例1 如图,等腰直角三角形OAB中,∠AOB=90°,⊙O过斜边的中点C.求证:直线AB是⊙O的切线.
【思路导析】证明$OC ⊥ AB$即可.
【请你解答】

知识点二 切线的性质

证明：连接OC。
∵ △OAB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，C是斜边AB的中点，
∴ OC⊥AB。
又∵ 点C在⊙O上，OC是⊙O的半径，
∴ 直线AB是⊙O的切线。

【分析】
要证明直线AB是⊙O的切线，需用到切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知AB与⊙O有公共点C，因此只需连接半径OC，证明OC与AB垂直即可。结合等腰直角三角形的性质：等腰直角三角形斜边上的中线同时是斜边上的高，可直接推出OC⊥AB，从而满足切线的判定条件。
【解析】
证明：连接OC。
∵ △OAB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，C是斜边AB的中点，
∴ 根据等腰直角三角形三线合一的性质，可得OC⊥AB。
又
∵ 点C在⊙O上，即OC是⊙O的半径，
∴ 直线AB经过半径OC的外端C，且垂直于半径OC，符合切线的判定条件。
【答案】
证明：连接OC。
∵ △OAB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，C是斜边AB的中点，
∴ OC⊥AB。
又
∵ 点C在⊙O上，OC是⊙O的半径，
∴ 直线AB是⊙O的切线。
【知识点】
切线的判定定理；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，核心考查“连半径，证垂直”的切线判定常用思路，只要熟练掌握切线判定定理和特殊三角形的性质，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

例2 如图，已知$△ ABC$内接于$\odot O$，$AE$为$\odot O$的切线，求证：$∠ CAE=∠ ABC$。
【思路导析】连接$OA$，并延长$AO$交$\odot O$于点$D$，证$∠ EAC=∠ ADC$即可。
【请你解答】

互动探究 探究解题规律 总结方法技巧

证明：
连接OA，延长AO交⊙O于点D，连接CD。
∵ AE是⊙O的切线，A为切点，
∴ OA⊥AE，即∠OAE = 90°，
∴ ∠CAE + ∠OAC = 90°。
∵ AD是⊙O的直径，
∴ ∠ACD = 90°，即∠ADC + ∠OAC = 90°，
∴ ∠CAE = ∠ADC。
又∵ ∠ABC和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC = ∠ADC，
∴ ∠CAE = ∠ABC。

【分析】
要证明∠CAE=∠ABC，可通过寻找中间等量角的思路推导：首先根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，因此连接OA可得OA⊥AE，推出∠CAE与∠OAC互余；再延长AO交⊙O于D，连接CD，利用直径所对的圆周角为直角，可得∠ADC与∠OAC也互余，根据同角的余角相等可得到∠CAE=∠ADC；最后由同弧所对的圆周角相等，可知∠ABC与∠ADC相等，通过等量代换即可完成证明。
【解析】
证明：
连接OA，延长AO交⊙O于点D，连接CD。
∵ AE是⊙O的切线，A为切点，
∴ OA⊥AE，即∠OAE = 90°，
∴ ∠CAE + ∠OAC = 90°。
∵ AD是⊙O的直径，
∴ ∠ACD = 90°，即∠ADC + ∠OAC = 90°，
∴ ∠CAE = ∠ADC。
又
∵ ∠ABC和∠ADC都是弧AC所对的圆周角，
∴ ∠ABC = ∠ADC，
∴ ∠CAE = ∠ABC。
【答案】
∠CAE=∠ABC，证明过程如上。
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、同角的余角相等
【点评】
本题是圆中角相等证明的基础题型，通过构造直径得到直角和相等的圆周角，结合切线性质完成推导，这类构造直径得直角的辅助线作法是圆类证明题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.75

例3 如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上的一点.若$∠ BAC=∠ CAD$，且$CD⊥ AD$于点D，试探究CD与$\odot O$的位置关系.
【探究点拨】连接OC，证明$OC⊥ CD$.
【规范解答】结论：CD与$\odot O$相切.
连接OC.
$\because OA=OC,$
$\therefore ∠ 2=∠ 3,$
又$\because ∠ BAC=∠ CAD,$
即$∠ 1=∠ 2,$
$\therefore ∠ 1=∠ 3,$
$\therefore AD// OC.$
又$\because AD⊥ CD,$
$\therefore OC⊥ CD,$
$\therefore CD$与$\odot O$相切.

证明：
CD与$\odot O$相切。
连接OC。
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ 2=∠ 3$，
又$\because ∠ BAC=∠ CAD$，即$∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1=∠ 3$，
$\therefore AD// OC$。
又$\because CD⊥ AD$，
$\therefore OC⊥ CD$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CD$与$\odot O$相切。

【分析】
要判断CD与$\odot O$的位置关系，已知点C在$\odot O$上，根据切线的判定定理，只需证明CD垂直于过点C的半径即可，因此首先作辅助线连接OC。接下来结合已知条件推导垂直关系：首先OA、OC都是$\odot O$的半径，由等边对等角可得$∠ 2=∠ 3$；结合已知$∠ BAC=∠ CAD$即$∠ 1=∠ 2$，通过等量代换得$∠ 1=∠ 3$，内错角相等可推出$AD// OC$；最后已知$CD⊥ AD$，根据平行线的性质可推出$OC⊥ CD$，满足切线的判定条件，即可得出结论。
【解析】
结论：CD与$\odot O$相切。
证明：连接OC。
$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ 2=∠ 3$，
又$\because ∠ BAC=∠ CAD$，即$∠ 1=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1=∠ 3$，
$\therefore AD// OC$。
又$\because CD⊥ AD$，
$\therefore OC⊥ CD$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore CD$与$\odot O$相切。
【答案】
CD与$\odot O$相切
【知识点】
切线的判定；等腰三角形的性质；平行线的判定与性质
【点评】
本题是切线判定的典型基础题，核心考查“连半径、证垂直”的切线判定常用解题思路，需要熟练结合等腰三角形、平行线的相关性质推导垂直关系，掌握该思路能解决大部分同类切线判定问题。
【难度系数】
0.8

1.如图，AB是$\odot O$的弦，$OC ⊥ OA$交AB于点C.过点B的切线与OC的延长线相交于点E，求证：$△ BCE$是等腰三角形.

证明：
连接OB，
∵ BE是⊙O的切线，
∴ OB⊥BE，即∠OBE=90°，
∴ ∠OBC + ∠EBC = 90°。
∵ OC⊥OA，
∴ ∠AOC=90°，
∴ ∠A + ∠ACO = 90°。
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠OBC，
∴ ∠ACO = ∠EBC。
又∵ ∠ACO = ∠ECB（对顶角相等），
∴ ∠ECB = ∠EBC，
∴ EB = EC，
∴ △BCE是等腰三角形。

【分析】
要证明△BCE是等腰三角形，需证其有两个内角相等或两条边相等，本题优先通过角的等量代换证明底角相等：已知BE是⊙O的切线，根据切线性质需先连接辅助线OB，得到OB⊥BE的垂直关系；结合已知OC⊥OA，可得到两组互余的角，再利用OA、OB同为⊙O的半径，推出∠A=∠OBC，通过等角的余角相等、对顶角相等的性质，即可推导得出∠ECB=∠EBC，完成证明。
【解析】
证明：
连接OB，
∵ BE是⊙O的切线，
∴ OB⊥BE，即∠OBE=90°，
∴ ∠OBC + ∠EBC = 90°。
∵ OC⊥OA，
∴ ∠AOC=90°，
∴ ∠A + ∠ACO = 90°。
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠OBC，
∴ ∠ACO = ∠EBC。
又
∵ ∠ACO = ∠ECB（对顶角相等），
∴ ∠ECB = ∠EBC，
∴ EB = EC，
∴ △BCE是等腰三角形。
【答案】
△BCE是等腰三角形，得证。
【知识点】
切线的性质；等腰三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础证明题，解题关键是合理添加过切点的半径作为辅助线，结合切线性质、直角的互余关系和角的等量代换即可推导结论，能够锻炼几何证明的逻辑思维能力。
【难度系数】
0.8