7.在平面直角坐标系中,将一个半径为2的圆的圆心$P(0,y)$沿$y$轴移动.已知$\odot P$与$x$轴相离,则$y$的取值范围是()

A.$y＞2$
B.$-2＜y＜2$
C.$y＞2$或$y＜-2$
D.$y＜-2$

C

【分析】
解题时先回忆直线与圆相离的判定规则：当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离。首先确定圆心P到x轴的距离，圆心P的坐标为(0,y)，它到x轴的距离是纵坐标的绝对值|y|；再结合相离的条件列出不等式，最后解绝对值不等式即可得到y的取值范围，注意要考虑圆心在x轴上方和下方两种情况，避免漏解。
【解析】
解：直线与圆相离的判定条件为：圆心到直线的距离d ＞ 圆的半径r。
已知⊙P的圆心为P(0,y)，半径r=2，圆心P到x轴的距离d=|y|。
∵⊙P与x轴相离
∴d ＞ r，即|y| ＞ 2
解绝对值不等式：
当y≥0时，y＞2；
当y＜0时，-y＞2，即y＜-2。
综上，y的取值范围是y＞2或y＜-2，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直线与圆的位置关系、点到坐标轴的距离、绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查直线与圆相离的判定，易错点是容易忽略圆心在x轴下方的情况，只得到y＞2的结论，解题时要结合坐标的特征全面考虑所有符合条件的情况。
【难度系数】
0.7

8. 如图,已知$O(0,0),A(4,0)$,直线$l⊥x$轴.动点$P$从点$O$出发,以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动,同时动直线$l$从点$A$的位置出发,以每秒1个单位长度的速度向$x$轴负方向匀速平移,当直线$l$运动到点$O$时,它们都停止运动.设运动时间为$t\ \mathrm{s}$,则直线$l$与以点$P$为圆心,半径为1的圆相交时,$t$的取值范围是()


A.$\frac{3}{4}＜t＜1$
B.$t＜\frac{5}{4}$
C.$\frac{3}{4}≤t≤\frac{5}{4}$
D.$\frac{3}{4}＜t＜\frac{5}{4}$

D

【分析】
解决本题可按以下思路思考：第一步，结合动点和动直线的运动速度、运动时间t，分别表示出t秒后圆心P的坐标、直线l的解析式；第二步，回忆直线与圆相交的判定规则：圆心到直线的距离小于圆的半径；第三步，根据判定规则列绝对值不等式，求解不等式并结合运动的取值限制，最终得到t的范围。
【解析】
解：运动t秒时：
① 动点P从O出发，速度为每秒3个单位向右运动，故P点坐标为$(3t, 0)$，$\odot P$的半径$r=1$；
② 直线l初始位置为$x=4$，以每秒1个单位向左平移，故t秒后直线l的解析式为$x=4-t$；
③ 圆心P到直线l的距离为横坐标差的绝对值，即$d=|(4-t)-3t|=|4-4t|$；
④ 直线l与$\odot P$相交满足$d＜r$，代入得：
$|4-4t|＜1$
解绝对值不等式：
$-1＜4-4t＜1$
左边不等式：$4-4t＞-1$，解得$t＜\frac{5}{4}$；
右边不等式：$4-4t＜1$，解得$t＞\frac{3}{4}$；
结合运动停止条件：直线l到O点时停止，即$4-t≥0$，得$t≤4$，上述解集在有效运动范围内。
因此t的取值范围是$\frac{3}{4}＜t＜\frac{5}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系；动点问题；绝对值不等式求解
【点评】
本题属于动点结合直线与圆位置关系的基础题型，解题核心是用参数t表示出相关点的位置和直线解析式，再根据相交的判定条件列式求解，注意相交对应的是距离严格小于半径，不要误取等号。
【难度系数】
0.6

9.已知$\odot O$的半径为2，直线$l$上有一点$P$，且$OP=2$，则直线$l$与$\odot O$的位置关系是（）

A.相切
B.相离
C.相离或相切
D.相切或相交

D

【分析】
要判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小：d＞r时相离，d=r时相切，d＜r时相交。本题中已知OP=2等于半径，但OP是圆心到直线l上点P的距离，不一定是圆心O到直线l的距离，需分两种情况讨论：①OP垂直于直线l；②OP不垂直于直线l，结合垂线段最短的性质分析d和r的大小关系即可得出结论。
【解析】
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，由题可知r=2。
∵点P在直线l上，根据垂线段最短的性质，圆心到直线l的距离d≤OP=2，分两种情况：
1. 当OP⊥直线l时，圆心到直线l的距离d=OP=2=r，此时直线l与⊙O相切；
2. 当OP与直线l不垂直时，圆心到直线l的距离d＜OP=2，即d＜r，此时直线l与⊙O相交。
综上，直线l与⊙O的位置关系是相切或相交，故选D。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系判定、垂线段最短
【点评】
本题易错点是误将OP直接当作圆心到直线的距离，从而错选相切。解题时需注意，圆心到直线上某点的距离大于等于圆心到直线的距离，要全面考虑线段与直线的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.7

10. 以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆.若直线$y=-x+b$与$\odot O$相交,则$b$的取值范围是()

A.$0≤ b≤ 2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}≤ b≤ 2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜ b＜ 2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜ b＜ 2\sqrt{2}$

D

【分析】
解决本题首先要明确直线与圆相交的判定规则：当圆心到直线的距离小于圆的半径时，直线与圆相交。解题步骤如下：1. 先将直线解析式整理为一般式，确定圆心坐标和圆的半径；2. 利用点到直线的距离公式求出原点到直线的距离；3. 根据相交的条件列不等式，解不等式即可得到b的取值范围，注意相切为临界情况，不属于相交，因此不要取等号。
【解析】
解：将直线$y=-x+b$整理为一般式，得$x + y - b = 0$。
已知$\odot O$的圆心为原点$(0,0)$，半径$r=2$。
根据点到直线的距离公式，圆心到直线$x+y-b=0$的距离为：
$d=\frac{|0+0-b|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$
∵直线与$\odot O$相交，
∴$d ＜ r$，即：
$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$
化简得$|b| ＜ 2\sqrt{2}$，解得$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$。
【答案】
D
【知识点】
直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式；绝对值不等式求解
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，核心考查不同位置关系对应的圆心到直线距离与半径的大小关系，解题时需注意相交对应的是距离严格小于半径，若误加等号会错选相切的临界情况。
【难度系数】
0.7

11.如图,在平面直角坐标系中,点M在第一象限内,MN⊥x轴于点N,MN=1,⊙M与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点.
(1)求⊙M的半径;
(2)请判断⊙M与直线x=7的位置关系,并说明理由.

解：
(1) 连接MA。
∵ MN⊥x轴，
∴ 由垂径定理得 $AN=\frac{1}{2}AB$。
∵ $A(2,0)$，$B(6,0)$，
∴ $AB=6-2=4$，$AN=2$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，$MN=1$，$AN=2$，由勾股定理得：
$MA=\sqrt{AN^2+MN^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
即$\odot M$的半径为$\sqrt{5}$。
(2) $\odot M$与直线$x=7$的位置关系是相离，理由如下：
由$N$是$AB$中点，得点$N$的横坐标为$\frac{2+6}{2}=4$，
又$MN⊥ x$轴，故点$M$的横坐标为4。
∴ 点$M$到直线$x=7$的距离$d=7-4=3$。
∵ $3＞\sqrt{5}$，即$d＞r$，
∴ $\odot M$与直线$x=7$相离。

【分析】
(1) 求⊙M的半径，可先连接圆心M和圆上点A得到半径MA，已知MN垂直x轴，根据垂径定理可知MN平分弦AB，先由A、B的坐标算出AB的长度，进而得到AN的长度，再在Rt△AMN中利用勾股定理即可求出半径MA的长度。
(2) 判断直线与圆的位置关系，只需比较圆心M到直线x=7的距离d和半径r的大小：若d＞r则两位置关系为相离，d=r则为相切，d＜r则为相交。先根据A、B坐标求出AB中点N的横坐标，即可得到点M的横坐标，再算出点M到直线x=7的距离，和半径比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) 连接MA。
∵ MN⊥x轴，AB是⊙M的弦，
∴ 由垂径定理得 $AN=\frac{1}{2}AB$。
∵ $A(2,0)$，$B(6,0)$，
∴ $AB=6-2=4$，$AN=\frac{1}{2}×4=2$。
在$\mathrm{Rt}△ AMN$中，$MN=1$，$AN=2$，由勾股定理得：
$MA=\sqrt{AN^2+MN^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
即$\odot M$的半径为$\sqrt{5}$。
(2) $\odot M$与直线$x=7$的位置关系是相离，理由如下：
∵ N是AB的中点，
∴ 点N的横坐标为$\frac{2+6}{2}=4$，
又
∵ MN⊥x轴，
∴ 点M的横坐标为4。
∴ 点M到直线$x=7$的距离$d=7-4=3$。
∵ $3＞\sqrt{5}$，即$d＞r$，
∴ $\odot M$与直线$x=7$相离。
【答案】
(1) $\odot M$的半径为$\sqrt{5}$；
(2) $\odot M$与直线$x=7$相离。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；直线与圆的位置关系判定
【点评】
本题属于圆的基础应用类题型，解题关键是熟练运用垂径定理、勾股定理求出圆的半径，再结合圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线和圆的位置关系，解题逻辑清晰，是对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.7

12.如图,已知等腰直角三角形ABC的直角边AC的长为1,∠C=90°,以点C为圆心作圆.
(1)当⊙C与AB所在直线相切时,求⊙C的半径;
(2)当⊙C与线段AB相交时,求⊙C的半径r的取值范围.

解：
(1) 过点C作CD⊥AB于点D。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=1，
∴ AB = √(AC² + BC²) = √2。
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 1 × 1 = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × CD$，
解得 $CD = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵ ⊙C与AB所在直线相切，
∴ ⊙C的半径等于圆心C到直线AB的距离CD，即⊙C的半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 当半径$r ＞ \frac{\sqrt{2}}{2}$时，直线AB与⊙C相交；
当$r ＞ 1$时，点A、B都在⊙C内部，线段AB全部位于圆内，⊙C与线段AB无交点；
当$\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ r ≤ 1$时，⊙C与线段AB有两个公共点，即相交。
∴ ⊙C的半径r的取值范围是 $\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ r ≤ 1$。

【分析】
(1) 当圆与直线相切时，圆的半径等于圆心到直线的距离，因此本题需先求点C到直线AB的距离。首先根据等腰直角三角形的边长，用勾股定理求出斜边AB的长度，再利用三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），即可求出斜边上的高，也就是⊙C与AB相切时的半径。
(2) 求解⊙C与线段AB相交的半径范围时，首先要区分“与直线相交”和“与线段相交”的差异：当半径大于圆心到直线的距离时，直线AB与圆相交，但若半径过长，线段AB的两个端点会进入圆内，导致整条线段都在圆中，此时圆与线段无交点。结合AC=BC=1的条件，即可确定半径的上限，最终得到取值范围。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D。
∵ △ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，AC=BC=1，
∴ AB = √(AC² + BC²) = √2。
由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 1 × 1 = \frac{1}{2} × \sqrt{2} × CD$，
解得 $CD = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
∵ ⊙C与AB所在直线相切，
∴ ⊙C的半径等于圆心C到直线AB的距离CD，即⊙C的半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$。
(2) 当半径$r ＞ \frac{\sqrt{2}}{2}$时，直线AB与⊙C相交；
当$r ＞ 1$时，点A、B都在⊙C内部，线段AB全部位于圆内，⊙C与线段AB无交点；
当$\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ r ≤ 1$时，⊙C与线段AB有两个公共点，即相交。
∴ ⊙C的半径r的取值范围是 $\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ r ≤ 1$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$；(2) $\frac{\sqrt{2}}{2} ＜ r ≤ 1$
【知识点】
直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查直线与圆位置关系的判定，解题的关键是明确相切时半径等于圆心到直线的距离，同时注意第二问中“与线段AB相交”和“与直线AB相交”的区别，避免忽略线段端点对半径范围的限制导致出错。
【难度系数】
0.7