比较一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,b^2-4ac≥0)$两个实数根的表达式：

它们有何特征？你能发现根与系数之间有哪些联系？

【分析】
首先观察两个根的表达式结构，先梳理形式上的异同点即可得到根的特征；要探究根与系数的联系，可通过计算两根之和、两根之积，利用分式运算、平方差公式化简计算结果，就能得到根和方程系数a、b、c的关系。
【解析】
1. 根的特征：
两个根的分母均为$2a$，分子分别为$-b+\sqrt{b^2-4ac}$和$-b-\sqrt{b^2-4ac}$，仅根号前的运算符号不同，整体是一对共轭根式。
2. 根与系数的联系：
① 计算两根之和：
$\begin{aligned}x_1+x_2&=(-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})+(-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\\&=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\&=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\end{aligned}$
② 计算两根之积：
$\begin{aligned}x_1x_2&=(-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})×(-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a})\\&=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{(2a)^2}\\&=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\&=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\end{aligned}$
【答案】
特征：两根的分母都为$2a$，分子仅根号项的运算符号相反，其余部分相同；
根与系数的联系：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
【知识点】
一元二次方程求根公式，根与系数的关系，代数式化简
【点评】
本题是韦达定理的推导基础，侧重考察学生的观察能力和基础代数运算能力，得出的结论是后续解决一元二次方程相关问题的重要工具。
【难度系数】
0.8

例1 已知关于$x$的方程$2x^2 + kx - 4 = 0$的一个根是$-4$，求它的另一个根及$k$的值.

设方程的另一个根是$x_2$,则$\begin{cases}-4+x_2=-\frac{k}{2},\\-4x_2=-\frac{4}{2}.\end{cases}$ 解方程组,得$\begin{cases}x_2=\frac{1}{2},\\k=7.\end{cases}$ 所以方程的另一个根是$\frac{1}{2}$,$k$的值是7

【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根及未知系数，可利用一元二次方程根与系数的关系求解。解题思路如下：1. 先设方程的另一个根为$x_2$，回忆对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；2. 将已知根$-4$、对应系数$a=2、b=k、c=-4$代入根与系数关系的两个公式，得到关于$x_2$和$k$的二元一次方程组；3. 先求解仅含$x_2$的乘积式方程，得到$x_2$的值后，再代入和式方程即可求出$k$的值。
【解析】
设方程的另一个根是$x_2$，对于一元二次方程$2x^2 + kx - 4 = 0$，其中$a=2$，$b=k$，$c=-4$，根据根与系数的关系可得：
$\begin{cases}-4+x_2=-\frac{k}{2},\\-4x_2=\frac{-4}{2}.\end{cases}$
先解第二个方程：$-4x_2=-2$，解得$x_2=\frac{1}{2}$。
将$x_2=\frac{1}{2}$代入第一个方程：$-4+\frac{1}{2}=-\frac{k}{2}$，即$-\frac{7}{2}=-\frac{k}{2}$，解得$k=7$。
【答案】
方程的另一个根是$\frac{1}{2}$，$k$的值是7
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 解二元一次方程组
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用题，运用该定理求解可以避免代入根计算的繁琐，解题时要注意准确记忆两根和、两根积与方程系数的对应关系，不要弄错符号。
【难度系数】
0.8

例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是$\frac{1}{3}$，1，写出这个方程.

设这个方程为$3x^2+bx+c=0$,由一元二次方程根与系数的关系,得$-\frac{b}{3}=\frac{1}{3}+1$,$\frac{c}{3}=\frac{1}{3}×1$.解得$b=-4,c=1$.所以这个一元二次方程是$3x^2-4x+1=0$

【分析】
首先，题目已经给出一元二次方程的二次项系数为3，我们可以先设出含未知一次项系数$b$和常数项$c$的一元二次方程一般形式；接下来回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$；本题中$a=3$，两根已知，代入上述关系即可求出$b$和$c$的值，最终确定完整的一元二次方程。
【解析】
设这个一元二次方程为$3x^2+bx+c=0$，
由一元二次方程根与系数的关系，得：
$-\frac{b}{3}=\frac{1}{3}+1$，$\frac{c}{3}=\frac{1}{3}×1$，
分别求解两个方程：
解$-\frac{b}{3}=\frac{4}{3}$，得$b=-4$；
解$\frac{c}{3}=\frac{1}{3}$，得$c=1$。
将$b=-4$、$c=1$代入所设方程，即可得到所求一元二次方程。
【答案】
$3x^2-4x+1=0$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的关键是准确记忆韦达定理中两根和、两根积与方程系数的对应关系，代入计算时注意不要写错符号。
【难度系数】
0.8

1. 设 $ x_1, x_2 $ 分别是一元二次方程的根，填空：
(1) $ x^2 + 3x + 1 = 0 $。
$ x_1 + x_2 = $ ，$ x_1 x_2 = $ 。
(2) $ 2x^2 - 3x -5 =0 $。
$ x_1 + x_2 = $ ，$ x_1 x_2 = $ 。
(3) $ x^2 + px + q =0 $。
$ x_1 + x_2 = $ ，$ x_1 x_2 = $ 。

1. (1) $x_1+x_2=-3$，$x_1x_2=1$ (2) $x_1+x_2=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=-\frac{5}{2}$ (3) $x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$

【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的基础应用。解题思路如下：首先回忆韦达定理的内容：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若方程的两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。解题时只需逐个确定每个方程的二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入对应公式计算即可，计算过程中要格外注意系数的符号，避免符号错误。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系求解：
(1) 方程$x^2 + 3x + 1 = 0$中，$a=1$，$b=3$，$c=1$，
则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{3}{1}=-3$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{1}=1$；
(2) 方程$2x^2 - 3x -5 =0$中，$a=2$，$b=-3$，$c=-5$，
则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{(-3)}{2}=\frac{3}{2}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-5}{2}=-\frac{5}{2}$；
(3) 方程$x^2 + px + q =0$中，$a=1$，$b=p$，$c=q$，
则$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{p}{1}=-p$，$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{q}{1}=q$。
【答案】
(1) $-3$，$1$；(2) $\frac{3}{2}$，$-\frac{5}{2}$；(3) $-p$，$q$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程系数识别
【点评】
本题是根与系数关系的基础考察题，核心是对韦达定理公式的准确记忆和运用，解题的易错点是容易忽略系数的正负号，代入公式时需留意符号运算。
【难度系数】
0.9

2. 已知关于$x$的方程$3x^2 -19x +m=0$的一个根是1，求它的另一个根及$m$的值.

方程的另一个根是$\frac{16}{3}$,$m$的值是16

【分析】
我们可以通过两种思路解题：思路1：利用一元二次方程根的定义，已知1是方程的根，将x=1代入原方程即可先求出m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根；思路2：利用本节学习的一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为x₂，直接通过两根之和、两根之积的公式，不需要求解完整方程就能快速算出另一个根和m的值，计算更简便。
【解析】
方法一（利用根与系数的关系）：
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$3x^2 -19x +m=0$，二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-19$，常数项$c=m$。
根据根与系数的关系，两根之和满足$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，已知$x_1=1$，代入得：
$1 + x_2 = \frac{19}{3}$
解得$x_2 = \frac{19}{3} - 1 = \frac{16}{3}$。
再根据两根之积满足$x_1x_2 = \frac{c}{a}$，代入得：
$1×\frac{16}{3} = \frac{m}{3}$
两边同乘3得$m=16$。
方法二（利用根的定义）：
把$x=1$代入原方程得：
$3×1^2 -19×1 + m = 0$
计算得$3 - 19 + m = 0$，解得$m=16$。
将$m=16$代入原方程得$3x^2 -19x +16=0$，
因式分解得$(x-1)(3x-16)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=\frac{16}{3}$。
【答案】
方程的另一个根是$\frac{16}{3}$，$m$的值是16
【知识点】
一元二次方程根的定义；一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程根相关的基础题型，既可以用根的定义求解，也可以用根与系数的关系简化计算，熟练掌握两种方法可灵活应对同类型题目。
【难度系数】
0.85