5.如图，OB是∠AOC内部的一条射线，OM是∠AOB内部的一条射线，ON是∠BOC内部的一条射线.

（1）如图（1），OM，ON分别是∠AOB，∠BOC的平分线，已知∠AOB＝30°，∠MON＝70°，求∠BOC的度数；
（2）如图（2），若∠AOC＝140°，∠AOM＝∠NOC＝$\frac{1}{4}$∠AOB，且∠BOM：∠BON＝3：2，求∠MON的度数.

解：
（1）
∵ OM平分∠AOB，∠AOB=30°，
∴ ∠MOB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 30° = 15°$，
∵ ∠MON=70°，
∴ ∠BON = ∠MON - ∠MOB = $70° - 15° = 55°$，
∵ ON平分∠BOC，
∴ ∠BOC = 2∠BON = $2 × 55° = 110°$。
（2）
设∠AOM = ∠NOC = x，
∵ ∠AOM = $\frac{1}{4}$∠AOB，
∴ ∠AOB = 4x，
∴ ∠BOM = ∠AOB - ∠AOM = 4x - x = 3x，
∵ ∠BOM:∠BON = 3:2，
∴ 3x:∠BON = 3:2，解得∠BON = 2x，
∴ ∠BOC = ∠BON + ∠NOC = 2x + x = 3x，
∵ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 140°，
∴ 4x + 3x = 140°，
解得x = 20°，
∴ ∠MON = ∠BOM + ∠BON = 3x + 2x = 5x = $5 × 20° = 100°$。
综上，（1）∠BOC的度数为$110°$；（2）∠MON的度数为$100°$。

【分析】
（1）解题思路：首先利用角平分线的性质，由OM是∠AOB的平分线、已知∠AOB的度数，先求出∠MOB的大小；再根据∠MON的度数，利用角的和差关系求出∠BON的大小；最后根据ON是∠BOC的平分线，即可求出∠BOC的度数。
（2）解题思路：题目中出现分数比例关系，适合用设未知数列方程的方法求解。先设∠AOM=∠NOC=x，根据∠AOM和∠AOB的数量关系表示出∠AOB、∠BOM；再结合∠BOM和∠BON的比例关系，求出∠BON的表达式；接着将∠AOC用含x的式子表示，结合∠AOC=140°求出x的值；最后根据∠MON的组成，代入x的值计算即可得到结果。
【解析】
（1）
∵ OM平分∠AOB，∠AOB=30°，
∴ ∠MOB = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2} × 30° = 15°$，
∵ ∠MON=70°，
∴ ∠BON = ∠MON - ∠MOB = $70° - 15° = 55°$，
∵ ON平分∠BOC，
∴ ∠BOC = 2∠BON = $2 × 55° = 110°$。
（2）
设∠AOM = ∠NOC = x，
∵ ∠AOM = $\frac{1}{4}$∠AOB，
∴ ∠AOB = 4x，
∴ ∠BOM = ∠AOB - ∠AOM = 4x - x = 3x，
∵ ∠BOM:∠BON = 3:2，
∴ 3x:∠BON = 3:2，解得∠BON = 2x，
∴ ∠BOC = ∠BON + ∠NOC = 2x + x = 3x，
∵ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 140°，
∴ 4x + 3x = 140°，
解得x = 20°，
∴ ∠MON = ∠BOM + ∠BON = 3x + 2x = 5x = $5 × 20° = 100°$。
【答案】
（1）∠BOC的度数为$110°$；（2）∠MON的度数为$100°$。
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；方程法求角度
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，第一问侧重对角平分线性质和角的和差关系的直接应用，第二问结合比例关系，考察了方程思想在角度计算中的应用，能够帮助学生熟悉角度类问题的常见分析思路。
【难度系数】
0.7

6.已知∠AOB=40°,其平分线是OD,自点O引射线OC,若∠AOC:∠COB=2:3,则∠COD=.

解：
∵∠AOB=40°，OD平分∠AOB
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 20°
分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB内部时：
∵∠AOC:∠COB=2:3，∠AOC+∠COB=∠AOB=40°
∴∠AOC = $40° × \frac{2}{2+3} = 16°$
∴∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 20° - 16° = 4°
② 当射线OC在∠AOB外部时：
∵∠AOC:∠COB=2:3，∠COB - ∠AOC = ∠AOB=40°
设∠AOC=2x，∠COB=3x，则$3x - 2x = 40°$，解得$x=40°$
∴∠AOC=80°
∴∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 80° + 20° = 100°
综上，∠COD = $4°$或$100°$。

【分析】
解题时首先根据角平分线的性质求出∠AOD的度数，由于题目未明确射线OC的位置，OC可能在∠AOB内部，也可能在∠AOB外部，因此需要分两种情况讨论：①OC在∠AOB内部时，利用∠AOC与∠COB的比例关系结合两角和为40°求出∠AOC，再通过角的差计算∠COD；②OC在∠AOB外部时，利用∠COB与∠AOC的差为40°结合比例关系求出∠AOC，再通过角的和计算∠COD。
【解析】
∵∠AOB=40°，OD平分∠AOB
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = 20°
分两种情况讨论：
① 当射线OC在∠AOB内部时：
∵∠AOC:∠COB=2:3，∠AOC+∠COB=∠AOB=40°
∴∠AOC = $40° × \frac{2}{2+3} = 16°$
∴∠COD = ∠AOD - ∠AOC = 20° - 16° = 4°
② 当射线OC在∠AOB外部时：
∵∠AOC:∠COB=2:3，∠COB - ∠AOC = ∠AOB=40°
设∠AOC=2x，∠COB=3x，则$3x - 2x = 40°$，解得$x=40°$
∴∠AOC=80°
∴∠COD = ∠AOC + ∠AOD = 80° + 20° = 100°
综上，∠COD的度数为4°或100°。
【答案】
4°或100°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；分类讨论思想
【点评】
本题是角的计算的典型题型，解题的关键是考虑到射线OC位置的两种可能性，易错点是遗漏OC在∠AOB外部的情况导致漏解，解题时要注意结合题意分析所有可能的位置，做到分类全面不重不漏。
【难度系数】
0.6

7.如图，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.
(1)若∠AOC=30°,求∠DOE的度数；
(2)若∠AOC=α,求出∠DOE的度数(用含α的代数式表示)；
(3)在(1)的条件下,∠BOC的内部有一射线OG,射线OG将∠BOC分为1:4两部分,求∠DOG的度数.

解：
(1) ∵ O是直线AB上的点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOC=30°，
∴ ∠BOC = 180° - 30° = 150°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = 75°，
∵ ∠COD是直角，即∠COD=90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - 75° = 15°。
(2) ∵ ∠AOC=α，
∴ ∠BOC = 180° - α，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(180° - α) = 90° - \frac{α}{2}$，
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - (90° - $\frac{α}{2}$) = $\frac{α}{2}$。
(3) 由(1)得∠BOC=150°，
∠BOD = 180° - ∠AOC - ∠COD = 180° - 30° - 90° = 60°，
分两种情况：
① 当∠COG:∠GOB=1:4时，
∠COG = $150° × \frac{1}{1+4} = 30°$，
∴ ∠DOG = ∠COD - ∠COG = 90° - 30° = 60°；
② 当∠COG:∠GOB=4:1时，
∠BOG = $150° × \frac{1}{1+4} = 30°$，
∴ ∠DOG = ∠BOD - ∠BOG = 60° - 30° = 30°。
综上，∠DOE的度数为15°；∠DOE的度数为$\frac{α}{2}$；∠DOG的度数为60°或30°。

【分析】
本题为角度计算类题型，解题思路如下：
(1)首先利用平角的性质，已知O在直线AB上，故∠AOC+∠BOC=180°，代入∠AOC的度数即可求出∠BOC；再根据角平分线的定义，求出∠COE的度数；最后结合∠COD是直角，通过角的差运算求出∠DOE。
(2)把(1)中∠AOC的具体数值替换为α，沿用(1)的推导逻辑，用含α的代数式表示各角度，最终化简得到∠DOE的表达式。
(3)首先根据(1)的结论得到∠BOC的度数，同时先计算出∠BOD的度数；由于射线OG将∠BOC分为1:4两部分，未明确两个角的比例顺序，因此需要分两种情况讨论：①∠COG:∠GOB=1:4，②∠COG:∠GOB=4:1，分别计算两种情况下∠DOG的度数即可，注意不要漏解。
【解析】
(1)
∵ O是直线AB上的点，
∴ ∠AOC + ∠BOC = 180°，
∵ ∠AOC=30°，
∴ ∠BOC = 180° - 30° = 150°，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$×150°=75°，
∵ ∠COD是直角，即∠COD=90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - 75° = 15°。
(2)
∵ ∠AOC=α，
∴ ∠BOC = 180° - α，
∵ OE平分∠BOC，
∴ ∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}(180° - α) = 90° - \frac{α}{2}$，
∵ ∠COD=90°，
∴ ∠DOE = ∠COD - ∠COE = 90° - (90° - $\frac{α}{2}$) = $\frac{α}{2}$。
(3) 由(1)得∠BOC=150°，
先计算∠BOD：∠BOD = 180° - ∠AOC - ∠COD = 180° - 30° - 90° = 60°，
射线OG将∠BOC分为1:4两部分，分两种情况讨论：
① 当∠COG:∠GOB=1:4时，
∠COG = $150° × \frac{1}{1+4} = 30°$，
∴ ∠DOG = ∠COD - ∠COG = 90° - 30° = 60°；
② 当∠COG:∠GOB=4:1时，
∠BOG = $150° × \frac{1}{1+4} = 30°$，
∴ ∠DOG = ∠BOD - ∠BOG = 60° - 30° = 30°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{15°}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{α}{2}}$；
(3) $\boldsymbol{60°}$或$\boldsymbol{30°}$
【知识点】
平角的定义；角平分线的性质；角的和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型习题，综合考查了平角、直角、角平分线的相关性质，第三问设置了比例不明确的情况，需要结合分类讨论思想解题，能有效锻炼思维的严谨性，避免漏解。
【难度系数】
0.6