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3. 在图②的正方形中画出图①. 
答案
略
解析
【分析】
要在正方形中画出图①的四叶图案，首先观察图①的构成：四片花瓣实际是四个半圆相交形成的公共部分，这四个半圆分别以正方形的四条边为直径，圆心为各边中点，半径为边长的一半。所以解题思路是先确定各边中点作为圆心，再以边长一半为半径向正方形内部作四个半圆，相交后即可得到目标图案。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用尺规作图找出图②正方形四条边的中点；
2. 依次以正方形四条边的中点为圆心，以正方形边长的$\frac{1}{2}$为半径，向正方形内部各作1个半圆；
3. 四个半圆相交围成的图案即为图①的图形，最后可擦去不必要的辅助线。
【答案】
略
【知识点】
圆的基本概念，尺规作图，正方形的性质
【点评】
本题考查几何作图能力，核心是通过观察拆解复杂图案的基本构成，明确图案是由四个以正方形边为直径的半圆相交得到，作图时需注意圆心、半径的选取要准确，保证图案规范。
【难度系数】
0.7
要在正方形中画出图①的四叶图案，首先观察图①的构成：四片花瓣实际是四个半圆相交形成的公共部分，这四个半圆分别以正方形的四条边为直径，圆心为各边中点，半径为边长的一半。所以解题思路是先确定各边中点作为圆心，再以边长一半为半径向正方形内部作四个半圆，相交后即可得到目标图案。
【解析】
作图步骤如下：
1. 用尺规作图找出图②正方形四条边的中点；
2. 依次以正方形四条边的中点为圆心，以正方形边长的$\frac{1}{2}$为半径，向正方形内部各作1个半圆；
3. 四个半圆相交围成的图案即为图①的图形，最后可擦去不必要的辅助线。
【答案】
略
【知识点】
圆的基本概念，尺规作图，正方形的性质
【点评】
本题考查几何作图能力，核心是通过观察拆解复杂图案的基本构成，明确图案是由四个以正方形边为直径的半圆相交得到，作图时需注意圆心、半径的选取要准确，保证图案规范。
【难度系数】
0.7
4. 已知:如图,矩形ABCD.
求证:A,B,C,D四个点在同一个圆上.
求证:A,B,C,D四个点在同一个圆上.
答案
略
解析
【分析】要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到同一个定点的距离相等即可。结合矩形的性质，我们可以先连接矩形的两条对角线，利用矩形对角线互相平分且相等的性质，取对角线的交点作为定点，验证该交点到四个顶点的距离相等，即可完成证明。
【解析】证明：连接AC、BD，交于点O。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，且矩形对角线互相平分，即$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴ $OA=OB=OC=OD$，
∴ A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA长为半径的同一个圆上。
【答案】A、B、C、D四个点在同一个圆上，得证。
【知识点】矩形的性质；圆的定义；四点共圆判定
【点评】本题属于基础证明题，解题关键是紧扣圆的定义，结合矩形对角线的性质找到到四个顶点距离相等的公共圆心，熟练掌握基础几何图形的性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】0.8
【解析】证明：连接AC、BD，交于点O。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AC=BD，且矩形对角线互相平分，即$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，
∴ $OA=OB=OC=OD$，
∴ A、B、C、D四个点在以点O为圆心，OA长为半径的同一个圆上。
【答案】A、B、C、D四个点在同一个圆上，得证。
【知识点】矩形的性质；圆的定义；四点共圆判定
【点评】本题属于基础证明题，解题关键是紧扣圆的定义，结合矩形对角线的性质找到到四个顶点距离相等的公共圆心，熟练掌握基础几何图形的性质是解决这类问题的前提。
【难度系数】0.8
5. 已知:如图,AC⊥BC,AD⊥BD,垂足分别为C,D.
求证:点A,B,C,D在同一个圆上.
求证:点A,B,C,D在同一个圆上.
答案
提示:取AB的中点O,连接OC,OD.证明OA=OB=OC=OD=1/2 AB
解析
【分析】
要证明多个点在同一个圆上，依据圆的定义，只需证明存在一个定点，使得所有点到该定点的距离相等即可。本题中△ABC和△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可取AB的中点O，只需证明O到A、B、C、D四点的距离相等即可完成证明。
【解析】
证明：取AB的中点O，连接OC、OD。
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形。
∵ O是Rt△ABC斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得：$OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$。
同理，
∵ AD⊥BD，
∴ ∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形，O是Rt△ABD斜边AB的中点，
可得：$OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB$。
∴ $OA = OB = OC = OD$，
∴ 点A、B、C、D在以O为圆心，OA长为半径的同一个圆上。
【答案】
点A,B,C,D在同一个圆上，得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的定义、四点共圆判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合图形特征构造出到四个点距离相等的公共圆心，熟练掌握圆的定义和直角三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要证明多个点在同一个圆上，依据圆的定义，只需证明存在一个定点，使得所有点到该定点的距离相等即可。本题中△ABC和△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可取AB的中点O，只需证明O到A、B、C、D四点的距离相等即可完成证明。
【解析】
证明：取AB的中点O，连接OC、OD。
∵ AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形。
∵ O是Rt△ABC斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质，可得：$OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$。
同理，
∵ AD⊥BD，
∴ ∠ADB=90°，即△ABD为直角三角形，O是Rt△ABD斜边AB的中点，
可得：$OD = OA = OB = \frac{1}{2}AB$。
∴ $OA = OB = OC = OD$，
∴ 点A、B、C、D在以O为圆心，OA长为半径的同一个圆上。
【答案】
点A,B,C,D在同一个圆上，得证。
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、圆的定义、四点共圆判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合图形特征构造出到四个点距离相等的公共圆心，熟练掌握圆的定义和直角三角形的相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在小路DF的右侧是一片草地,紧靠小路建有一正方形小屋ABCD,现用一根长为6 m的绳子一端系住牛鼻,另一端系在A处.已知正方形小屋的边长为3 m,那么这头牛最多能吃到多大面积草地上的草? 请画出示意图.
答案
45π/4 m²,图略
解析
【分析】
要解决本题，需先明确牛的活动范围：牛被系在A点，左侧小路无法进入，下方正方形小屋无法穿过，因此吃草区域由2个扇形组成。首先，牛在AB上方活动时无遮挡，可形成以A为圆心、6m为半径、圆心角90°的扇形；其次，当牛绕到B点右侧活动时，绳子被AB边卡住，剩余绳长为6-3=3m，可形成以B为圆心、3m为半径、圆心角90°的扇形，最终将两个扇形面积求和即可得到结果。
【解析】
解：牛能吃到草的区域为两个扇形的面积和：
1. 以A为圆心、绳长6m为半径的90°扇形面积：
$S_1=\frac{90°}{360°}×π×6^2=\frac{1}{4}×π×36=9π\ \mathrm{m}^2$
2. 绳子被AB边挡住后，剩余绳长为$6-3=3\ \mathrm{m}$，形成以B为圆心、3m为半径的90°扇形面积：
$S_2=\frac{90°}{360°}×π×3^2=\frac{1}{4}×π×9=\frac{9π}{4}\ \mathrm{m}^2$
总面积为：
$S=S_1+S_2=9π+\frac{9π}{4}=\frac{45π}{4}\ \mathrm{m}^2$
（示意图：画出以A为圆心、6m为半径的四分之一圆在AB上方，再画出以B为圆心、3m为半径的四分之一圆在BC右侧即可）
【答案】
$\frac{45π}{4}\ \mathrm{m}^2$，图略
【知识点】
扇形面积计算，组合图形求面积，圆的实际应用
【点评】
本题是圆的实际应用类题型，解题核心是准确分析限制条件下的活动范围，确定各部分扇形的圆心、半径和圆心角，再代入扇形面积公式计算即可，注意不要遗漏或多算活动区域。
【难度系数】
0.65
要解决本题，需先明确牛的活动范围：牛被系在A点，左侧小路无法进入，下方正方形小屋无法穿过，因此吃草区域由2个扇形组成。首先，牛在AB上方活动时无遮挡，可形成以A为圆心、6m为半径、圆心角90°的扇形；其次，当牛绕到B点右侧活动时，绳子被AB边卡住，剩余绳长为6-3=3m，可形成以B为圆心、3m为半径、圆心角90°的扇形，最终将两个扇形面积求和即可得到结果。
【解析】
解：牛能吃到草的区域为两个扇形的面积和：
1. 以A为圆心、绳长6m为半径的90°扇形面积：
$S_1=\frac{90°}{360°}×π×6^2=\frac{1}{4}×π×36=9π\ \mathrm{m}^2$
2. 绳子被AB边挡住后，剩余绳长为$6-3=3\ \mathrm{m}$，形成以B为圆心、3m为半径的90°扇形面积：
$S_2=\frac{90°}{360°}×π×3^2=\frac{1}{4}×π×9=\frac{9π}{4}\ \mathrm{m}^2$
总面积为：
$S=S_1+S_2=9π+\frac{9π}{4}=\frac{45π}{4}\ \mathrm{m}^2$
（示意图：画出以A为圆心、6m为半径的四分之一圆在AB上方，再画出以B为圆心、3m为半径的四分之一圆在BC右侧即可）
【答案】
$\frac{45π}{4}\ \mathrm{m}^2$，图略
【知识点】
扇形面积计算，组合图形求面积，圆的实际应用
【点评】
本题是圆的实际应用类题型，解题核心是准确分析限制条件下的活动范围，确定各部分扇形的圆心、半径和圆心角，再代入扇形面积公式计算即可，注意不要遗漏或多算活动区域。
【难度系数】
0.65
