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3. 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) $6x^2 -5x -4=0$；
(2) $\frac{1}{4}x^2 -3x +9=0$；
(3) $2x^2 +4x +35=0$；
(4) $3x(x-2)=-7$。
(1) $6x^2 -5x -4=0$；
(2) $\frac{1}{4}x^2 -3x +9=0$；
(3) $2x^2 +4x +35=0$；
(4) $3x(x-2)=-7$。
答案
(1) 有两个不相等的实数根
(2) 有两个相等的实数根
(3) 没有实数根
(4) 没有实数根
(2) 有两个相等的实数根
(3) 没有实数根
(4) 没有实数根
解析
【分析】
判别一元二次方程根的情况需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，解题思路如下：第一步，先将所有方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程一般形式，准确找出对应$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的值；第二步，代入$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 方程$6x^2 -5x -4=0$为一般形式，其中$a=6$，$b=-5$，$c=-4$，
计算判别式：$\Delta = (-5)^2 - 4×6×(-4) = 25 + 96 = 121 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程$\frac{1}{4}x^2 -3x +9=0$为一般形式，其中$a=\frac{1}{4}$，$b=-3$，$c=9$，
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×\frac{1}{4}×9 = 9 - 9 = 0$，因此方程有两个相等的实数根；
(3) 方程$2x^2 +4x +35=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=4$，$c=35$，
计算判别式：$\Delta = 4^2 - 4×2×35 = 16 - 280 = -264 ＜ 0$，因此方程没有实数根；
(4) 先将方程整理为一般形式：
去括号得$3x^2 - 6x = -7$，移项得$3x^2 - 6x + 7 = 0$，其中$a=3$，$b=-6$，$c=7$，
计算判别式：$\Delta = (-6)^2 - 4×3×7 = 36 - 84 = -48 ＜ 0$，因此方程没有实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根
(2) 有两个相等的实数根
(3) 没有实数根
(4) 没有实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的核心是准确确定一元二次方程的各项系数，正确计算判别式的数值，再对照判别式的判定规则即可得到结论。
【难度系数】
0.8
判别一元二次方程根的情况需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，解题思路如下：第一步，先将所有方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程一般形式，准确找出对应$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的值；第二步，代入$\Delta=b^2-4ac$计算结果；第三步，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 方程$6x^2 -5x -4=0$为一般形式，其中$a=6$，$b=-5$，$c=-4$，
计算判别式：$\Delta = (-5)^2 - 4×6×(-4) = 25 + 96 = 121 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程$\frac{1}{4}x^2 -3x +9=0$为一般形式，其中$a=\frac{1}{4}$，$b=-3$，$c=9$，
计算判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4×\frac{1}{4}×9 = 9 - 9 = 0$，因此方程有两个相等的实数根；
(3) 方程$2x^2 +4x +35=0$为一般形式，其中$a=2$，$b=4$，$c=35$，
计算判别式：$\Delta = 4^2 - 4×2×35 = 16 - 280 = -264 ＜ 0$，因此方程没有实数根；
(4) 先将方程整理为一般形式：
去括号得$3x^2 - 6x = -7$，移项得$3x^2 - 6x + 7 = 0$，其中$a=3$，$b=-6$，$c=7$，
计算判别式：$\Delta = (-6)^2 - 4×3×7 = 36 - 84 = -48 ＜ 0$，因此方程没有实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根
(2) 有两个相等的实数根
(3) 没有实数根
(4) 没有实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题的核心是准确确定一元二次方程的各项系数，正确计算判别式的数值，再对照判别式的判定规则即可得到结论。
【难度系数】
0.8
4. 当k取什么值时，关于x的方程$4x^2 - (k+2)x + (k-1)=0$有两个相等的实数根？求此时方程的根。
答案
$k_1=2,k_2=10$. 当$k_1=2$时,$x_1=x_2=\dfrac{1}{2}$;当$k_2=10$时,$x_1=x_2=\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。我们先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=0得到关于k的一元二次方程，求解得到k的值，再将k分别代入原方程，求出对应的相等的实数根即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$4x^2 - (k+2)x + (k-1)=0$，其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-(k+2)$，常数项$c=k-1$。
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入得：$[-(k+2)]^2 - 4×4×(k-1) = 0$，
展开整理：$k^2 + 4k + 4 - 16k + 16 = 0$，
合并同类项得：$k^2 -12k +20 = 0$，
因式分解得：$(k-2)(k-10)=0$，
解得：$k_1=2$，$k_2=10$。
① 当$k=2$时，原方程变为：
$4x^2 - 4x +1 = 0$，即$(2x-1)^2=0$，
解得：$x_1=x_2=\dfrac{1}{2}$；
② 当$k=10$时，原方程变为：
$4x^2 -12x +9 =0$，即$(2x-3)^2=0$，
解得：$x_1=x_2=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$k_1=2,k_2=10$。当$k_1=2$时,$x_1=x_2=\dfrac{1}{2}$;当$k_2=10$时,$x_1=x_2=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时要注意准确识别方程各项的系数，计算判别式时避免出现符号错误，代入参数求根时可以用完全平方公式简化计算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆一元二次方程根的情况与判别式的关系：当一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式Δ=0。我们先确定方程中a、b、c的取值，代入Δ=0得到关于k的一元二次方程，求解得到k的值，再将k分别代入原方程，求出对应的相等的实数根即可。
【解析】
解：对于一元二次方程$4x^2 - (k+2)x + (k-1)=0$，其中二次项系数$a=4$，一次项系数$b=-(k+2)$，常数项$c=k-1$。
∵ 方程有两个相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，
代入得：$[-(k+2)]^2 - 4×4×(k-1) = 0$，
展开整理：$k^2 + 4k + 4 - 16k + 16 = 0$，
合并同类项得：$k^2 -12k +20 = 0$，
因式分解得：$(k-2)(k-10)=0$，
解得：$k_1=2$，$k_2=10$。
① 当$k=2$时，原方程变为：
$4x^2 - 4x +1 = 0$，即$(2x-1)^2=0$，
解得：$x_1=x_2=\dfrac{1}{2}$；
② 当$k=10$时，原方程变为：
$4x^2 -12x +9 =0$，即$(2x-3)^2=0$，
解得：$x_1=x_2=\dfrac{3}{2}$。
【答案】
$k_1=2,k_2=10$。当$k_1=2$时,$x_1=x_2=\dfrac{1}{2}$;当$k_2=10$时,$x_1=x_2=\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的个数与判别式的对应关系，解题时要注意准确识别方程各项的系数，计算判别式时避免出现符号错误，代入参数求根时可以用完全平方公式简化计算。
【难度系数】
0.7
5. 试说明无论k取何值，关于x的方程$x^2 + kx - 1 = 0$必有两个不相等的实数根.
答案
由$b^2-4ac=k^2+4＞0$,得方程$x^2+kx-1=0$必有两个不相等的实数根
解析
【分析】
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心依据是一元二次方程根的判别式的性质：当判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。首先确认本题方程的二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义，接下来只需找准方程中$a、b、c$的对应值，代入计算判别式，再结合平方的非负性证明判别式恒大于0即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
1. 先确定方程$x^2 + kx - 1 = 0$的各项系数：$a=1$，$b=k$，$c=-1$；
2. 代入判别式计算：$\Delta = k^2 - 4×1×(-1) = k^2 + 4$；
3. 结合平方的非负性分析：无论k取任意实数，都有$k^2≥0$，因此$k^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$恒成立。
综上可证，无论k取何值，该方程必有两个不相等的实数根。
【答案】
由$b^2-4ac=k^2+4＞0$,得方程$x^2+kx-1=0$必有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是掌握判别式符号和方程根的对应关系，准确代入系数计算判别式后，结合非负数的性质判断其符号即可得证。
【难度系数】
0.8
要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心依据是一元二次方程根的判别式的性质：当判别式$\Delta = b^2-4ac＞0$时，方程有两个不相等的实数根。首先确认本题方程的二次项系数为1≠0，符合一元二次方程的定义，接下来只需找准方程中$a、b、c$的对应值，代入计算判别式，再结合平方的非负性证明判别式恒大于0即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$：
1. 先确定方程$x^2 + kx - 1 = 0$的各项系数：$a=1$，$b=k$，$c=-1$；
2. 代入判别式计算：$\Delta = k^2 - 4×1×(-1) = k^2 + 4$；
3. 结合平方的非负性分析：无论k取任意实数，都有$k^2≥0$，因此$k^2 + 4≥4＞0$，即$\Delta＞0$恒成立。
综上可证，无论k取何值，该方程必有两个不相等的实数根。
【答案】
由$b^2-4ac=k^2+4＞0$,得方程$x^2+kx-1=0$必有两个不相等的实数根
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是掌握判别式符号和方程根的对应关系，准确代入系数计算判别式后，结合非负数的性质判断其符号即可得证。
【难度系数】
0.8
6. 用两种方法证明:不论 $ m $ 取何值,关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 2mx - 3m^2 = 0 $（$ m $ 为常数）总有两个实数根.
答案
法1:$b^2-4ac=16m^2≥0$;法2:$(x-3m)(x+m)=0$,可求得两根
解析
【分析】
要证明一元二次方程总有两个实数根，有两种常规解题思路：思路一利用根的判别式判定，先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式化简后，结合平方的非负性证明判别式恒大于等于0即可；思路二通过因式分解将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，直接求出方程的两个根，即可证明总有实数根。
【解析】
法1（判别式法）：
对于方程$x^2 - 2mx - 3m^2 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2m$，常数项$c=-3m^2$，
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac=(-2m)^2 - 4×1×(-3m^2)=4m^2+12m^2=16m^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即对任意实数m都有$m^2≥0$
∴ $16m^2≥0$，也就是$\Delta≥0$
因此不论m取何值，方程总有两个实数根。
法2（因式分解法）：
对原方程左边的二次三项式用十字相乘法因式分解：
$x^2 - 2mx - 3m^2=(x-3m)(x+m)$
因此原方程可化为$(x-3m)(x+m)=0$
解得$x_1=3m$，$x_2=-m$
∵ m为常数，因此$3m$和$-m$均为实数（m=0时两根相等，仍属于两个实数根范畴）
因此不论m取何值，方程总有两个实数根。
【答案】
法1：$b^2-4ac=16m^2≥0$，故方程总有两个实数根；
法2：$(x-3m)(x+m)=0$，可求得两根，故方程总有两个实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判定，两种解题思路分别从判别式性质、直接求根两个角度切入，既巩固了基础公式的应用，也锻炼了因式分解的灵活运用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要证明一元二次方程总有两个实数根，有两种常规解题思路：思路一利用根的判别式判定，先确定方程中a、b、c的取值，代入判别式化简后，结合平方的非负性证明判别式恒大于等于0即可；思路二通过因式分解将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，直接求出方程的两个根，即可证明总有实数根。
【解析】
法1（判别式法）：
对于方程$x^2 - 2mx - 3m^2 = 0$，可知二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2m$，常数项$c=-3m^2$，
代入判别式公式得：
$\Delta = b^2-4ac=(-2m)^2 - 4×1×(-3m^2)=4m^2+12m^2=16m^2$
∵ 任意实数的平方均为非负数，即对任意实数m都有$m^2≥0$
∴ $16m^2≥0$，也就是$\Delta≥0$
因此不论m取何值，方程总有两个实数根。
法2（因式分解法）：
对原方程左边的二次三项式用十字相乘法因式分解：
$x^2 - 2mx - 3m^2=(x-3m)(x+m)$
因此原方程可化为$(x-3m)(x+m)=0$
解得$x_1=3m$，$x_2=-m$
∵ m为常数，因此$3m$和$-m$均为实数（m=0时两根相等，仍属于两个实数根范畴）
因此不论m取何值，方程总有两个实数根。
【答案】
法1：$b^2-4ac=16m^2≥0$，故方程总有两个实数根；
法2：$(x-3m)(x+m)=0$，可求得两根，故方程总有两个实数根。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判定，两种解题思路分别从判别式性质、直接求根两个角度切入，既巩固了基础公式的应用，也锻炼了因式分解的灵活运用能力，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
