1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=∠ C$,点$P$从点$B$运动到点$C$,且$∠ APD=∠ C$.
(1)求证:$AB· CD=CP· BP$;
(2)若$AB=6$,$BC=10$,求当$BP$长为多少时,$PD// AB$.

1. (1)证明 $\because ∠ B = ∠ C, ∠ APD = ∠ C, \therefore ∠ B = ∠ APD. \because ∠ APC = ∠ B + ∠ BAP, ∠ APC = ∠ APD + ∠ DPC, \therefore ∠ BAP = ∠ DPC, \therefore △ ABP ∽ △ PCD, \therefore \frac{AB}{CP} = \frac{BP}{CD}, \therefore AB · CD = CP · BP.$
(2)解:若$PD // AB$,则$∠ BAP = ∠ APD = ∠ C$,又$\because ∠ B = ∠ B, \therefore △ BAP ∽ △ BCA, \therefore \frac{AB}{BC} = \frac{BP}{AB}. \because AB = 6, BC = 10, \therefore \frac{6}{10} = \frac{BP}{6}, \therefore BP = \frac{18}{5}. \therefore$当$BP = \frac{18}{5}$时,$PD // AB.$

【分析】
(1) 要证明$AB· CD=CP· BP$，可先将乘积式转化为比例式$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CD}$，只需证明包含这四条边的$△ ABP$和$△ PCD$相似即可。已知$∠ B=∠ C$，结合$∠ APD=∠ C$，利用三角形外角的性质推导两组角对应相等，即可证明两三角形相似，进而得到对应比例式，转化为乘积式得证。
(2) 当$PD// AB$时，根据平行线的性质可得角相等，结合已知$∠ APD=∠ C$，可推导得到$△ BAP ∽ △ BCA$，再利用相似三角形对应边成比例，代入已知$AB$、$BC$的长度即可计算出$BP$的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ B = ∠ C, ∠ APD = ∠ C$，
$\therefore ∠ B = ∠ APD$。
$\because ∠ APC$是$△ ABP$的外角，$\therefore ∠ APC = ∠ B + ∠ BAP$，
又$\because ∠ APC = ∠ APD + ∠ DPC$，
$\therefore ∠ B + ∠ BAP = ∠ APD + ∠ DPC$，
结合$∠ B=∠ APD$，可得$∠ BAP = ∠ DPC$。
在$△ ABP$和$△ PCD$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ C \\∠ BAP = ∠ CPD\end{cases}$
$\therefore △ ABP ∽ △ PCD$，
$\therefore \frac{AB}{CP} = \frac{BP}{CD}$，
交叉相乘得：$AB · CD = CP · BP$，得证。
(2) 解：若$PD // AB$，
根据平行线的内错角相等，得$∠ BAP = ∠ APD$，
又$\because ∠ APD = ∠ C$，$\therefore ∠ BAP = ∠ C$。
在$△ BAP$和$△ BCA$中：
$\begin{cases}∠ B = ∠ B \\∠ BAP = ∠ C\end{cases}$
$\therefore △ BAP ∽ △ BCA$，
$\therefore \frac{AB}{BC} = \frac{BP}{AB}$。
代入$AB=6$，$BC=10$，得：
$\frac{6}{10} = \frac{BP}{6}$，
解得$BP = \frac{6×6}{10} = \frac{18}{5}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) $BP=\frac{18}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是几何常考基础题，解题核心是将乘积式证明转化为比例式，通过角的等量关系推导三角形相似，结合平行线性质得到对应相似关系求解长度，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7

2.如图,设 P 是等边△ABC 的一边 BC 上的任意一点,连结 AP,它的垂直平分线交 AB、AC于 M、N 两点,求证:BP·PC=BM·CN.

2. 证明:连结 PM,PN. $\because MN$ 垂直平分 $AP, \therefore AM = MP, AN = PN$,又$\because MN$ 为公共边,$\therefore △ AMN ≌ △ PMN$(SSS),$\therefore ∠ MPN = ∠ BAC = 60°. \therefore ∠ BPM + ∠ CPN = 120°, \because ∠ BPM + ∠ BMP = 180° - ∠ B = 120°, \therefore ∠ BMP = ∠ CPN$,由$∠ B = ∠ C = 60°, \therefore △ MPB ∽ △ PNC, \therefore \frac{BP}{CN} = \frac{BM}{CP}$,即 $BP · PC = BM · CN.$

【分析】
要证明乘积式$BP·PC=BM·CN$，可先将其转化为比例式$\frac{BP}{CN}=\frac{BM}{PC}$，只需证明$△ BPM$与$△ CNP$相似即可。首先利用垂直平分线的性质得到边相等，证明$△ AMN≌△ PMN$，推出$∠ MPN=∠ BAC=60°$，再结合等边三角形内角为$60°$的性质，推导得到两组对应角相等，即可证明三角形相似，进而得到待证结论。
【解析】
证明：连结$PM$，$PN$。
$\because MN$垂直平分$AP$，
$\therefore AM = MP$，$AN = PN$，
又$\because MN$为公共边，
$\therefore △ AMN ≌ △ PMN$（SSS），
$\therefore ∠ MPN = ∠ BAC = 60°$。
$\therefore ∠ BPM + ∠ CPN = 180° - ∠ MPN = 120°$，
$\because$在$△ BPM$中，$∠ BPM + ∠ BMP = 180° - ∠ B = 180° - 60° = 120°$，
$\therefore ∠ BMP = ∠ CPN$，
又$\because ∠ B = ∠ C = 60°$，
$\therefore △ MPB ∽ △ PNC$，
$\therefore \frac{BP}{CN} = \frac{BM}{CP}$，
交叉相乘得 $BP · PC = BM · CN$。
【答案】
$BP·PC=BM·CN$，证明过程如上。
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 等边三角形的性质
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题属于比例式、乘积式证明的典型题型，解题核心是将乘积式转化为比例式，通过证明对应三角形相似完成推导。解题时需结合已知条件挖掘角的等量关系，对逻辑推理能力有较好的训练作用。
【难度系数】
0.6

3. 如图，D是$△ ABC$的边BC上一点，点E在$△ ABC$外部，且$∠ BAE=∠ CAD$，$∠ ACD=∠ ADC=∠ ADE$，DE交AB于点F。如果$AD=AF$，求证：$EF^2=BF· AB$。

3. 证明: $\because ∠ ACD = ∠ ADC, \therefore AC = AD, ∠ CAD = 180° - 2∠ ADC. \because ∠ BAE = ∠ CAD, \therefore ∠ BAC = ∠ EAD. \because ∠ ACB = ∠ ADE, \therefore △ ABC ≌ △ AED, \therefore AB = AE. \because AD = AF, \therefore ∠ ADF = ∠ AFD, \therefore ∠ DAF = 180° - 2∠ ADF. \because ∠ ADC = ∠ ADE, \therefore ∠ CAD = ∠ DAF. \because ∠ BAE = ∠ CAD, \therefore ∠ DAF = ∠ BAE. \therefore △ ABD ≌ △ AEF, \therefore BD = EF. \because ∠ BDF = 180° - ∠ ADF - ∠ ADC = 180° - 2∠ ADF, \therefore ∠ BDF = ∠ BAD.$ 又 $\because ∠ B = ∠ B, \therefore △ BDF ∽ △ BAD, \therefore \frac{BD}{BA} = \frac{BF}{BD}. \therefore \frac{EF}{BA} = \frac{BF}{EF}$,即 $EF^2 = BF · AB.$

【分析】
要证明等积式$EF^2=BF·AB$，首先遵循乘积式证明的常规思路，将其转化为比例式$\frac{EF}{AB}=\frac{BF}{EF}$，观察发现比例式对应的线段无法直接对应相似三角形，因此考虑通过线段等量代换转化问题。
第一步先从已知角相等的条件推导全等：由$∠ACD=∠ADC$可得$AC=AD$，结合$∠BAE=∠CAD$可推出$∠BAC=∠EAD$，再加上已知$∠ACB=∠ADE$，可证明$△ ABC≌△ AED$，得到$AB=AE$；第二步结合$AD=AF$、$∠ADC=∠ADE$的条件，可推得$∠DAF=∠BAE$，进而证明$△ ABD≌△ AEF$，得到$BD=EF$，此时待证等积式转化为$BD^2=BF·AB$，对应比例式$\frac{BD}{AB}=\frac{BF}{BD}$。
观察该比例式的线段，$BD、BF$属于$△ BDF$，$AB、BD$属于$△ BAD$，两个三角形有公共角$∠B$，只需再证明一组角相等即可证相似，通过角的和差关系可推得$∠BDF=∠BAD$，即可证明$△ BDF∽△ BAD$，代入等量代换的线段即可完成证明。
【解析】
证明:
$\because ∠ ACD = ∠ ADC, \therefore AC = AD, ∠ CAD = 180° - 2∠ ADC.$
$\because ∠ BAE = ∠ CAD, \therefore ∠ BAC = ∠ EAD.$
$\because ∠ ACB = ∠ ADE, \therefore △ ABC ≌ △ AED, \therefore AB = AE.$
$\because AD = AF, \therefore ∠ ADF = ∠ AFD, \therefore ∠ DAF = 180° - 2∠ ADF.$
$\because ∠ ADC = ∠ ADE, \therefore ∠ CAD = ∠ DAF.$
$\because ∠ BAE = ∠ CAD, \therefore ∠ DAF = ∠ BAE.$
$\therefore △ ABD ≌ △ AEF, \therefore BD = EF.$
$\because ∠ BDF = 180° - ∠ ADF - ∠ ADC = 180° - 2∠ ADF, \therefore ∠ BDF = ∠ BAD.$
又 $\because ∠ B = ∠ B, \therefore △ BDF ∽ △ BAD, \therefore \frac{BD}{BA} = \frac{BF}{BD}.$
$\therefore \frac{EF}{BA} = \frac{BF}{EF}$,即 $EF^2 = BF · AB.$
【答案】
$EF^2=BF·AB$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 相似三角形的判定与性质
3. 等腰三角形的性质
【点评】
本题是乘积式证明的典型题型，解题的核心是通过全等三角形完成线段的等量代换，将待证的陌生乘积式转化为可通过相似三角形推导的形式，综合考察了角的等量推导、几何图形性质的综合应用能力。
【难度系数】
0.55

4. 在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点.若PE⊥EC，如图，求证：AE·AB=DE·AP.

4. 证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ BAD = ∠ ADC = 90°, AB = CD. \because AE ⊥ BD, PE ⊥ EC, \therefore ∠ AED = ∠ PEC = 90°, \therefore ∠ AEP = ∠ DEC. \because ∠ EAP + ∠ ADE = 90°, ∠ ADE + ∠ EDC = 90°, \therefore ∠ EAP = ∠ EDC, \therefore △ AEP ∽ △ DEC, \therefore \frac{AE}{DE} = \frac{AP}{DC}. \because AB = CD, \therefore AE · AB = DE · AP.$

【分析】
要证明$AE·AB=DE·AP$，可先将乘积式转化为比例式$\frac{AE}{DE}=\frac{AP}{AB}$，结合矩形对边相等$AB=CD$，只需证$\frac{AE}{DE}=\frac{AP}{CD}$，即证明$△ AEP ∽ △ DEC$即可。首先根据垂直条件，利用同角的余角相等分别推出两组对应角相等：一是$∠ AEP=∠ DEC$，二是$∠ EAP=∠ EDC$，即可证明两三角形相似，再通过边的代换就能得到待证结论。
【解析】
证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ BAD = ∠ ADC = 90°, AB = CD$.
$\because AE ⊥ BD, PE ⊥ EC, \therefore ∠ AED = ∠ PEC = 90°$,
$\therefore ∠AED - ∠PED = ∠PEC - ∠PED$，即$∠ AEP = ∠ DEC$.
$\because ∠ EAP + ∠ ADE = 90°, ∠ ADE + ∠ EDC = 90°$,
$\therefore ∠ EAP = ∠ EDC$,
$\therefore △ AEP ∽ △ DEC$,
$\therefore \frac{AE}{DE} = \frac{AP}{DC}$.
$\because AB = CD$,
$\therefore \frac{AE}{DE} = \frac{AP}{AB}$，交叉相乘得$AE · AB = DE · AP$.
【答案】
证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形, $\therefore ∠ BAD = ∠ ADC = 90°, AB = CD. \because AE ⊥ BD, PE ⊥ EC, \therefore ∠ AED = ∠ PEC = 90°, \therefore ∠ AEP = ∠ DEC. \because ∠ EAP + ∠ ADE = 90°, ∠ ADE + ∠ EDC = 90°, \therefore ∠ EAP = ∠ EDC, \therefore △ AEP ∽ △ DEC, \therefore \frac{AE}{DE} = \frac{AP}{DC}. \because AB = CD, \therefore AE · AB = DE · AP.$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质
【点评】
本题是乘积式证明的典型题型，核心是运用转化思想将待证乘积式转化为比例式，通过推导角相等证明三角形相似，再结合图形性质代换边即可得证，侧重考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6