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例1 如图所示，热气球探测器在摩天大楼A点处，B为楼顶一点，C为楼底一点，AD为水平线，EF为经过点A的铅垂线，则下列说法正确的有()
①∠1为仰角；②∠2为仰角；③∠3为俯角；④∠4为俯角.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【思路导析】向上看，视线与水平线的夹角叫仰角.向下看，视线与水平线的夹角叫俯角.
【请你解答】.
知识点二 方向角
①∠1为仰角；②∠2为仰角；③∠3为俯角；④∠4为俯角.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【思路导析】向上看，视线与水平线的夹角叫仰角.向下看，视线与水平线的夹角叫俯角.
【请你解答】.
知识点二 方向角
答案
B
解析
【分析】
首先明确仰角和俯角的定义：仰角是向上看时，视线与水平线的夹角；俯角是向下看时，视线与水平线的夹角。本题中水平线为AD，铅垂线为EF，我们只需逐个判断四个角是否符合仰角或俯角的定义即可。第一步先判断∠1和∠2：看目标B点属于向上看，只有视线AB与水平线AD的夹角才是仰角，因此∠1是视线与铅垂线的夹角，不符合定义；∠2符合仰角定义。第二步判断∠3和∠4：看目标C点属于向下看，只有视线AC与水平线AD的夹角才是俯角，因此∠4是视线与铅垂线的夹角，不符合定义；∠3符合俯角定义，最终统计正确说法的个数即可。
【解析】
根据仰角、俯角的定义：仰角是视线在水平线以上时，视线与水平线的夹角；俯角是视线在水平线以下时，视线与水平线的夹角，本题中水平线为AD：
①∠1是视线AB与铅垂线EF的夹角，不是与水平线的夹角，不属于仰角，①错误；
②∠2是向上看B点时，视线AB与水平线AD的夹角，属于仰角，②正确；
③∠3是向下看C点时，视线AC与水平线AD的夹角，属于俯角，③正确；
④∠4是视线AC与铅垂线EF的夹角，不是与水平线的夹角，不属于俯角，④错误。
综上，正确的说法有2个。
【答案】
B
【知识点】
仰角的定义、俯角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是明确仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，不要误将视线与铅垂线的夹角当作仰角或俯角，牢记定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先明确仰角和俯角的定义：仰角是向上看时，视线与水平线的夹角；俯角是向下看时，视线与水平线的夹角。本题中水平线为AD，铅垂线为EF，我们只需逐个判断四个角是否符合仰角或俯角的定义即可。第一步先判断∠1和∠2：看目标B点属于向上看，只有视线AB与水平线AD的夹角才是仰角，因此∠1是视线与铅垂线的夹角，不符合定义；∠2符合仰角定义。第二步判断∠3和∠4：看目标C点属于向下看，只有视线AC与水平线AD的夹角才是俯角，因此∠4是视线与铅垂线的夹角，不符合定义；∠3符合俯角定义，最终统计正确说法的个数即可。
【解析】
根据仰角、俯角的定义：仰角是视线在水平线以上时，视线与水平线的夹角；俯角是视线在水平线以下时，视线与水平线的夹角，本题中水平线为AD：
①∠1是视线AB与铅垂线EF的夹角，不是与水平线的夹角，不属于仰角，①错误；
②∠2是向上看B点时，视线AB与水平线AD的夹角，属于仰角，②正确；
③∠3是向下看C点时，视线AC与水平线AD的夹角，属于俯角，③正确；
④∠4是视线AC与铅垂线EF的夹角，不是与水平线的夹角，不属于俯角，④错误。
综上，正确的说法有2个。
【答案】
B
【知识点】
仰角的定义、俯角的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是明确仰角和俯角都是视线与水平线的夹角，不要误将视线与铅垂线的夹角当作仰角或俯角，牢记定义即可快速解题。
【难度系数】
0.8
例2 一艘轮船在A处测得灯塔B在北偏东$60°$方向上，且距灯塔60海里，该船从A处出发向正东航行，则它在航行过程中离灯塔最近的距离为多少？
【思路导析】垂线段最短.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】垂线段最短.
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：过点B作BC⊥AC于点C，根据垂线段最短，线段BC的长即为轮船航行过程中离灯塔的最近距离。
由题意得：$AB=60$海里，$∠ BAC=90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore BC = AB·\sin∠ BAC = 60×\sin30° = 60×\frac{1}{2}=30$（海里）。
答：它在航行过程中离灯塔最近的距离为30海里。
由题意得：$AB=60$海里，$∠ BAC=90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore BC = AB·\sin∠ BAC = 60×\sin30° = 60×\frac{1}{2}=30$（海里）。
答：它在航行过程中离灯塔最近的距离为30海里。
解析
【分析】
要解决轮船航行过程中离灯塔的最近距离问题，首先依据“点到直线的所有连线中，垂线段最短”的性质，确定过灯塔B向轮船航行的正东方向直线作垂线，所得垂线段的长度就是所求最短距离。接下来结合题目给出的方位角，计算出直角三角形中对应锐角的度数，最后利用直角三角形的边角关系计算垂线段长度即可。
【解析】
过点B作BC⊥AC于点C，根据垂线段最短，线段BC的长即为轮船航行过程中离灯塔的最近距离。
由题意得：$AB=60$海里，$∠ BAC=90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore BC = AB·\sin∠ BAC = 60×\sin30° = 60×\frac{1}{2}=30$（海里）。
【答案】
30海里
【知识点】
垂线段性质；解直角三角形；方位角应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用题，核心是将实际问题转化为几何问题，先利用垂线段性质确定最短距离对应的线段，再结合方位角得到直角三角形的内角，最终通过直角三角形的边角关系求解，能够考查学生的转化思想和知识实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决轮船航行过程中离灯塔的最近距离问题，首先依据“点到直线的所有连线中，垂线段最短”的性质，确定过灯塔B向轮船航行的正东方向直线作垂线，所得垂线段的长度就是所求最短距离。接下来结合题目给出的方位角，计算出直角三角形中对应锐角的度数，最后利用直角三角形的边角关系计算垂线段长度即可。
【解析】
过点B作BC⊥AC于点C，根据垂线段最短，线段BC的长即为轮船航行过程中离灯塔的最近距离。
由题意得：$AB=60$海里，$∠ BAC=90°-60°=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，
$\therefore BC = AB·\sin∠ BAC = 60×\sin30° = 60×\frac{1}{2}=30$（海里）。
【答案】
30海里
【知识点】
垂线段性质；解直角三角形；方位角应用
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用题，核心是将实际问题转化为几何问题，先利用垂线段性质确定最短距离对应的线段，再结合方位角得到直角三角形的内角，最终通过直角三角形的边角关系求解，能够考查学生的转化思想和知识实际应用能力。
【难度系数】
0.7
例3 如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东$60°$方向,与灯塔P的距离为80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东$45°$方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号).
【探究点拨】过点P作$PC⊥AB$,将问题转化为在两个直角三角形中求解.
【规范解答】过点P作$PC⊥AB$,垂足为C,则$∠APC=30°,∠BPC=45°,AP=80$.
在$Rt△APC$中,$\cos∠APC=\frac{PC}{PA}$,
$PC=PA·\cos∠APC=40\sqrt{3}$.
在$Rt△PCB$中,$\cos∠BPC=\frac{PC}{PB}$,
$PB=\frac{PC}{\cos∠BPC}=\frac{40\sqrt{3}}{\cos45°}=40\sqrt{6}$.
∴ 当轮船位于灯塔P南偏东$45°$方向时,轮船与灯塔P的距离是$40\sqrt{6}$海里.
变式探究
【探究点拨】过点P作$PC⊥AB$,将问题转化为在两个直角三角形中求解.
【规范解答】过点P作$PC⊥AB$,垂足为C,则$∠APC=30°,∠BPC=45°,AP=80$.
在$Rt△APC$中,$\cos∠APC=\frac{PC}{PA}$,
$PC=PA·\cos∠APC=40\sqrt{3}$.
在$Rt△PCB$中,$\cos∠BPC=\frac{PC}{PB}$,
$PB=\frac{PC}{\cos∠BPC}=\frac{40\sqrt{3}}{\cos45°}=40\sqrt{6}$.
∴ 当轮船位于灯塔P南偏东$45°$方向时,轮船与灯塔P的距离是$40\sqrt{6}$海里.
变式探究
答案
解：
过点P作$PC⊥ AB$，垂足为C，
由题意得$∠ APC=30°$，$∠ BPC=45°$，$AP=80$海里。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，
$\cos∠ APC=\frac{PC}{PA}$，
$PC=PA·\cos∠ APC=80×\cos30°=40\sqrt{3}$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ PCB$中，
$\cos∠ BPC=\frac{PC}{PB}$，
$PB=\frac{PC}{\cos∠ BPC}=\frac{40\sqrt{3}}{\cos45°}=40\sqrt{6}$（海里）。
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离为$40\sqrt{6}$海里。
过点P作$PC⊥ AB$，垂足为C，
由题意得$∠ APC=30°$，$∠ BPC=45°$，$AP=80$海里。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，
$\cos∠ APC=\frac{PC}{PA}$，
$PC=PA·\cos∠ APC=80×\cos30°=40\sqrt{3}$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ PCB$中，
$\cos∠ BPC=\frac{PC}{PB}$，
$PB=\frac{PC}{\cos∠ BPC}=\frac{40\sqrt{3}}{\cos45°}=40\sqrt{6}$（海里）。
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离为$40\sqrt{6}$海里。
解析
【分析】
这是一道利用解直角三角形解决方向角问题的实际应用题，首先原图形无直接可用的直角三角形，因此优先作辅助线构造直角三角形：过点P作$PC⊥AB$，将原三角形拆分为两个含特殊角的直角三角形。第一步先在$\mathrm{Rt}△APC$中，利用已知的$PA$长度和$∠ APC$的度数，结合余弦的定义求出两个直角三角形的公共边$PC$的长；第二步再在$\mathrm{Rt}△PCB$中，利用$∠ BPC=45°$和已求出的$PC$长，再次使用余弦定义即可求出$PB$的长度，也就是B处到灯塔P的距离。
【解析】
过点P作$PC⊥ AB$，垂足为C，
由题意得$∠ APC=30°$，$∠ BPC=45°$，$AP=80$海里。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，
$\cos∠ APC=\frac{PC}{PA}$，
$PC=PA·\cos∠ APC=80×\cos30°=40\sqrt{3}$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ PCB$中，
$\cos∠ BPC=\frac{PC}{PB}$，
$PB=\frac{PC}{\cos∠ BPC}=\frac{40\sqrt{3}}{\cos45°}=40\sqrt{6}$（海里）。
【答案】
此时轮船所在的B处与灯塔P的距离为$40\sqrt{6}$海里。
【知识点】
解直角三角形应用，方向角，锐角三角函数
【点评】
本题是方向角类解直角三角形的典型题型，解题关键是通过作高构造直角三角形，借助公共边串联两个直角三角形的边角条件，结合特殊角的三角函数值求解，解题时要注意理清边角的对应关系。
【难度系数】
0.7
这是一道利用解直角三角形解决方向角问题的实际应用题，首先原图形无直接可用的直角三角形，因此优先作辅助线构造直角三角形：过点P作$PC⊥AB$，将原三角形拆分为两个含特殊角的直角三角形。第一步先在$\mathrm{Rt}△APC$中，利用已知的$PA$长度和$∠ APC$的度数，结合余弦的定义求出两个直角三角形的公共边$PC$的长；第二步再在$\mathrm{Rt}△PCB$中，利用$∠ BPC=45°$和已求出的$PC$长，再次使用余弦定义即可求出$PB$的长度，也就是B处到灯塔P的距离。
【解析】
过点P作$PC⊥ AB$，垂足为C，
由题意得$∠ APC=30°$，$∠ BPC=45°$，$AP=80$海里。
在$\mathrm{Rt}△ APC$中，
$\cos∠ APC=\frac{PC}{PA}$，
$PC=PA·\cos∠ APC=80×\cos30°=40\sqrt{3}$（海里）。
在$\mathrm{Rt}△ PCB$中，
$\cos∠ BPC=\frac{PC}{PB}$，
$PB=\frac{PC}{\cos∠ BPC}=\frac{40\sqrt{3}}{\cos45°}=40\sqrt{6}$（海里）。
【答案】
此时轮船所在的B处与灯塔P的距离为$40\sqrt{6}$海里。
【知识点】
解直角三角形应用，方向角，锐角三角函数
【点评】
本题是方向角类解直角三角形的典型题型，解题关键是通过作高构造直角三角形，借助公共边串联两个直角三角形的边角条件，结合特殊角的三角函数值求解，解题时要注意理清边角的对应关系。
【难度系数】
0.7
如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔DB的高度,他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为$45°$,再沿着BA方向后退20 m至C处,测得古塔顶端点D的仰角为$30°$,求该古塔DB的高度($\sqrt{3}≈1.732$,结果保留一位小数).
答案
解：设古塔DB的高度为$x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，$DB⊥ BC$，$∠ DAB=45°$，$∠ C=30°$，$CA=20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$∠ DAB=45°$，
$\therefore AB = DB = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD=90°$，$∠ C=30°$，
由$\tan C = \dfrac{DB}{BC}$，得$\tan30° = \dfrac{x}{BC}$，
$\therefore BC = \dfrac{x}{\tan30°} = \sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
又$\because BC - AB = AC = 20\ \mathrm{m}$，
$\therefore \sqrt{3}x - x = 20$，
解得$x = \dfrac{20}{\sqrt{3}-1} = 10(\sqrt{3}+1) \approx 10×(1.732+1) \approx 27.3$。
答：该古塔DB的高度约为$27.3\ \mathrm{m}$。
由题意可知，$DB⊥ BC$，$∠ DAB=45°$，$∠ C=30°$，$CA=20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$∠ DAB=45°$，
$\therefore AB = DB = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD=90°$，$∠ C=30°$，
由$\tan C = \dfrac{DB}{BC}$，得$\tan30° = \dfrac{x}{BC}$，
$\therefore BC = \dfrac{x}{\tan30°} = \sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
又$\because BC - AB = AC = 20\ \mathrm{m}$，
$\therefore \sqrt{3}x - x = 20$，
解得$x = \dfrac{20}{\sqrt{3}-1} = 10(\sqrt{3}+1) \approx 10×(1.732+1) \approx 27.3$。
答：该古塔DB的高度约为$27.3\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这是一道利用解直角三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先确定图中存在两个共直角边DB的直角三角形Rt△ABD和Rt△BCD，已知两个仰角的度数和AC的长度，我们可以设古塔高度DB为x m；先利用Rt△ABD中45°角的性质，得到AB=DB=x；再在Rt△BCD中利用30°角的正切值，用含x的式子表示出BC的长度；最后根据BC-AB=AC=20m的等量关系列方程，求解即可得到DB的高度。
【解析】
设古塔DB的高度为$x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，$DB⊥ BC$，$∠ DAB=45°$，$∠ C=30°$，$CA=20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$∠ DAB=45°$，
$\therefore AB = DB = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD=90°$，$∠ C=30°$，
由$\tan C = \dfrac{DB}{BC}$，得$\tan30° = \dfrac{x}{BC}$，
$\therefore BC = \dfrac{x}{\tan30°} = \sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
又$\because BC - AB = AC = 20\ \mathrm{m}$，
$\therefore \sqrt{3}x - x = 20$，
解得$x = \dfrac{20}{\sqrt{3}-1} = 10(\sqrt{3}+1) \approx 10×(1.732+1) \approx 27.3$。
【答案】
该古塔DB的高度约为$27.3\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 特殊角三角函数值
3. 仰角问题
【点评】
本题是三角函数实际应用的典型题型，核心是借助两个共直角边的直角三角形，找到边长之间的数量关系，通过设未知数列方程求解，很好地考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道利用解直角三角形测量高度的实际应用题，解题思路如下：首先确定图中存在两个共直角边DB的直角三角形Rt△ABD和Rt△BCD，已知两个仰角的度数和AC的长度，我们可以设古塔高度DB为x m；先利用Rt△ABD中45°角的性质，得到AB=DB=x；再在Rt△BCD中利用30°角的正切值，用含x的式子表示出BC的长度；最后根据BC-AB=AC=20m的等量关系列方程，求解即可得到DB的高度。
【解析】
设古塔DB的高度为$x\ \mathrm{m}$。
由题意可知，$DB⊥ BC$，$∠ DAB=45°$，$∠ C=30°$，$CA=20\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD=90°$，$∠ DAB=45°$，
$\therefore AB = DB = x\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ CBD=90°$，$∠ C=30°$，
由$\tan C = \dfrac{DB}{BC}$，得$\tan30° = \dfrac{x}{BC}$，
$\therefore BC = \dfrac{x}{\tan30°} = \sqrt{3}x\ \mathrm{m}$。
又$\because BC - AB = AC = 20\ \mathrm{m}$，
$\therefore \sqrt{3}x - x = 20$，
解得$x = \dfrac{20}{\sqrt{3}-1} = 10(\sqrt{3}+1) \approx 10×(1.732+1) \approx 27.3$。
【答案】
该古塔DB的高度约为$27.3\ \mathrm{m}$。
【知识点】
1. 解直角三角形应用
2. 特殊角三角函数值
3. 仰角问题
【点评】
本题是三角函数实际应用的典型题型，核心是借助两个共直角边的直角三角形，找到边长之间的数量关系，通过设未知数列方程求解，很好地考查了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
