在三角形中，我们研究的基本元素有哪些？
在四边形中，我们研究的基本元素又有哪些？
在圆中，我们研究的基本元素可能有哪些？
D

【分析】
梳理几何图形的基本研究元素，可遵循“构成图形的核心要素→要素衍生的特殊线段、角→相关特殊量”的思路，我们可以先回顾已学的三角形、四边形的研究内容，再类比推导曲线图形圆的基本研究元素即可。
【解析】
1. 三角形属于最基础的直线型封闭图形，核心构成要素是顶点、边、内角，除此以外常规研究的相关元素还有外角、高、中线、角平分线等；
2. 四边形属于边数更多的直线型封闭图形，核心构成要素是顶点、边、内角、外角，额外新增的典型研究元素是对角线，还会结合特殊四边形研究对应特殊性质；
3. 圆是曲线型封闭图形，核心构成要素是圆心、半径，衍生的基本研究元素包括直径、弦、弧（含优弧、劣弧、半圆）、圆心角、圆周角等。
【答案】
三角形的基本研究元素有顶点、边、内角，以及外角、高、中线、角平分线等；
四边形的基本研究元素有顶点、边、内角、外角、对角线等；
圆的基本研究元素有圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角、圆周角等。
【知识点】
三角形的基本概念；四边形的基本概念；圆的基本概念
【点评】
本题是几何基础梳理类题目，引导学生建立几何图形的通用研究逻辑，学会将已学图形的研究方法迁移到新图形的学习中，利于夯实几何学习的基础。
【难度系数】
0.9

例1 图3-2中有条直径，条非直径的弦，圆中以A为端点的弧中，优弧有条，劣弧有条。

图中有1条直径:AB;2条非直径的弦:DC,EF;以A为端点的优弧有:$\overgroup{ABE},\overgroup{ABD},\overgroup{ADC},\overgroup{ADF}$,共4条;以A为端点的劣弧有:$\overgroup{AD},\overgroup{AE},\overgroup{AF},\overgroup{AC}$,共4条

【分析】
解题时首先要明确圆的相关核心概念：①直径是经过圆心的特殊弦；②弦是连接圆上任意两点的线段；③劣弧是小于半圆的弧，优弧是大于半圆的弧。接下来按顺序计数：第一步先找过圆心的弦得到直径的数量；第二步找出所有弦，减去直径的数量即为非直径弦的数量；第三步数以A为端点的弧时，先数小于半圆的劣弧，再数大于半圆的优弧，计数时注意不要重复、不要遗漏。
【解析】
1. 数直径：观察图形，只有弦AB经过圆心，因此直径共有1条。
2. 数非直径的弦：图中共有3条弦，分别为AB、DC、EF，减去1条直径AB，得到非直径的弦有2条。
3. 数以A为端点的劣弧：劣弧为小于半圆的弧，符合要求的有$\overgroup{AD}$、$\overgroup{AE}$、$\overgroup{AF}$、$\overgroup{AC}$，共4条。
4. 数以A为端点的优弧：优弧为大于半圆的弧，符合要求的有$\overgroup{ABE}$、$\overgroup{ABD}$、$\overgroup{ADC}$、$\overgroup{ADF}$，共4条。
【答案】
1；2；4；4
【知识点】
弦与直径的定义；弧的分类
【点评】
本题是圆相关概念的基础考查题，核心是区分直径与弦、优弧与劣弧的差异，计数时需细心，避免出现重复计数或漏数的错误。
【难度系数】
0.8

例2 如图3-3，AB，CD是⊙O的两条直径，M，N分别是OD，OA的中点，连接BM，CN.求证：CN=BM.
图3-2

图3-3

证明
∵ AB,CD是⊙O的两条直径,
∴ OA=OD=OC=OB. 又
∵ M,N分别是OD,OA的中点,
∴ OM=$\frac{1}{2}$OD,ON=$\frac{1}{2}$OA.
∴ OM=ON. 又
∵ ∠CON=∠BOM,
∴ △CON≌△BOM.
∴ CN=BM

【分析】
要证明CN=BM，可通过证明两条线段所在的△CON和△BOM全等来推导。首先结合圆的性质，同圆的所有半径相等，可得OC=OB、OA=OD；再根据M、N分别是OD、OA的中点，可推出OM=ON；又因为∠CON和∠BOM是对顶角，二者相等，即可通过SAS判定△CON≌△BOM，最后利用全等三角形对应边相等得到结论。
【解析】
证明：
∵ AB,CD是⊙O的两条直径,
∴ OA=OD=OC=OB.
又
∵ M,N分别是OD,OA的中点,
∴ OM=$\frac{1}{2}$OD,ON=$\frac{1}{2}$OA，
∴ OM=ON.
又
∵ ∠CON=∠BOM,
∴ △CON≌△BOM（SAS），
∴ CN=BM。
【答案】
证明：
∵ AB,CD是⊙O的两条直径,
∴ OA=OD=OC=OB. 又
∵ M,N分别是OD,OA的中点,
∴ OM=$\frac{1}{2}$OD,ON=$\frac{1}{2}$OA.
∴ OM=ON. 又
∵ ∠CON=∠BOM,
∴ △CON≌△BOM.
∴ CN=BM
【知识点】
圆的基本性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是结合同圆半径相等的性质，推导得到全等三角形需要的边相等条件，再结合对顶角相等即可证明三角形全等，进而得到对应线段相等，解题时要注意证明过程的逻辑严谨性。
【难度系数】
0.8

（1）下列说法中，正确的是()。

A.弦是直径
B.半圆是弧
C.过圆心的线段是直径
D.圆心相同、半径相同的两个圆是同心圆

1.(1) B

【分析】
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题时需逐一将选项描述与对应概念的标准定义对比，通过排除错误选项得到正确答案。首先回忆弦、直径、弧、半圆、同心圆的定义，再逐个验证选项是否符合定义要求即可。
【解析】
我们逐个分析各选项：
选项A：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是过圆心的特殊弦，只有过圆心的弦才是直径，因此弦不一定是直径，A错误；
选项B：弧是圆上任意两点间的部分，半圆是直径的两个端点分圆得到的弧，属于特殊的弧，B正确；
选项C：直径的定义是“过圆心且两端都在圆上的线段”，仅过圆心的线段两端不一定在圆上，不一定是直径，C错误；
选项D：同心圆的定义是“圆心相同、半径不相等的两个圆”，若半径也相同则为同一个圆，不是同心圆，D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
弦与直径的定义；弧与半圆的定义；同心圆的定义
【点评】
本题是圆章节的基础常考题，核心考查对基础概念的记忆和辨析能力，解题的关键是准确把握各个概念的限定条件，避免混淆相似概念。
【难度系数】
0.8

（2）依次连接圆内两条相交直径的4个端点，围成的四边形一定是（）。

A.梯形
B.菱形
C.矩形
D.正方形

1.(2) C

【分析】
解题时先回忆圆的直径性质及特殊四边形的判定方法：第一步先明确圆的两条相交直径的特征：所有直径都过圆心，因此圆心是两条直径的公共中点，且直径长度相等；第二步结合四边形对角线的特征判断四边形类型：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，同时要注意题目未说明两条直径互相垂直，因此不能判定为正方形。
【解析】
解：设圆的两条相交直径为AC、BD，交点为圆心O。
1. 因为O是圆心，所以OA=OC，OB=OD，即四边形ABCD的对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理，可得四边形ABCD是平行四边形。
2. 又因为AC、BD都是圆的直径，所以AC=BD，即平行四边形ABCD的对角线相等。
3. 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，因此该四边形一定是矩形。
若两条直径不垂直，则该四边形不是正方形，因此排除D选项，梯形、菱形的判定条件均不满足，排除A、B。
【答案】
C
【知识点】
直径的性质、平行四边形判定、矩形判定
【点评】
本题属于基础题，结合圆的性质与特殊四边形的判定进行考查，解题的关键是抓住圆的直径相等且互相平分的特征，同时要注意特殊四边形的判定条件，不要混淆矩形和正方形的判定要求。
【难度系数】
0.8

（3）下列说法中，正确的是().

A.两个半圆是等弧
B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C.长度相等的弧是等弧
D.直径未必是弦

1.(3) B

【分析】
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题时需先明确等弧、优弧、劣弧、弦、直径的定义，再结合定义逐一判断每个选项的正误。首先回忆核心定义：等弧的判定需要满足“同圆或等圆+能完全重合”两个条件；优弧是大于半圆的弧，劣弧是小于半圆的弧；弦是连接圆上两点的线段，直径是特殊的弦。带着这些定义逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
我们结合圆的相关定义逐一分析选项：
1. 分析选项A：等弧是指在同圆或等圆中能够完全重合的弧，两个半圆若所在圆的半径不同，无法重合，不属于等弧，因此A错误。
2. 分析选项B：同圆中优弧的长度大于半圆，优弧减去半圆后得到的弧长小于半圆，符合劣弧的定义，因此B正确。
3. 分析选项C：长度相等的弧，若不在同圆或等圆中，对应圆心角不同，无法完全重合，不属于等弧，因此C错误。
4. 分析选项D：弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的弦，因此直径一定是弦，D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
等弧的定义；弧的分类；弦的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是容易忽略等弧定义中“同圆或等圆”的前提条件，以及对直径和弦的从属关系认识不清，只要准确掌握核心定义就能轻松解答。
【难度系数】
0.8