8.如图，把书的一角斜折过去，使点A落在点E处，BC为折痕，BD是$∠ EBM$的平分线，则$∠ CBD$等于.

$\boldsymbol{90°}$

【分析】
解题时首先结合折叠的性质，可知折痕BC将∠ABE分成两个相等的角，即∠ABC=∠EBC；再根据角平分线的定义，BD平分∠EBM可得∠EBD=∠MBD；观察图形可知∠ABE与∠EBM组成平角，和为180°，将∠CBD转化为∠EBC+∠EBD，整体代入即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：根据折叠的性质可得：$∠ ABC = ∠ EBC = \frac{1}{2}∠ ABE$，
∵BD是$∠ EBM$的平分线，
∴$∠ EBD = ∠ MBD = \frac{1}{2}∠ EBM$，
由平角的定义可知：$∠ ABE + ∠ EBM = ∠ ABM = 180°$，
∴$∠ CBD = ∠ EBC + ∠ EBD$
$=\frac{1}{2}∠ ABE + \frac{1}{2}∠ EBM$
$=\frac{1}{2}(∠ ABE + ∠ EBM)$
$=\frac{1}{2} × 180° = 90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90°}$
【知识点】
折叠的性质、角平分线的定义、平角的性质
【点评】
本题是角的计算的常规题型，解题的核心是利用折叠和角平分线的性质得到相等的角，再结合平角的性质整体运算即可，侧重对基础概念和整体思想的考查。
【难度系数】
0.8

9.【初步探究】
(1)如图(1),已知线段AB=12,点C和点D为线段AB上的两个动点,且CD=3,点M,N分别是AC和BD的中点.求MN的长是多少?

【类比探究】
(2)如图(2),直角∠COD与平角∠AOB摆放在一起,且OM和ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,则∠MON的度数为多少度?

【知识迁移】
(3)当∠AOB=α,∠COD=β时,如图(3)所示摆放在一起,且OM和ON分别是∠AOC,∠BOD的平分线,则∠MON的度数为多少度?(α和β均为小于平角的角)

解：
(1) 因为点M，N分别是AC和BD的中点，
所以 $MC=\frac{1}{2}AC$，$DN=\frac{1}{2}BD$。
已知 $AB=12$，$CD=3$，
所以 $AC + BD = AB - CD = 12 - 3 = 9$，
因此 $MC + DN = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2} × 9 = 4.5$，
所以 $MN = MC + CD + DN = 4.5 + 3 = 7.5$。
(2) 因为OM，ON分别是$∠ AOC$，$∠ BOD$的平分线，
所以 $∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ DON = \frac{1}{2}∠ BOD$。
由题意得$∠ AOB=180°$，$∠ COD=90°$，
所以 $∠ AOC + ∠ BOD = ∠ AOB - ∠ COD = 180° - 90° = 90°$，
因此 $∠ MOC + ∠ DON = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOD) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$，
所以 $∠ MON = ∠ MOC + ∠ COD + ∠ DON = 45° + 90° = 135°$。
(3) 因为OM，ON分别是$∠ AOC$，$∠ BOD$的平分线，
所以 $∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ BON = \frac{1}{2}∠ BOD$。
由图可知：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = α - ∠ BOC$，
$∠ BOD = ∠ COD - ∠ BOC = β - ∠ BOC$，
所以 $∠ AOC + ∠ BOD = α + β - 2∠ BOC$，
因此 $∠ MOC + ∠ BON = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOD) = \frac{1}{2}(α + β) - ∠ BOC$，
所以 $∠ MON = ∠ MOC + ∠ BOC + ∠ BON = \frac{1}{2}(α + β) - ∠ BOC + ∠ BOC = \frac{α + β}{2}$。

【分析】
这是一道类比探究类题型，解题思路从特殊到一般逐步推导：
(1) 线段计算问题：先回忆线段中点性质，中点分线段为等长的两段。观察MN的组成可得$MN=MC+CD+DN$，已知CD长度，只需先求$MC+DN$即可。结合中点性质，$MC=\frac{1}{2}AC$、$DN=\frac{1}{2}BD$，因此先算出$AC+BD=AB-CD$，再取一半得到$MC+DN$，最后加CD的长度即可求出MN。
(2) 角的计算可类比第一问的线段思路：回忆角平分线性质，角平分线分角为两个相等的角。观察$∠ MON$的组成可得$∠ MON=∠ MOC+∠ COD+∠ DON$，已知$∠ COD=90°$，先算$∠ AOC+∠ BOD=∠ AOB-∠ COD$，再取一半得到$∠ MOC+∠ DON$，最后加$∠ COD$即可求出$∠ MON$。
(3) 为前两问的一般化推广，思路和前两问一致，用字母$α、β$代替具体数值，先表示出$∠ AOC+∠ BOD$，结合角平分线性质表示出$∠ MOC+∠ BON$，代入$∠ MON$的组成式，消去中间公共角$∠ BOC$即可得到结果。
【解析】
(1) 因为点M，N分别是AC和BD的中点，
所以 $MC=\frac{1}{2}AC$，$DN=\frac{1}{2}BD$。
已知 $AB=12$，$CD=3$，
所以 $AC + BD = AB - CD = 12 - 3 = 9$，
因此 $MC + DN = \frac{1}{2}(AC + BD) = \frac{1}{2} × 9 = 4.5$，
所以 $MN = MC + CD + DN = 4.5 + 3 = 7.5$。
(2) 因为OM，ON分别是$∠ AOC$，$∠ BOD$的平分线，
所以 $∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ DON = \frac{1}{2}∠ BOD$。
由题意得$∠ AOB=180°$，$∠ COD=90°$，
所以 $∠ AOC + ∠ BOD = ∠ AOB - ∠ COD = 180° - 90° = 90°$，
因此 $∠ MOC + ∠ DON = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOD) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$，
所以 $∠ MON = ∠ MOC + ∠ COD + ∠ DON = 45° + 90° = 135°$。
(3) 因为OM，ON分别是$∠ AOC$，$∠ BOD$的平分线，
所以 $∠ MOC = \frac{1}{2}∠ AOC$，$∠ BON = \frac{1}{2}∠ BOD$。
由图可知：
$∠ AOC = ∠ AOB - ∠ BOC = α - ∠ BOC$，
$∠ BOD = ∠ COD - ∠ BOC = β - ∠ BOC$，
所以 $∠ AOC + ∠ BOD = α + β - 2∠ BOC$，
因此 $∠ MOC + ∠ BON = \frac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOD) = \frac{1}{2}(α + β) - ∠ BOC$，
所以 $∠ MON = ∠ MOC + ∠ BOC + ∠ BON = \frac{1}{2}(α + β) - ∠ BOC + ∠ BOC = \frac{α + β}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{7.5}$；(2) $\boldsymbol{135°}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{α+β}{2}}$
【知识点】
线段中点定义，角平分线定义，线段与角的和差计算
【点评】
本题属于典型的类比探究题，从线段和差计算延伸到角的和差计算，从特殊数值推导到一般字母表达式，核心是熟练掌握中点、角平分线的性质，灵活运用类比思想可以快速理清解题逻辑，降低解题难度。
【难度系数】
0.7