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（1）已知圆内一点P到圆周上的点的最长距离是7 cm，最短距离是3 cm，此圆的半径是
5
cm。答案
2.(1) 5
解析
【分析】
解决本题首先要明确圆内一点到圆周上点的距离特征：过圆内该点与圆心作直线，直线与圆的两个交点到该点的距离，分别是该点到圆周的最长距离和最短距离，这两个距离的和恰好等于圆的直径。据此先求出直径，再计算半径即可。
【解析】
已知点P是圆内一点，点P到圆周的最长距离为7cm，最短距离为3cm。
根据圆内点的距离特征，圆的直径 = 最长距离 + 最短距离 = 7 + 3 = 10(cm)
因此圆的半径 = 直径÷2 = 10÷2 = 5(cm)
【答案】
5
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质；直径与半径的关系
【点评】
本题是基础类题目，解题核心是掌握圆内一点到圆周的最长距离与最短距离之和等于圆的直径这一规律，直接代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要明确圆内一点到圆周上点的距离特征：过圆内该点与圆心作直线，直线与圆的两个交点到该点的距离，分别是该点到圆周的最长距离和最短距离，这两个距离的和恰好等于圆的直径。据此先求出直径，再计算半径即可。
【解析】
已知点P是圆内一点，点P到圆周的最长距离为7cm，最短距离为3cm。
根据圆内点的距离特征，圆的直径 = 最长距离 + 最短距离 = 7 + 3 = 10(cm)
因此圆的半径 = 直径÷2 = 10÷2 = 5(cm)
【答案】
5
【知识点】
点与圆的位置关系；圆的基本性质；直径与半径的关系
【点评】
本题是基础类题目，解题核心是掌握圆内一点到圆周的最长距离与最短距离之和等于圆的直径这一规律，直接代入计算即可得到结果。
【难度系数】
0.8
(2)如图，AB是$\odot O$的直径，D是弦BC的中点。已知OD=2 cm，则弦AC=
4
cm。[第2(2)题]答案
2.(2) 4
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：AB是⊙O的直径，因此圆心O是AB的中点；又已知D是弦BC的中点，可得出OD是△ABC的中位线。再根据三角形中位线“长度等于第三边一半”的性质，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点，
又
∵D是弦BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：AC=2OD，
∵OD=2cm，
∴AC=2×2=4cm。
【答案】
4
【知识点】
圆的基本性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题，结合圆的基础性质和三角形中位线定理进行考查，解题的关键是识别出O、D分别为AB、BC的中点，从而判断出OD是中位线，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件出发：AB是⊙O的直径，因此圆心O是AB的中点；又已知D是弦BC的中点，可得出OD是△ABC的中位线。再根据三角形中位线“长度等于第三边一半”的性质，即可求出AC的长度。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，
∴O是AB的中点，
又
∵D是弦BC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：AC=2OD，
∵OD=2cm，
∴AC=2×2=4cm。
【答案】
4
【知识点】
圆的基本性质；三角形中位线定理
【点评】
本题属于基础题，结合圆的基础性质和三角形中位线定理进行考查，解题的关键是识别出O、D分别为AB、BC的中点，从而判断出OD是中位线，整体解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
3. 如图,两个同心圆的圆心为O,大圆的半径OA,OB分别交小圆于点C,D,连接AD,BC.
求证:AD=BC.
求证:AD=BC.
答案
提示:可证△OAD≌△OBC
解析
【分析】
要证明AD=BC，可通过证明两条线段所在的△OAD与△OBC全等来推导。首先根据同心圆的性质，可得大圆半径OA=OB，小圆半径OC=OD，两个三角形还有公共的夹角∠O，满足全等三角形的SAS判定条件，证得全等后即可推出对应边相等。
【解析】
证明：
∵ 两个圆的圆心均为O，属于同心圆
∴ OA、OB是大圆的半径，$\boldsymbol{OA=OB}$；OC、OD是小圆的半径，$\boldsymbol{OC=OD}$
在$△ OAD$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB（已证）\\∠AOD=∠BOC（公共角相等）\\OD=OC（已证）\end{cases}$
$\therefore △ OAD ≌ △ OBC \ (\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$AD=BC$。
【答案】
AD=BC，得证
【知识点】
1. 同心圆半径相等
2. 全等三角形SAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是结合同心圆的性质找到三角形全等的条件，通过证明三角形全等得到对应边相等，是对圆的基础性质和三角形全等知识点的常规考察。
【难度系数】
0.85
要证明AD=BC，可通过证明两条线段所在的△OAD与△OBC全等来推导。首先根据同心圆的性质，可得大圆半径OA=OB，小圆半径OC=OD，两个三角形还有公共的夹角∠O，满足全等三角形的SAS判定条件，证得全等后即可推出对应边相等。
【解析】
证明：
∵ 两个圆的圆心均为O，属于同心圆
∴ OA、OB是大圆的半径，$\boldsymbol{OA=OB}$；OC、OD是小圆的半径，$\boldsymbol{OC=OD}$
在$△ OAD$和$△ OBC$中：
$\begin{cases}OA=OB（已证）\\∠AOD=∠BOC（公共角相等）\\OD=OC（已证）\end{cases}$
$\therefore △ OAD ≌ △ OBC \ (\mathrm{SAS})$
根据全等三角形对应边相等的性质，可得$AD=BC$。
【答案】
AD=BC，得证
【知识点】
1. 同心圆半径相等
2. 全等三角形SAS判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的核心是结合同心圆的性质找到三角形全等的条件，通过证明三角形全等得到对应边相等，是对圆的基础性质和三角形全等知识点的常规考察。
【难度系数】
0.85
4. 如图，CD为$\odot O$的直径，$∠ EOD=69°$，$AE$交$\odot O$于点$B$，且$AB=OC$.求$∠ A$的度数. 
(第4题)
(第4题)答案
23°.提示:连接OB,则AB=OB=OE=OC
解析
【分析】
要求∠A的度数，首先观察已知条件：AB等于⊙O的半径OC，而圆的所有半径都相等，因此可以通过连接辅助线OB，得到多组相等的线段，进而构造等腰三角形。再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角等于不相邻两内角和的性质，将已知的∠EOD和未知的∠A建立数量关系，即可求出∠A的度数。
【解析】
连接OB，
∵ OB、OC、OE都是⊙O的半径，
∴ OB=OC=OE，
又
∵ AB=OC，
∴ AB=OB=OE，
在△ABO中，AB=OB，
∴ ∠A=∠AOB（等边对等角），
∵ ∠OBE是△ABO的外角，
∴ ∠OBE=∠A+∠AOB=2∠A，
在△OBE中，OB=OE，
∴ ∠OEB=∠OBE=2∠A，
∵ ∠EOD是△AOE的外角，
∴ ∠EOD=∠A+∠OEB=∠A+2∠A=3∠A，
已知∠EOD=69°，
∴ 3∠A=69°，
解得∠A=23°。
【答案】
23°
【知识点】
1. 圆的半径相等
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关的基础角度计算题，解题的核心是通过连接半径构造等腰三角形，将线段相等的条件转化为角度相等的关系，再结合三角形外角性质建立方程求解，熟练掌握圆和三角形的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要求∠A的度数，首先观察已知条件：AB等于⊙O的半径OC，而圆的所有半径都相等，因此可以通过连接辅助线OB，得到多组相等的线段，进而构造等腰三角形。再结合等腰三角形等边对等角的性质、三角形外角等于不相邻两内角和的性质，将已知的∠EOD和未知的∠A建立数量关系，即可求出∠A的度数。
【解析】
连接OB，
∵ OB、OC、OE都是⊙O的半径，
∴ OB=OC=OE，
又
∵ AB=OC，
∴ AB=OB=OE，
在△ABO中，AB=OB，
∴ ∠A=∠AOB（等边对等角），
∵ ∠OBE是△ABO的外角，
∴ ∠OBE=∠A+∠AOB=2∠A，
在△OBE中，OB=OE，
∴ ∠OEB=∠OBE=2∠A，
∵ ∠EOD是△AOE的外角，
∴ ∠EOD=∠A+∠OEB=∠A+2∠A=3∠A，
已知∠EOD=69°，
∴ 3∠A=69°，
解得∠A=23°。
【答案】
23°
【知识点】
1. 圆的半径相等
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题是圆相关的基础角度计算题，解题的核心是通过连接半径构造等腰三角形，将线段相等的条件转化为角度相等的关系，再结合三角形外角性质建立方程求解，熟练掌握圆和三角形的基础性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$\odot O$的半径$OA$，$OB$分别交弦$CD$于点$E$，$F$，且$CE=DF$。求证：$△ OEF$是等腰三角形。
答案
提示:连接OC,OD,证△OCE≌△ODF
解析
【分析】
要证明$△ OEF$是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即证$OE=OF$。观察图形可知$OE$、$OF$分别属于$△ OCE$和$△ ODF$，因此可通过证明两个三角形全等得到边相等的结论。首先作辅助线连接$OC$、$OD$，利用同圆半径相等可得$OC=OD$，同时推出底角$∠ OCE=∠ ODF$，结合题目给出的$CE=DF$的条件，即可用SAS判定两三角形全等，进而推导得到最终结论。
【解析】
证明：连接$OC$、$OD$。
$\because OC$、$OD$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore ∠ OCE=∠ ODF$。
在$△ OCE$和$△ ODF$中：
$\begin{cases}OC=OD \\∠ OCE=∠ ODF \\CE=DF\end{cases}$
$\therefore △ OCE≌△ ODF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore OE=OF$，
$\therefore △ OEF$是等腰三角形。
【答案】
$△ OEF$是等腰三角形，得证。
【知识点】
圆的半径性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，解题的关键是合理构造辅助线，将待证的边相等问题转化为三角形全等的证明，侧重考查基础性质和判定的应用能力。
【难度系数】
0.8
要证明$△ OEF$是等腰三角形，核心是证明该三角形有两条边相等，即证$OE=OF$。观察图形可知$OE$、$OF$分别属于$△ OCE$和$△ ODF$，因此可通过证明两个三角形全等得到边相等的结论。首先作辅助线连接$OC$、$OD$，利用同圆半径相等可得$OC=OD$，同时推出底角$∠ OCE=∠ ODF$，结合题目给出的$CE=DF$的条件，即可用SAS判定两三角形全等，进而推导得到最终结论。
【解析】
证明：连接$OC$、$OD$。
$\because OC$、$OD$都是$\odot O$的半径，
$\therefore OC=OD$，
$\therefore ∠ OCE=∠ ODF$。
在$△ OCE$和$△ ODF$中：
$\begin{cases}OC=OD \\∠ OCE=∠ ODF \\CE=DF\end{cases}$
$\therefore △ OCE≌△ ODF(\mathrm{SAS})$，
$\therefore OE=OF$，
$\therefore △ OEF$是等腰三角形。
【答案】
$△ OEF$是等腰三角形，得证。
【知识点】
圆的半径性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，解题的关键是合理构造辅助线，将待证的边相等问题转化为三角形全等的证明，侧重考查基础性质和判定的应用能力。
【难度系数】
0.8
6. 已知$\odot O$的直径$AB＝10$，点$C$在$\odot O$上，且$CD⊥ AB$，垂足为$D$，$CD＝4$. 请画出相应的图形，并求$AD$和$DB$的长.
答案
图略,符合条件的有两种情况:AD和DB的长分别是2,8或8,2
解析
【分析】
首先，已知圆的直径AB=10，可先得出圆的半径为5，圆心O是AB的中点，故OC=OA=OB=5。由于CD⊥AB，可连接OC构造直角三角形COD，利用勾股定理求出OD的长度。其次要注意点C在圆上的位置不唯一，垂足D可能落在OA段或OB段，需分两种情况分别计算AD和DB的长度，避免漏解。
【解析】
第一步：连接OC
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10$
∴$\odot O$的半径$OC=OA=OB=5$
第二步：求OD的长度
∵$CD⊥AB$，垂足为D
∴$∠ CDO=90°$，$△ COD$是直角三角形
在$Rt△ COD$中，$CD=4$，$OC=5$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
第三步：分两种情况计算AD、DB的长
情况1：当垂足D在线段OA上时：
$AD=OA-OD=5-3=2$，$DB=OB+OD=5+3=8$
情况2：当垂足D在线段OB上时：
$AD=OA+OD=5+3=8$，$DB=OB-OD=5-3=2$
【答案】
AD和DB的长分别是2,8或8,2
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题主要考查圆的半径与直径的关系，结合直角三角形勾股定理计算线段长度，解题时要注意点C的位置有两种可能，需分类讨论，避免因漏解导致失分。
【难度系数】
0.7
首先，已知圆的直径AB=10，可先得出圆的半径为5，圆心O是AB的中点，故OC=OA=OB=5。由于CD⊥AB，可连接OC构造直角三角形COD，利用勾股定理求出OD的长度。其次要注意点C在圆上的位置不唯一，垂足D可能落在OA段或OB段，需分两种情况分别计算AD和DB的长度，避免漏解。
【解析】
第一步：连接OC
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=10$
∴$\odot O$的半径$OC=OA=OB=5$
第二步：求OD的长度
∵$CD⊥AB$，垂足为D
∴$∠ CDO=90°$，$△ COD$是直角三角形
在$Rt△ COD$中，$CD=4$，$OC=5$，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$
第三步：分两种情况计算AD、DB的长
情况1：当垂足D在线段OA上时：
$AD=OA-OD=5-3=2$，$DB=OB+OD=5+3=8$
情况2：当垂足D在线段OB上时：
$AD=OA+OD=5+3=8$，$DB=OB-OD=5-3=2$
【答案】
AD和DB的长分别是2,8或8,2
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 勾股定理
3. 分类讨论思想
【点评】
本题主要考查圆的半径与直径的关系，结合直角三角形勾股定理计算线段长度，解题时要注意点C的位置有两种可能，需分类讨论，避免因漏解导致失分。
【难度系数】
0.7
