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1.某人从点A看点B的仰角为$30°$，那么从点B看点A的俯角为。
答案
解：根据仰角与俯角的定义，过点A的水平线和过点B的水平线互相平行，从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角是一组内错角，由两直线平行，内错角相等，可知两个角大小相等。
因此从点B看点A的俯角为$30°$。
答：$30°$。
因此从点B看点A的俯角为$30°$。
答：$30°$。
解析
【分析】
解题时首先回忆仰角和俯角的定义：仰角是观测点的视线在水平线以上时，视线与水平线的夹角；俯角是观测点的视线在水平线以下时，视线与水平线的夹角。过点A和点B的水平线是互相平行的，两点的视线是公共截线，此时从A看B的仰角和从B看A的俯角是一组内错角，根据平行线内错角相等的性质，就能得到两个角的大小相等，即可求出俯角的度数。
【解析】
根据仰角与俯角的定义，过点A的水平线和过点B的水平线互相平行，从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角是一组内错角，由两直线平行，内错角相等，可知两个角大小相等。
因此从点B看点A的俯角为$30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
1.仰角与俯角的定义 2.平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是明确仰角、俯角的形成逻辑，结合平行线的性质即可快速求解，解题时要注意区分两个角的观测方向，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆仰角和俯角的定义：仰角是观测点的视线在水平线以上时，视线与水平线的夹角；俯角是观测点的视线在水平线以下时，视线与水平线的夹角。过点A和点B的水平线是互相平行的，两点的视线是公共截线，此时从A看B的仰角和从B看A的俯角是一组内错角，根据平行线内错角相等的性质，就能得到两个角的大小相等，即可求出俯角的度数。
【解析】
根据仰角与俯角的定义，过点A的水平线和过点B的水平线互相平行，从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角是一组内错角，由两直线平行，内错角相等，可知两个角大小相等。
因此从点B看点A的俯角为$30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
1.仰角与俯角的定义 2.平行线的性质
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心是明确仰角、俯角的形成逻辑，结合平行线的性质即可快速求解，解题时要注意区分两个角的观测方向，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.9
2.如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3 m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10 s.同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°,B处的仰角为30°,则这架无人机的飞行高度大约是 m (√3≈1.732,结果保留整数).
答案
解：
由题意得：$AB = 3 × 10 = 30\ \mathrm{m}$。
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE ⊥$地面水平线，垂足为$E$，则$BE$即为无人机的飞行高度，且$A$、$B$两点到地面的竖直高度相等。
$\because AB //$地面水平线，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BCE = 30°$，
又$∠ ACB = 75° - 30° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD = 30°$：
$AD = AB · \sin30° = 30 × \frac{1}{2} = 15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD = 45°$：
$AC = \frac{AD}{\sin45°} = 15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE = 75°$，且$\sin75° = \sin(45°+30°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$：
$\begin{aligned}BE = AE &= AC · \sin75° \\&= 15\sqrt{2} × \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\&= \frac{15(\sqrt{3}+1)}{2} \\&\approx \frac{15 × (1.732 + 1)}{2} \approx 20\end{aligned}$
答：这架无人机的飞行高度大约是$\boldsymbol{20}$ m。
由题意得：$AB = 3 × 10 = 30\ \mathrm{m}$。
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE ⊥$地面水平线，垂足为$E$，则$BE$即为无人机的飞行高度，且$A$、$B$两点到地面的竖直高度相等。
$\because AB //$地面水平线，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BCE = 30°$，
又$∠ ACB = 75° - 30° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD = 30°$：
$AD = AB · \sin30° = 30 × \frac{1}{2} = 15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD = 45°$：
$AC = \frac{AD}{\sin45°} = 15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE = 75°$，且$\sin75° = \sin(45°+30°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$：
$\begin{aligned}BE = AE &= AC · \sin75° \\&= 15\sqrt{2} × \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\&= \frac{15(\sqrt{3}+1)}{2} \\&\approx \frac{15 × (1.732 + 1)}{2} \approx 20\end{aligned}$
答：这架无人机的飞行高度大约是$\boldsymbol{20}$ m。
解析
【分析】
解题时首先根据行程公式计算出AB的长度，再结合AB平行于地面水平线的性质，推导得到△ABC中各内角的度数；接下来通过作辅助线AD⊥BC，将斜三角形拆分为两个特殊直角三角形，利用锐角三角函数分别求出AD、AC的长度；最后根据A处的仰角，结合锐角三角函数计算出无人机的飞行高度，注意计算时按照要求取近似值。
【解析】
解：由题意得：$AB = 3 × 10 = 30\ \mathrm{m}$。
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE ⊥$地面水平线，垂足为$E$，则$BE$即为无人机的飞行高度，且$A$、$B$两点到地面的竖直高度相等。
$\because AB //$地面水平线，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BCE = 30°$，
又$∠ ACB = 75° - 30° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD = 30°$：
$AD = AB · \sin30° = 30 × \frac{1}{2} = 15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD = 45°$：
$AC = \frac{AD}{\sin45°} = 15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE = 75°$，且$\sin75° = \sin(45°+30°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$：
$\begin{aligned}BE = AE &= AC · \sin75° \\&= 15\sqrt{2} × \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\&= \frac{15(\sqrt{3}+1)}{2} \\&\approx \frac{15 × (1.732 + 1)}{2} \approx 20\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
1.解直角三角形应用 2.锐角三角函数 3.平行线性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合平行线性质推导角度关系，再利用锐角三角函数逐步计算边长，计算时要注意特殊角三角函数值的正确使用以及近似值的规范取舍。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据行程公式计算出AB的长度，再结合AB平行于地面水平线的性质，推导得到△ABC中各内角的度数；接下来通过作辅助线AD⊥BC，将斜三角形拆分为两个特殊直角三角形，利用锐角三角函数分别求出AD、AC的长度；最后根据A处的仰角，结合锐角三角函数计算出无人机的飞行高度，注意计算时按照要求取近似值。
【解析】
解：由题意得：$AB = 3 × 10 = 30\ \mathrm{m}$。
过点$A$作$AD ⊥ BC$于点$D$，过点$B$作$BE ⊥$地面水平线，垂足为$E$，则$BE$即为无人机的飞行高度，且$A$、$B$两点到地面的竖直高度相等。
$\because AB //$地面水平线，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BCE = 30°$，
又$∠ ACB = 75° - 30° = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ABD = 30°$：
$AD = AB · \sin30° = 30 × \frac{1}{2} = 15\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$∠ ACD = 45°$：
$AC = \frac{AD}{\sin45°} = 15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中，$∠ ACE = 75°$，且$\sin75° = \sin(45°+30°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$：
$\begin{aligned}BE = AE &= AC · \sin75° \\&= 15\sqrt{2} × \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\&= \frac{15(\sqrt{3}+1)}{2} \\&\approx \frac{15 × (1.732 + 1)}{2} \approx 20\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{20}$
【知识点】
1.解直角三角形应用 2.锐角三角函数 3.平行线性质
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形，结合平行线性质推导角度关系，再利用锐角三角函数逐步计算边长，计算时要注意特殊角三角函数值的正确使用以及近似值的规范取舍。
【难度系数】
0.6
3.如图所示，C岛在A岛北偏东$60°$方向，在B岛北偏西$45°$方向，则从C岛看A，B两岛的视角$∠ ACB=$。
答案
$\boldsymbol{105°}$
解析
【分析】
要计算∠ACB的度数，首先明确方向角都是以正北方向为基准的，因此A、B两点的正北方向线互相平行，这是题目的隐含条件。我们可以先利用平行线的性质求出△ABC中∠CAB与∠CBA的和，再结合三角形内角和定理即可算出∠ACB的度数。
【解析】
分别过点A、B作正北方向的射线AM、BN，由正北方向的特征可知AM//BN。
根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得：$∠ MAB + ∠ NBA = 180°$。
由题意得$∠ MAC=60°$，$∠ NBC=45°$，因此：
$∠ CAB + ∠ CBA = (∠ MAB - ∠ MAC) + (∠ NBA - ∠ NBC) = (∠ MAB + ∠ NBA) - (60° + 45°) = 180° - 105° = 75°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACB = 180° - (∠ CAB + ∠ CBA) = 180° - 75° = 105°$。
【答案】
$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
方向角、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角的基础应用题型，解题的关键是抓住正北方向线互相平行的隐含条件，结合平行线和三角形内角和的相关知识即可求解，解题思路较为固定。
【难度系数】
0.7
要计算∠ACB的度数，首先明确方向角都是以正北方向为基准的，因此A、B两点的正北方向线互相平行，这是题目的隐含条件。我们可以先利用平行线的性质求出△ABC中∠CAB与∠CBA的和，再结合三角形内角和定理即可算出∠ACB的度数。
【解析】
分别过点A、B作正北方向的射线AM、BN，由正北方向的特征可知AM//BN。
根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得：$∠ MAB + ∠ NBA = 180°$。
由题意得$∠ MAC=60°$，$∠ NBC=45°$，因此：
$∠ CAB + ∠ CBA = (∠ MAB - ∠ MAC) + (∠ NBA - ∠ NBC) = (∠ MAB + ∠ NBA) - (60° + 45°) = 180° - 105° = 75°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ ACB = 180° - (∠ CAB + ∠ CBA) = 180° - 75° = 105°$。
【答案】
$\boldsymbol{105°}$
【知识点】
方向角、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是方向角的基础应用题型，解题的关键是抓住正北方向线互相平行的隐含条件，结合平行线和三角形内角和的相关知识即可求解，解题思路较为固定。
【难度系数】
0.7
4.在一次夏令营活动中,小明同学从营地A出发,要到位于A地的北偏东$60°$方向的C处,他先沿正东方向走了200 m到达B地;再沿北偏东$30°$方向走,恰能到达目的地C(
),那么,由此可知B,C两地相距 m.
),那么,由此可知B,C两地相距 m.答案
200
解析
【分析】
解题时首先要把题目中的方向角转化为△ABC的内角：第一步，根据A处正北与正东方向垂直，结合C在A北偏东60°，算出∠BAC的度数；第二步，根据A、B两点的正北方向互相平行，AB为正东方向，结合C在B北偏东30°，算出∠ABC的度数；第三步，利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，发现∠BAC=∠ACB，根据等角对等边即可得到BC=AB，从而求出BC的长度。
【解析】
解：由方向角的定义可得：
∵ A点正北方向与正东方向互相垂直，AC在A地北偏东60°方向，
∴ ∠BAC = 90° - 60° = 30°，
∵ A、B两点的正北方向互相平行，AB为正东方向，BC在B地北偏东30°方向，
∴ ∠ABC = 90° + 30° = 120°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 30° - 120° = 30°，
∴ ∠BAC = ∠ACB，
根据等角对等边，可得BC = AB，
又
∵ AB = 200m，
∴ BC = 200m。
【答案】
200
【知识点】
方向角的识别；三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于方向角与三角形性质结合的基础应用题，解题关键是正确将实际方向角转化为三角形的内角度数，再结合等腰三角形的判定即可快速求解，需要注意方向角中“北偏东”等表述的含义。
【难度系数】
0.7
解题时首先要把题目中的方向角转化为△ABC的内角：第一步，根据A处正北与正东方向垂直，结合C在A北偏东60°，算出∠BAC的度数；第二步，根据A、B两点的正北方向互相平行，AB为正东方向，结合C在B北偏东30°，算出∠ABC的度数；第三步，利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，发现∠BAC=∠ACB，根据等角对等边即可得到BC=AB，从而求出BC的长度。
【解析】
解：由方向角的定义可得：
∵ A点正北方向与正东方向互相垂直，AC在A地北偏东60°方向，
∴ ∠BAC = 90° - 60° = 30°，
∵ A、B两点的正北方向互相平行，AB为正东方向，BC在B地北偏东30°方向，
∴ ∠ABC = 90° + 30° = 120°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
∠ACB = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 30° - 120° = 30°，
∴ ∠BAC = ∠ACB，
根据等角对等边，可得BC = AB，
又
∵ AB = 200m，
∴ BC = 200m。
【答案】
200
【知识点】
方向角的识别；三角形内角和定理；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于方向角与三角形性质结合的基础应用题，解题关键是正确将实际方向角转化为三角形的内角度数，再结合等腰三角形的判定即可快速求解，需要注意方向角中“北偏东”等表述的含义。
【难度系数】
0.7
5.如图,某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东$60°$方向直线延伸,测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东$30°$方向,测绘员沿主输气管道步行2000 m到达C处,测得小区M位于C的北偏西$60°$方向,请你在主输气管道上寻找支管道连接点N,使其到该小区铺设的管道最短,则AN的长为()
A.1 500 m
B.1 000 m
C.750 m
D.$750\sqrt{3}$ m
A.1 500 m
B.1 000 m
C.750 m
D.$750\sqrt{3}$ m
答案
A
解析
【分析】
要使到小区M铺设的管道最短，根据“点到直线的距离中垂线段最短”，需过M作主输气管道AC的垂线，垂足即为所求连接点N。接下来先通过方位角计算△AMC的内角度数，判断△AMC为直角三角形，结合AC的长度求出AM的长度，最后在直角三角形AMN中利用三角函数即可求出AN的长度。
【解析】
1. 确定最短路径：过点M作$MN⊥ AC$于点N，根据垂线段最短，此时MN为最短管道，N即为所求连接点。
2. 计算△AMC的内角：
由方位角定义可得$∠ MAC=60°-30°=30°$；
由于A、C两点的正北方向线互相平行，可得$∠ ACM=180°-60°-60°=60°$；
因此$∠ AMC=180°-30°-60°=90°$，即$△ AMC$为直角三角形。
3. 求AM的长度：
在$Rt△ AMC$中，$AC=2000\mathrm{m}$，$∠ MAC=30°$，
$\therefore AM=AC·\cos30°=2000×\frac{\sqrt{3}}{2}=1000\sqrt{3}\mathrm{m}$。
4. 求AN的长度：
在$Rt△ AMN$中，$∠ MAN=30°$，
$\therefore AN=AM·\cos30°=1000\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1500\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短；解直角三角形；方位角应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的关键是先利用垂线段最短确定点N的位置，再正确将方位角转化为三角形内角，结合三角函数求解边长，易错点为方位角对应的角度换算错误。
【难度系数】
0.7
要使到小区M铺设的管道最短，根据“点到直线的距离中垂线段最短”，需过M作主输气管道AC的垂线，垂足即为所求连接点N。接下来先通过方位角计算△AMC的内角度数，判断△AMC为直角三角形，结合AC的长度求出AM的长度，最后在直角三角形AMN中利用三角函数即可求出AN的长度。
【解析】
1. 确定最短路径：过点M作$MN⊥ AC$于点N，根据垂线段最短，此时MN为最短管道，N即为所求连接点。
2. 计算△AMC的内角：
由方位角定义可得$∠ MAC=60°-30°=30°$；
由于A、C两点的正北方向线互相平行，可得$∠ ACM=180°-60°-60°=60°$；
因此$∠ AMC=180°-30°-60°=90°$，即$△ AMC$为直角三角形。
3. 求AM的长度：
在$Rt△ AMC$中，$AC=2000\mathrm{m}$，$∠ MAC=30°$，
$\therefore AM=AC·\cos30°=2000×\frac{\sqrt{3}}{2}=1000\sqrt{3}\mathrm{m}$。
4. 求AN的长度：
在$Rt△ AMN$中，$∠ MAN=30°$，
$\therefore AN=AM·\cos30°=1000\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=1500\mathrm{m}$。
【答案】
A
【知识点】
垂线段最短；解直角三角形；方位角应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的应用，解题的关键是先利用垂线段最短确定点N的位置，再正确将方位角转化为三角形内角，结合三角函数求解边长，易错点为方位角对应的角度换算错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图，大楼AD的高为10m，远处有一塔BC，某人在楼顶D处测得塔顶B点的仰角为$30°$，塔底C点的俯角为$45°$，则塔BC的高度为()(人的身高忽略不计)
A.15 m
B.20 m
C.$(10+10\sqrt{3})\mathrm{ m}$
D.$(10+\frac{10\sqrt{3}}{3})\mathrm{ m}$
A.15 m
B.20 m
C.$(10+10\sqrt{3})\mathrm{ m}$
D.$(10+\frac{10\sqrt{3}}{3})\mathrm{ m}$
答案
D
解析
【分析】
遇到仰角、俯角的测量问题，首先通过作垂线构造直角三角形，将待求的塔高拆分为两段分别求解。第一步过D作DE垂直BC于E，可得四边形ADEC是矩形，先利用俯角45°的条件求出水平线段DE的长度，再利用仰角30°结合三角函数求出BE的长度，两段相加即可得到塔BC的高度。
【解析】
解：过点D作$DE⊥ BC$于点E，
$\because AD⊥ AC,BC⊥ AC$，
$\therefore$四边形ADEC为矩形，
$\therefore EC=AD=10\ \mathrm{m}$，$DE=AC$。
由题意得$∠ EDC=45°$，$∠ BDE=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$∠ DEC=90°$，$∠ EDC=45°$，
$\therefore DE=EC=10\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BED=90°$，$\tan∠ BDE=\frac{BE}{DE}$，
$\therefore BE=DE·\tan30°=10×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=BE+EC=10+\frac{10\sqrt{3}}{3}=(10+\frac{10\sqrt{3}}{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值；矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，解题核心是通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的计算，需要准确掌握仰角俯角的定义和特殊角的三角函数值，避免混淆三角函数值导致错选。
【难度系数】
0.7
遇到仰角、俯角的测量问题，首先通过作垂线构造直角三角形，将待求的塔高拆分为两段分别求解。第一步过D作DE垂直BC于E，可得四边形ADEC是矩形，先利用俯角45°的条件求出水平线段DE的长度，再利用仰角30°结合三角函数求出BE的长度，两段相加即可得到塔BC的高度。
【解析】
解：过点D作$DE⊥ BC$于点E，
$\because AD⊥ AC,BC⊥ AC$，
$\therefore$四边形ADEC为矩形，
$\therefore EC=AD=10\ \mathrm{m}$，$DE=AC$。
由题意得$∠ EDC=45°$，$∠ BDE=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ DEC$中，$∠ DEC=90°$，$∠ EDC=45°$，
$\therefore DE=EC=10\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，$∠ BED=90°$，$\tan∠ BDE=\frac{BE}{DE}$，
$\therefore BE=DE·\tan30°=10×\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{10\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$，
$\therefore BC=BE+EC=10+\frac{10\sqrt{3}}{3}=(10+\frac{10\sqrt{3}}{3})\ \mathrm{m}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形的应用；特殊角的三角函数值；矩形的性质
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，解题核心是通过作辅助线将问题转化为直角三角形和矩形的计算，需要准确掌握仰角俯角的定义和特殊角的三角函数值，避免混淆三角函数值导致错选。
【难度系数】
0.7
