知识点】
1. 几何体的展开与折叠
2. 列代数式及求值
3. 长方体周长与体积计算
【点评】
本题结合手工操作的实践情境考查立体图形与平面展开图的关联，既需要具备空间想象能力判断展开图的合理性，也需要结合裁剪逻辑准确计算几何体的边长，同时引导学生在操作中总结几何规律，兼顾了知识性与实践性。
【难度系数】
0.6
【例2】利用圆规、量角器、直尺，可以画出一个标准的五角星，步骤如图(1)所示：
①任意画一个圆；
②以圆心为顶点，连续画 $72°$（即 $360° ÷ 5$）的角，与圆相交于五点；
③连接每隔一点的两个点，就得到一个五角星.请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出如图(2)所示的图形(要求：保留画图痕迹，不写画图过程).
①任意画一个圆；
②以圆心为顶点，连续画 $72°$（即 $360° ÷ 5$）的角，与圆相交于五点；
③连接每隔一点的两个点，就得到一个五角星.请你仿照上面的方法，利用圆规、量角器、直尺画出如图(2)所示的图形(要求：保留画图痕迹，不写画图过程).
答案
解：
1. 用圆规任意画出一个圆；
2. 计算得$360°÷6=60°$，以该圆的圆心为顶点，利用量角器连续画出6个$60°$的角，各角的边与圆依次相交，得到圆上的6个等分点；
3. 用直尺顺次连接第1、3、5个点，得到一个正三角形，再顺次连接第2、4、6个点，得到另一个方向的正三角形，两个正三角形相交即可得到图(2)所示的六角星，保留所作的圆、圆心到6个分点的连线等画图痕迹。
1. 用圆规任意画出一个圆；
2. 计算得$360°÷6=60°$，以该圆的圆心为顶点，利用量角器连续画出6个$60°$的角，各角的边与圆依次相交，得到圆上的6个等分点；
3. 用直尺顺次连接第1、3、5个点，得到一个正三角形，再顺次连接第2、4、6个点，得到另一个方向的正三角形，两个正三角形相交即可得到图(2)所示的六角星，保留所作的圆、圆心到6个分点的连线等画图痕迹。
解析
【分析】
我们可以类比五角星的画法思路来绘制六角星：五角星的绘制核心是先将圆5等分（对应每份圆心角为$360°÷5=72°$），再间隔连接等分点。观察目标六角星，它由两个交叉的正三角形组成，因此需要先将圆6等分，步骤如下：①先确定圆周等分份数为6份；②计算每份对应的圆心角：$360°÷6=60°$；③按规则间隔连接等分点，得到两个交叉的正三角形即可。
【解析】
1. 用圆规任意画一个圆，确定圆心；
2. 计算单份圆心角大小：$360°÷6=60°$，以圆心为顶点，用量角器依次画出6个$60°$的圆心角，角的边与圆相交得到圆上的6个等分点；
3. 用直尺间隔一个点连接分点：先连接第1、3、5个分点得到一个正三角形，再连接第2、4、6个分点得到另一个方向的正三角形，两个正三角形交叉后即为所求图形，保留圆、圆心到分点的连线等作图痕迹即可。
【答案】
1. 用圆规任意画出一个圆；
2. 计算得$360°÷6=60°$，以该圆的圆心为顶点，利用量角器连续画出6个$60°$的角，各角的边与圆依次相交，得到圆上的6个等分点；
3. 用直尺顺次连接第1、3、5个点，得到一个正三角形，再顺次连接第2、4、6个点，得到另一个方向的正三角形，两个正三角形相交即可得到图(2)所示的六角星，保留所作的圆、圆心到6个分点的连线等画图痕迹。
【知识点】
圆心角计算，圆周等分作图，尺规作图
【点评】
本题是类比类操作题，需要先读懂五角星绘制的内在逻辑，再将方法迁移到六角星的绘制中，重点考查圆心角与圆周等分的关系应用，以及动手操作能力，掌握类比方法就能轻松完成。
【难度系数】
0.7
我们可以类比五角星的画法思路来绘制六角星：五角星的绘制核心是先将圆5等分（对应每份圆心角为$360°÷5=72°$），再间隔连接等分点。观察目标六角星，它由两个交叉的正三角形组成，因此需要先将圆6等分，步骤如下：①先确定圆周等分份数为6份；②计算每份对应的圆心角：$360°÷6=60°$；③按规则间隔连接等分点，得到两个交叉的正三角形即可。
【解析】
1. 用圆规任意画一个圆，确定圆心；
2. 计算单份圆心角大小：$360°÷6=60°$，以圆心为顶点，用量角器依次画出6个$60°$的圆心角，角的边与圆相交得到圆上的6个等分点；
3. 用直尺间隔一个点连接分点：先连接第1、3、5个分点得到一个正三角形，再连接第2、4、6个分点得到另一个方向的正三角形，两个正三角形交叉后即为所求图形，保留圆、圆心到分点的连线等作图痕迹即可。
【答案】
1. 用圆规任意画出一个圆；
2. 计算得$360°÷6=60°$，以该圆的圆心为顶点，利用量角器连续画出6个$60°$的角，各角的边与圆依次相交，得到圆上的6个等分点；
3. 用直尺顺次连接第1、3、5个点，得到一个正三角形，再顺次连接第2、4、6个点，得到另一个方向的正三角形，两个正三角形相交即可得到图(2)所示的六角星，保留所作的圆、圆心到6个分点的连线等画图痕迹。
【知识点】
圆心角计算，圆周等分作图，尺规作图
【点评】
本题是类比类操作题，需要先读懂五角星绘制的内在逻辑，再将方法迁移到六角星的绘制中，重点考查圆心角与圆周等分的关系应用，以及动手操作能力，掌握类比方法就能轻松完成。
【难度系数】
0.7
