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6. 图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知$AB=AC=1.5\ \mathrm{m}$，$AD=1.2\ \mathrm{m}$，$AC$与$AB$的张角为$α$，为保证安全，$α$的调整范围是$30°≤α≤60°$，$BC$为固定张角$α$的绳索，则桑梯顶端$D$到地面$BC$的距离(单位:$\mathrm{m}$)为()
A.$2.7\tan \dfrac{α}{2}$
B.$\dfrac{2.7}{\tan \dfrac{α}{2}}$
C.$2.7\cos(90°-\dfrac{α}{2})$
D.$2.7\sin(90°-\dfrac{α}{2})$
A.$2.7\tan \dfrac{α}{2}$
B.$\dfrac{2.7}{\tan \dfrac{α}{2}}$
C.$2.7\cos(90°-\dfrac{α}{2})$
D.$2.7\sin(90°-\dfrac{α}{2})$
答案
D
解析
【分析】
要求桑梯顶端D到地面BC的距离，需过D作BC的垂线段构造直角三角形求解。首先利用等腰三角形ABC的性质求出底角∠B的度数，再在包含垂线段的直角三角形中结合锐角三角函数的定义列式，即可得到距离的表达式。
【解析】
过点D作$DF⊥ BC$，垂足为F，DF即为D到BC的距离。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=α$，
$\therefore ∠ B=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$。
又$\because BD=AB+AD=1.5+1.2=2.7\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$\sin B=\frac{DF}{BD}$，
$\therefore DF=BD·\sin B=2.7\sin(90°-\frac{α}{2})$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，锐角三角函数，三角形内角和
【点评】
本题结合古代科技场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造合适的直角三角形，结合等腰三角形的性质得到角的关系，再利用三角函数列式，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要求桑梯顶端D到地面BC的距离，需过D作BC的垂线段构造直角三角形求解。首先利用等腰三角形ABC的性质求出底角∠B的度数，再在包含垂线段的直角三角形中结合锐角三角函数的定义列式，即可得到距离的表达式。
【解析】
过点D作$DF⊥ BC$，垂足为F，DF即为D到BC的距离。
$\because AB=AC$，$∠ BAC=α$，
$\therefore ∠ B=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$。
又$\because BD=AB+AD=1.5+1.2=2.7\ \mathrm{m}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDF$中，$\sin B=\frac{DF}{BD}$，
$\therefore DF=BD·\sin B=2.7\sin(90°-\frac{α}{2})$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质，锐角三角函数，三角形内角和
【点评】
本题结合古代科技场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是构造合适的直角三角形，结合等腰三角形的性质得到角的关系，再利用三角函数列式，考查了知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
7.某次台风来袭时，一棵大树的树干AB(假定树干AB垂直于地面)被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处(如图所示)，若树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4 m，求这棵大树原来的高度AB.(结果精确到个位，参考数据：$\sqrt{2}≈1.4$，$\sqrt{3}≈1.7$，$\sqrt{6}≈2.4$)
答案
解：过点A作AE⊥CD于点E。
由题意得AB⊥AD，∠BAC=15°，
∴∠CAD=90°−15°=75°，
在△ACD中，∠ADC=60°，
∴∠ACD=180°−75°−60°=45°。
在Rt△ADE中，AD=4 m，∠ADE=60°：
$AE = AD·\sin60° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$DE = AD·\cos60° = 4×\frac{1}{2} = 2\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACE中，∠ACE=45°：
$CE = AE = 2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$AC = \frac{AE}{\sin45°} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
∴$CD = CE + DE = (2\sqrt{3} + 2)\ \mathrm{m}$，
由折断性质可知BC=CD，
∴大树原高度$AB = AC + BC = AC + CD$
$= 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 2$
$\approx 2×2.4 + 2×1.7 + 2$
$= 10.2 \approx 10\ \mathrm{m}$。
答：这棵大树原来的高度AB约为10 m。
由题意得AB⊥AD，∠BAC=15°，
∴∠CAD=90°−15°=75°，
在△ACD中，∠ADC=60°，
∴∠ACD=180°−75°−60°=45°。
在Rt△ADE中，AD=4 m，∠ADE=60°：
$AE = AD·\sin60° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$DE = AD·\cos60° = 4×\frac{1}{2} = 2\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACE中，∠ACE=45°：
$CE = AE = 2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$AC = \frac{AE}{\sin45°} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
∴$CD = CE + DE = (2\sqrt{3} + 2)\ \mathrm{m}$，
由折断性质可知BC=CD，
∴大树原高度$AB = AC + BC = AC + CD$
$= 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 2$
$\approx 2×2.4 + 2×1.7 + 2$
$= 10.2 \approx 10\ \mathrm{m}$。
答：这棵大树原来的高度AB约为10 m。
解析
【分析】
要计算大树原来的高度AB，首先明确AB=AC+BC，由折断的性质可知BC=CD，因此只需算出AC和CD的长度求和即可。首先根据AB垂直地面、∠BAC=15°先求出∠CAD的度数，再结合∠ADC=60°用三角形内角和定理求出∠ACD=45°，此时△ACD为斜三角形，通过作辅助线AE⊥CD，将其拆分为两个含特殊角的直角三角形，分别在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出AE、DE、CE、AC的长度，进而求出CD的长度，最终计算AB的长度后取近似值即可。
【解析】
过点A作AE⊥CD于点E。
由题意得AB⊥AD，∠BAC=15°，
∴∠CAD=90°−15°=75°，
在△ACD中，∠ADC=60°，
∴∠ACD=180°−75°−60°=45°。
在Rt△ADE中，AD=4 m，∠ADE=60°：
$AE = AD·\sin60° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$DE = AD·\cos60° = 4×\frac{1}{2} = 2\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACE中，∠ACE=45°：
$CE = AE = 2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$AC = \frac{AE}{\sin45°} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
∴$CD = CE + DE = (2\sqrt{3} + 2)\ \mathrm{m}$，
由折断性质可知BC=CD，
∴大树原高度$AB = AC + BC = AC + CD$
$= 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 2$
$\approx 2×2.4 + 2×1.7 + 2$
$= 10.2 \approx 10\ \mathrm{m}$。
【答案】
这棵大树原来的高度AB约为10 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题的关键是通过作辅助线将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，同时要注意挖掘“折断前后对应线段长度相等”这一隐含条件，计算时按照给定的近似值计算即可。
【难度系数】
0.6
要计算大树原来的高度AB，首先明确AB=AC+BC，由折断的性质可知BC=CD，因此只需算出AC和CD的长度求和即可。首先根据AB垂直地面、∠BAC=15°先求出∠CAD的度数，再结合∠ADC=60°用三角形内角和定理求出∠ACD=45°，此时△ACD为斜三角形，通过作辅助线AE⊥CD，将其拆分为两个含特殊角的直角三角形，分别在两个直角三角形中利用特殊角的三角函数值求出AE、DE、CE、AC的长度，进而求出CD的长度，最终计算AB的长度后取近似值即可。
【解析】
过点A作AE⊥CD于点E。
由题意得AB⊥AD，∠BAC=15°，
∴∠CAD=90°−15°=75°，
在△ACD中，∠ADC=60°，
∴∠ACD=180°−75°−60°=45°。
在Rt△ADE中，AD=4 m，∠ADE=60°：
$AE = AD·\sin60° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$DE = AD·\cos60° = 4×\frac{1}{2} = 2\ \mathrm{m}$。
在Rt△ACE中，∠ACE=45°：
$CE = AE = 2\sqrt{3}\ \mathrm{m}$，
$AC = \frac{AE}{\sin45°} = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2\sqrt{6}\ \mathrm{m}$。
∴$CD = CE + DE = (2\sqrt{3} + 2)\ \mathrm{m}$，
由折断性质可知BC=CD，
∴大树原高度$AB = AC + BC = AC + CD$
$= 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} + 2$
$\approx 2×2.4 + 2×1.7 + 2$
$= 10.2 \approx 10\ \mathrm{m}$。
【答案】
这棵大树原来的高度AB约为10 m。
【知识点】
解直角三角形的应用；三角形内角和定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类题目，解题的关键是通过作辅助线将斜三角形转化为含特殊角的直角三角形，同时要注意挖掘“折断前后对应线段长度相等”这一隐含条件，计算时按照给定的近似值计算即可。
【难度系数】
0.6
8.【主题】探究化学实验中的数学问题.
【实践操作】如图①是排水法收集气体的化学实验装置示意图,安装要求为试管口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的三分之一处.
【数学建模】将图①的示意图抽象成图②,已知试管AB的长为15 cm,过点B作AH的垂线段,垂足为C,交DG于点E,试管倾斜角$∠ABC=8°$,试管与导管的夹角$∠ABF=143°$.
【问题解决】
(1)填空:$∠BFM=$,$BD=$ cm;
(2)铁夹D到水平桌面HN的距离是17 cm,测量可得导管露在水槽外的部分BF为8 cm,则水槽的高度MN约为多少?(结果精确到0.1 cm;参考数据:$\sqrt{2}≈1.41$,$\sin 8°≈0.14$,$\cos 8°≈0.99$,$\tan 8°≈0.14$)
【实践操作】如图①是排水法收集气体的化学实验装置示意图,安装要求为试管口略向下倾斜,铁夹应固定在距试管口的三分之一处.
【数学建模】将图①的示意图抽象成图②,已知试管AB的长为15 cm,过点B作AH的垂线段,垂足为C,交DG于点E,试管倾斜角$∠ABC=8°$,试管与导管的夹角$∠ABF=143°$.
【问题解决】
(1)填空:$∠BFM=$,$BD=$ cm;
(2)铁夹D到水平桌面HN的距离是17 cm,测量可得导管露在水槽外的部分BF为8 cm,则水槽的高度MN约为多少?(结果精确到0.1 cm;参考数据:$\sqrt{2}≈1.41$,$\sin 8°≈0.14$,$\cos 8°≈0.99$,$\tan 8°≈0.14$)
答案
解：
(1) 由题意，$BC ⊥ AH$，$BC // HN$，
$\because ∠ ABC=8°$，$∠ ABF=143°$，
$\therefore ∠ FBC=∠ ABF-∠ ABC=135°$，
$\therefore ∠ BFM=180°-∠ FBC=45°$。
由铁夹固定在距试管口的三分之一处，$AB=15\ \mathrm{cm}$，得$BD=\frac{1}{3}AB=5\ \mathrm{cm}$。
故答案为：$45°$，$5$。
(2) 过点$B$作$BQ ⊥ HN$于点$Q$，过点$F$作$FK ⊥ BQ$于点$K$。
由题意，$DG ⊥ HN$，$DG=17\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BED=90°$，$∠ DBE=8°$，$BD=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=BD· \cos8° \approx 5× 0.99=4.95\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$DEGQ$是矩形，
$\therefore GQ=DE=4.95\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BQ=DG-GQ=17-4.95=12.05\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BFK$中，$∠ BKF=90°$，$∠ BFK=45°$，$BF=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BK=BF· \sin45° \approx 8× \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 4× 1.41=5.64\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MN=KQ=BQ-BK\approx 12.05-5.64\approx 6.4\ \mathrm{cm}$。
答：水槽的高度$MN$约为$6.4\ \mathrm{cm}$。
(1) 由题意，$BC ⊥ AH$，$BC // HN$，
$\because ∠ ABC=8°$，$∠ ABF=143°$，
$\therefore ∠ FBC=∠ ABF-∠ ABC=135°$，
$\therefore ∠ BFM=180°-∠ FBC=45°$。
由铁夹固定在距试管口的三分之一处，$AB=15\ \mathrm{cm}$，得$BD=\frac{1}{3}AB=5\ \mathrm{cm}$。
故答案为：$45°$，$5$。
(2) 过点$B$作$BQ ⊥ HN$于点$Q$，过点$F$作$FK ⊥ BQ$于点$K$。
由题意，$DG ⊥ HN$，$DG=17\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BED=90°$，$∠ DBE=8°$，$BD=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=BD· \cos8° \approx 5× 0.99=4.95\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$DEGQ$是矩形，
$\therefore GQ=DE=4.95\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BQ=DG-GQ=17-4.95=12.05\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BFK$中，$∠ BKF=90°$，$∠ BFK=45°$，$BF=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BK=BF· \sin45° \approx 8× \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 4× 1.41=5.64\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MN=KQ=BQ-BK\approx 12.05-5.64\approx 6.4\ \mathrm{cm}$。
答：水槽的高度$MN$约为$6.4\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 求解∠BFM时，先通过已知的∠ABF与∠ABC作差得到∠FBC的度数，再结合BC平行于水平桌面HN，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可求出∠BFM的度数；求解BD时，根据题干给出的“铁夹固定在距试管口三分之一处”的条件，直接用AB的长度乘以$\frac{1}{3}$即可得到结果。
(2) 求解水槽高度MN时，可通过构造辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的线段计算问题：先过点B作BQ⊥HN，过点F作FK⊥BQ，先在Rt△BDE中利用余弦函数求出DE的长度，再结合矩形DEGQ的对边相等性质得到GQ的长度，进而求出点B到水平桌面的高度BQ；再在Rt△BFK中，利用45°角的正弦函数求出BK的长度，最终MN等于BQ减去BK，计算即可得到近似结果。
【解析】
(1) 由题意得$BC ⊥ AH$，$BC // HN$，
$\because ∠ ABC=8°$，$∠ ABF=143°$，
$\therefore ∠ FBC=∠ ABF-∠ ABC=143°-8°=135°$，
$\therefore ∠ BFM=180°-∠ FBC=180°-135°=45°$。
由铁夹固定在距试管口的三分之一处，$AB=15\ \mathrm{cm}$，得$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×15=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点$B$作$BQ ⊥ HN$于点$Q$，过点$F$作$FK ⊥ BQ$于点$K$。
由题意得$DG ⊥ HN$，$DG=17\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BED=90°$，$∠ DBE=8°$，$BD=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=BD· \cos8° \approx 5× 0.99=4.95\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$DEGQ$是矩形，
$\therefore GQ=DE=4.95\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BQ=DG-GQ=17-4.95=12.05\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BFK$中，$∠ BKF=90°$，$∠ BFK=45°$，$BF=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BK=BF· \sin45° \approx 8× \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 4× 1.41=5.64\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MN=KQ=BQ-BK\approx 12.05-5.64\approx 6.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$，$\boxed{5}$
(2) 水槽的高度$MN$约为$\boxed{6.4\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
解直角三角形应用，平行线性质，矩形性质
【点评】
本题结合化学实验场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为几何图形中的边角计算问题，需要掌握辅助线的构造方法，能合理选用三角函数求解直角三角形中的未知边长。
【难度系数】
0.6
(1) 求解∠BFM时，先通过已知的∠ABF与∠ABC作差得到∠FBC的度数，再结合BC平行于水平桌面HN，利用“两直线平行，同旁内角互补”即可求出∠BFM的度数；求解BD时，根据题干给出的“铁夹固定在距试管口三分之一处”的条件，直接用AB的长度乘以$\frac{1}{3}$即可得到结果。
(2) 求解水槽高度MN时，可通过构造辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的线段计算问题：先过点B作BQ⊥HN，过点F作FK⊥BQ，先在Rt△BDE中利用余弦函数求出DE的长度，再结合矩形DEGQ的对边相等性质得到GQ的长度，进而求出点B到水平桌面的高度BQ；再在Rt△BFK中，利用45°角的正弦函数求出BK的长度，最终MN等于BQ减去BK，计算即可得到近似结果。
【解析】
(1) 由题意得$BC ⊥ AH$，$BC // HN$，
$\because ∠ ABC=8°$，$∠ ABF=143°$，
$\therefore ∠ FBC=∠ ABF-∠ ABC=143°-8°=135°$，
$\therefore ∠ BFM=180°-∠ FBC=180°-135°=45°$。
由铁夹固定在距试管口的三分之一处，$AB=15\ \mathrm{cm}$，得$BD=\frac{1}{3}AB=\frac{1}{3}×15=5\ \mathrm{cm}$。
(2) 过点$B$作$BQ ⊥ HN$于点$Q$，过点$F$作$FK ⊥ BQ$于点$K$。
由题意得$DG ⊥ HN$，$DG=17\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BED=90°$，$∠ DBE=8°$，$BD=5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore DE=BD· \cos8° \approx 5× 0.99=4.95\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形$DEGQ$是矩形，
$\therefore GQ=DE=4.95\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BQ=DG-GQ=17-4.95=12.05\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BFK$中，$∠ BKF=90°$，$∠ BFK=45°$，$BF=8\ \mathrm{cm}$，
$\therefore BK=BF· \sin45° \approx 8× \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 4× 1.41=5.64\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MN=KQ=BQ-BK\approx 12.05-5.64\approx 6.4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boxed{45°}$，$\boxed{5}$
(2) 水槽的高度$MN$约为$\boxed{6.4\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
解直角三角形应用，平行线性质，矩形性质
【点评】
本题结合化学实验场景考查几何知识的实际应用，解题的核心是将实际问题转化为几何图形中的边角计算问题，需要掌握辅助线的构造方法，能合理选用三角函数求解直角三角形中的未知边长。
【难度系数】
0.6
