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2.如图,某航天飞船在地球表面点P的正上方A处,从A处观测到地球上的最远点Q,若$∠ QAP=α$,地球半径为R,则航天飞船距离地球表面的最近距离AP是()
A.$\frac{R}{\sin α}$
B.$\frac{R}{\sin α} - R$
C.$\frac{R}{\sin α} + R$
D.$\frac{R}{\cos α} - R$
A.$\frac{R}{\sin α}$
B.$\frac{R}{\sin α} - R$
C.$\frac{R}{\sin α} + R$
D.$\frac{R}{\cos α} - R$
答案
B
解析
【分析】
首先明确从A观测地球的最远点Q对应的视线AQ是地球的切线，根据切线的性质可得OQ⊥AQ，构造出直角三角形AOQ。接下来利用锐角三角函数中正弦的定义，结合已知的∠QAP=α和地球半径R求出AO的长度，再根据AO=AP+OP（OP为地球半径），即可推导得到AP的表达式。
【解析】
连接OQ，
∵Q是从A处观测到地球上的最远点，
∴AQ是⊙O的切线，Q为切点，根据切线的性质可得OQ⊥AQ，即∠AQO=90°。
在Rt△AOQ中，∠QAP=α，OQ=R（地球半径），
由正弦函数的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OQ}{AO}$，
∴$AO=\frac{OQ}{\sinα}=\frac{R}{\sinα}$。
又
∵AO=AP+OP，且OP=R（OP为地球半径），
∴$AP=AO-OP=\frac{R}{\sinα}-R$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；锐角三角函数；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的应用，解题的核心是将“最远观测点”的条件转化为几何中的切线关系，构造直角三角形后结合三角函数即可求解，很好地考查了实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
首先明确从A观测地球的最远点Q对应的视线AQ是地球的切线，根据切线的性质可得OQ⊥AQ，构造出直角三角形AOQ。接下来利用锐角三角函数中正弦的定义，结合已知的∠QAP=α和地球半径R求出AO的长度，再根据AO=AP+OP（OP为地球半径），即可推导得到AP的表达式。
【解析】
连接OQ，
∵Q是从A处观测到地球上的最远点，
∴AQ是⊙O的切线，Q为切点，根据切线的性质可得OQ⊥AQ，即∠AQO=90°。
在Rt△AOQ中，∠QAP=α，OQ=R（地球半径），
由正弦函数的定义：$\sinα=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{OQ}{AO}$，
∴$AO=\frac{OQ}{\sinα}=\frac{R}{\sinα}$。
又
∵AO=AP+OP，且OP=R（OP为地球半径），
∴$AP=AO-OP=\frac{R}{\sinα}-R$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；锐角三角函数；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形在实际场景中的应用，解题的核心是将“最远观测点”的条件转化为几何中的切线关系，构造直角三角形后结合三角函数即可求解，很好地考查了实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
1.如图，将秋千绳索从与竖直方向夹角为α的位置OA₁释放到OA处时，两次位置的高度差PA=h，则秋千绳索OA的长为。
答案
解：设秋千绳索OA的长为$x$，则$OA_1=OA=x$。
在$\mathrm{Rt}△ OA_1P$中，$∠ A_1OP=α$，
$\therefore \cosα=\frac{OP}{OA_1}$，即$OP = x\cosα$。
由$PA=OA-OP=h$，得：
$x - x\cosα = h$，
整理得$x(1-\cosα)=h$，
解得$x=\frac{h}{1-\cosα}$。
$\frac{h}{1-\cosα}$
在$\mathrm{Rt}△ OA_1P$中，$∠ A_1OP=α$，
$\therefore \cosα=\frac{OP}{OA_1}$，即$OP = x\cosα$。
由$PA=OA-OP=h$，得：
$x - x\cosα = h$，
整理得$x(1-\cosα)=h$，
解得$x=\frac{h}{1-\cosα}$。
$\frac{h}{1-\cosα}$
解析
【分析】
解题时首先明确秋千绳索长度不变，即$OA=OA_1$，我们可以先设绳索长度为$x$，再观察直角三角形$OA_1P$，利用锐角三角函数中余弦的定义表示出$OP$的长度，结合已知的高度差$PA=h$，即$OA - OP = h$，列出关于$x$的方程，解方程即可求出绳索长度。
【解析】
设秋千绳索$OA$的长为$x$，则$OA_1=OA=x$。
在$\mathrm{Rt}△ OA_1P$中，$∠ A_1OP=α$，
根据余弦的定义可得$\cosα=\frac{OP}{OA_1}$，即$OP = x\cosα$。
由高度差$PA=OA-OP=h$，代入可得：
$x - x\cosα = h$，
整理得$x(1-\cosα)=h$，
解得$x=\frac{h}{1-\cosα}$。
【答案】
$\frac{h}{1-\cosα}$
【知识点】
1. 余弦的定义 2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，解题的突破口是抓住绳索长度不变的隐含条件，利用直角三角形的边角关系建立等式求解，注重对基础知识和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确秋千绳索长度不变，即$OA=OA_1$，我们可以先设绳索长度为$x$，再观察直角三角形$OA_1P$，利用锐角三角函数中余弦的定义表示出$OP$的长度，结合已知的高度差$PA=h$，即$OA - OP = h$，列出关于$x$的方程，解方程即可求出绳索长度。
【解析】
设秋千绳索$OA$的长为$x$，则$OA_1=OA=x$。
在$\mathrm{Rt}△ OA_1P$中，$∠ A_1OP=α$，
根据余弦的定义可得$\cosα=\frac{OP}{OA_1}$，即$OP = x\cosα$。
由高度差$PA=OA-OP=h$，代入可得：
$x - x\cosα = h$，
整理得$x(1-\cosα)=h$，
解得$x=\frac{h}{1-\cosα}$。
【答案】
$\frac{h}{1-\cosα}$
【知识点】
1. 余弦的定义 2. 解直角三角形的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查解直角三角形的应用，解题的突破口是抓住绳索长度不变的隐含条件，利用直角三角形的边角关系建立等式求解，注重对基础知识和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
2.如图,小明将两根长度相等的刚性直铁丝的一端固定于点O,制成了一个可活动的工具,用它测量一个厚壁玻璃罐的内径AB.已知$OA=OB=20\ \mathrm{cm}$,$∠ AOB=32°$,则AB的长约为 cm.($\sin 16°\approx0.28$,$\tan 16°\approx0.29$,$\sin 32°\approx0.53$,$\tan 32°\approx0.62$)
答案
解：过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，
∴AC=BC，∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 16°，
在Rt△AOC中，$AC = OA·\sin∠ AOC \approx 20×0.28 = 5.6\ \mathrm{cm}$，
∴$AB = 2AC \approx 2×5.6 = 11.2\ \mathrm{cm}$。
答：AB的长约为11.2 cm。
∵OA=OB，
∴AC=BC，∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = 16°，
在Rt△AOC中，$AC = OA·\sin∠ AOC \approx 20×0.28 = 5.6\ \mathrm{cm}$，
∴$AB = 2AC \approx 2×5.6 = 11.2\ \mathrm{cm}$。
答：AB的长约为11.2 cm。
解析
【分析】
首先观察到△OAB是OA=OB的等腰三角形，要计算底边AB的长度，可利用等腰三角形三线合一的性质，过点O作AB的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，把已知的32°顶角平分为两个16°的锐角，再在直角三角形中借助锐角三角函数求出AB长度的一半，最后乘2即可得到AB的总长。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴AC=BC，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×32°=16°$，
在Rt△AOC中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}$，
∴$AC=OA·\sin16°\approx20×0.28=5.6\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=2AC\approx2×5.6=11.2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
11.2
【知识点】
等腰三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景，考查等腰三角形性质和解直角三角形的综合应用，解题关键是通过作辅助线将等腰三角形问题转化为直角三角形问题，是典型的三角函数实际应用类基础题。
【难度系数】
0.7
首先观察到△OAB是OA=OB的等腰三角形，要计算底边AB的长度，可利用等腰三角形三线合一的性质，过点O作AB的垂线，将等腰三角形拆分为两个全等的直角三角形，把已知的32°顶角平分为两个16°的锐角，再在直角三角形中借助锐角三角函数求出AB长度的一半，最后乘2即可得到AB的总长。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，
∵OA=OB，OC⊥AB，
∴AC=BC，$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×32°=16°$，
在Rt△AOC中，$\sin∠ AOC=\frac{AC}{OA}$，
∴$AC=OA·\sin16°\approx20×0.28=5.6\ \mathrm{cm}$，
∴$AB=2AC\approx2×5.6=11.2\ \mathrm{cm}$。
【答案】
11.2
【知识点】
等腰三角形性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题结合实际测量场景，考查等腰三角形性质和解直角三角形的综合应用，解题关键是通过作辅助线将等腰三角形问题转化为直角三角形问题，是典型的三角函数实际应用类基础题。
【难度系数】
0.7
3.由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中，∠A=30°，tan B=
，AC=2√3，求AB的长”。小南查找了书本提供的答案：AB=5，通过计算得知污渍部分的内容是。
，AC=2√3，求AB的长”。小南查找了书本提供的答案：AB=5，通过计算得知污渍部分的内容是。答案
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴CD = AC·sin30° = 2√3 × 1/2 = √3，
AD = AC·cos30° = 2√3 × √3/2 = 3。
∵AB=5，
∴BD = AB - AD = 5 - 3 = 2。
在Rt△BCD中，tanB = CD/BD = √3/2。
答：污渍部分的内容是$\tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴CD = AC·sin30° = 2√3 × 1/2 = √3，
AD = AC·cos30° = 2√3 × √3/2 = 3。
∵AB=5，
∴BD = AB - AD = 5 - 3 = 2。
在Rt△BCD中，tanB = CD/BD = √3/2。
答：污渍部分的内容是$\tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
要得到污渍处的tanB的值，我们可以通过构造直角三角形求解：首先过点C作AB的垂线，将斜△ABC拆分为两个直角三角形；再在含30°角的Rt△ACD中，利用锐角三角函数求出CD、AD的长度；接着结合已知AB的长度算出BD的长度；最后在Rt△BCD中根据正切的定义计算tanB的值，即为污渍部分的内容。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴$CD = AC·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
∵AB=5，
∴$BD = AB - AD = 5 - 3 = 2$。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题以趣味的污渍遮挡题目为载体，考查解直角三角形的应用，解题关键是通过作高构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解，能有效考查学生对锐角三角函数相关知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
要得到污渍处的tanB的值，我们可以通过构造直角三角形求解：首先过点C作AB的垂线，将斜△ABC拆分为两个直角三角形；再在含30°角的Rt△ACD中，利用锐角三角函数求出CD、AD的长度；接着结合已知AB的长度算出BD的长度；最后在Rt△BCD中根据正切的定义计算tanB的值，即为污渍部分的内容。
【解析】
过点C作CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴$CD = AC·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
∵AB=5，
∴$BD = AB - AD = 5 - 3 = 2$。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\tan B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数定义，直角三角形边角关系
【点评】
本题以趣味的污渍遮挡题目为载体，考查解直角三角形的应用，解题关键是通过作高构造直角三角形，将斜三角形问题转化为直角三角形问题求解，能有效考查学生对锐角三角函数相关知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
4.如图,这是某型号手臂机器人示意图,OA是垂直于工作台的移动基座,AB,BC分别为机器人的大、小臂,其中小臂$BC=2$ m,大臂$AB=3$ m,移动基座$AO=3$ m,其工作时某个时刻$∠ ABC=83°$,$∠ BAO=120°$,则点C到工作台EF的距离为 m.(结果精确到0.1 m,参考数据:$\sin 37°=0.6$,$\cos 37°=0.8$,$\tan 37°=0.75$)
答案
解：
过点A作AM//EF，过点B作BG⊥AM于G，过点B作BH//EF，过点C作CH⊥BH于H。
∵ OA⊥EF，
∴ OA⊥AM，∠OAM=90°，
∵ ∠BAO=120°，
∴ ∠BAG=∠BAO - ∠OAM=30°。
在Rt△ABG中，AB=3 m，
$BG = AB·\sin30° = 3×\frac{1}{2} = 1.5\ \mathrm{m}$。
∵ AM//BH，
∴ ∠ABG=∠BAG=30°，
又∵ ∠ABC=83°，
∴ ∠CBH=∠ABC - ∠ABG=83°-30°=53°。
在Rt△BCH中，BC=2 m，
$CH = BC·\sin53° = BC·\cos37° = 2×0.8 = 1.6\ \mathrm{m}$。
∴ 点C到工作台EF的距离为 $AO + BG + CH = 3 + 1.5 + 1.6 = 6.1\ \mathrm{m}$。
答：点C到工作台EF的距离为$\boldsymbol{6.1}$ m。
过点A作AM//EF，过点B作BG⊥AM于G，过点B作BH//EF，过点C作CH⊥BH于H。
∵ OA⊥EF，
∴ OA⊥AM，∠OAM=90°，
∵ ∠BAO=120°，
∴ ∠BAG=∠BAO - ∠OAM=30°。
在Rt△ABG中，AB=3 m，
$BG = AB·\sin30° = 3×\frac{1}{2} = 1.5\ \mathrm{m}$。
∵ AM//BH，
∴ ∠ABG=∠BAG=30°，
又∵ ∠ABC=83°，
∴ ∠CBH=∠ABC - ∠ABG=83°-30°=53°。
在Rt△BCH中，BC=2 m，
$CH = BC·\sin53° = BC·\cos37° = 2×0.8 = 1.6\ \mathrm{m}$。
∴ 点C到工作台EF的距离为 $AO + BG + CH = 3 + 1.5 + 1.6 = 6.1\ \mathrm{m}$。
答：点C到工作台EF的距离为$\boldsymbol{6.1}$ m。
解析
【分析】
要求点C到工作台EF的距离，可通过作辅助线将该距离拆分为已知长度AO、点B相对点A的竖直高度、点C相对点B的竖直高度三部分之和。首先过点A作平行于EF的水平线，过点B作该水平线的垂线，利用已知的∠BAO=120°求出直角三角形中的锐角，用三角函数求出点B相对A的竖直高度；再根据∠ABC=83°求出点C、B所在直角三角形的锐角，用三角函数求出点C相对B的竖直高度；最后将三段竖直长度相加即可得到所求距离。
【解析】
过点A作AM//EF，过点B作BG⊥AM于G，过点B作BH//EF，过点C作CH⊥BH于H。
∵ OA⊥EF，AM//EF，
∴ OA⊥AM，即∠OAM=90°，
又
∵ ∠BAO=120°，
∴ ∠BAG = ∠BAO - ∠OAM = 120° - 90° = 30°。
在Rt△ABG中，AB=3 m，
∴ $BG = AB·\sin30° = 3×\frac{1}{2} = 1.5\ \mathrm{m}$。
∵ AM//BH，
∴ ∠ABG = ∠BAG = 30°，
又
∵ ∠ABC=83°，
∴ ∠CBH = ∠ABC - ∠ABG = 83° - 30° = 53°。
在Rt△BCH中，BC=2 m，$\sin53°=\cos37°=0.8$，
∴ $CH = BC·\sin53° = 2×0.8 = 1.6\ \mathrm{m}$。
∴ 点C到工作台EF的距离为 $AO + BG + CH = 3 + 1.5 + 1.6 = 6.1\ \mathrm{m}$。
【答案】
6.1
【知识点】
解直角三角形的应用；平行线的性质；锐角三角函数
【点评】
本题结合手臂机器人的实际场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是合理作辅助线，将所求的竖直距离转化为几条可求线段的和，同时需要熟练运用锐角三角函数的定义进行边长计算。
【难度系数】
0.6
要求点C到工作台EF的距离，可通过作辅助线将该距离拆分为已知长度AO、点B相对点A的竖直高度、点C相对点B的竖直高度三部分之和。首先过点A作平行于EF的水平线，过点B作该水平线的垂线，利用已知的∠BAO=120°求出直角三角形中的锐角，用三角函数求出点B相对A的竖直高度；再根据∠ABC=83°求出点C、B所在直角三角形的锐角，用三角函数求出点C相对B的竖直高度；最后将三段竖直长度相加即可得到所求距离。
【解析】
过点A作AM//EF，过点B作BG⊥AM于G，过点B作BH//EF，过点C作CH⊥BH于H。
∵ OA⊥EF，AM//EF，
∴ OA⊥AM，即∠OAM=90°，
又
∵ ∠BAO=120°，
∴ ∠BAG = ∠BAO - ∠OAM = 120° - 90° = 30°。
在Rt△ABG中，AB=3 m，
∴ $BG = AB·\sin30° = 3×\frac{1}{2} = 1.5\ \mathrm{m}$。
∵ AM//BH，
∴ ∠ABG = ∠BAG = 30°，
又
∵ ∠ABC=83°，
∴ ∠CBH = ∠ABC - ∠ABG = 83° - 30° = 53°。
在Rt△BCH中，BC=2 m，$\sin53°=\cos37°=0.8$，
∴ $CH = BC·\sin53° = 2×0.8 = 1.6\ \mathrm{m}$。
∴ 点C到工作台EF的距离为 $AO + BG + CH = 3 + 1.5 + 1.6 = 6.1\ \mathrm{m}$。
【答案】
6.1
【知识点】
解直角三角形的应用；平行线的性质；锐角三角函数
【点评】
本题结合手臂机器人的实际场景考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是合理作辅助线，将所求的竖直距离转化为几条可求线段的和，同时需要熟练运用锐角三角函数的定义进行边长计算。
【难度系数】
0.6
5.如图，$\odot O$是地球示意图，AB表示赤道，太阳光线$l_1// l_2$，地平面$l_3$与$\odot O$相切.某时刻某地纬度$∠ 1=32°$，太阳光直射纬度$∠ 2=23°$，则太阳光线与地平面的夹角$∠ 3$的度数为（）
A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$35°$
A.$50°$
B.$45°$
C.$40°$
D.$35°$
答案
D
解析
【分析】
求解本题需结合切线性质、平行线性质及角度和差关系推导：首先根据圆的切线性质，地平面与过切点的半径垂直，因此地平面和半径OB的夹角为90°；再根据平行线的同位角相等，得到太阳光线l₁与赤道AB的夹角等于∠2；结合当地纬度∠1可求出太阳光线和半径OB的夹角，最后利用直角的角度和差关系即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵地平面$l_3$与$\odot O$相切于点B，OB是$\odot O$的半径，
∴$OB ⊥ l_3$，即OB与$l_3$的夹角为$90°$。
∵$l_1 // l_2$，根据平行线同位角相等的性质，可得$l_1$与赤道AB的夹角等于$∠ 2=23°$。
又
∵$∠ 1=32°$，即OB与赤道AB的夹角为$32°$，
∴太阳光线$l_1$与OB的夹角为$∠ 1+∠ 2=32°+23°=55°$。
∵$OB ⊥ l_3$，
∴$∠ 3=90°-55°=35°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合生活实际考查几何性质的综合应用，解题的关键是找准角度间的数量关系，将实际条件转化为几何中的角度关系求解，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
求解本题需结合切线性质、平行线性质及角度和差关系推导：首先根据圆的切线性质，地平面与过切点的半径垂直，因此地平面和半径OB的夹角为90°；再根据平行线的同位角相等，得到太阳光线l₁与赤道AB的夹角等于∠2；结合当地纬度∠1可求出太阳光线和半径OB的夹角，最后利用直角的角度和差关系即可求出∠3的度数。
【解析】
解：
∵地平面$l_3$与$\odot O$相切于点B，OB是$\odot O$的半径，
∴$OB ⊥ l_3$，即OB与$l_3$的夹角为$90°$。
∵$l_1 // l_2$，根据平行线同位角相等的性质，可得$l_1$与赤道AB的夹角等于$∠ 2=23°$。
又
∵$∠ 1=32°$，即OB与赤道AB的夹角为$32°$，
∴太阳光线$l_1$与OB的夹角为$∠ 1+∠ 2=32°+23°=55°$。
∵$OB ⊥ l_3$，
∴$∠ 3=90°-55°=35°$。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质，平行线的性质，角度计算
【点评】
本题结合生活实际考查几何性质的综合应用，解题的关键是找准角度间的数量关系，将实际条件转化为几何中的角度关系求解，能有效锻炼学生将数学知识应用到实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
