7. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，D为边BC上一点，连结AD，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E。若$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，则$\frac{AC}{BE}$的值为。

7. $\frac{\sqrt{10}}{2}$

【分析】
解题时先利用已知的线段比例关系设参数表示各段边长，结合等腰直角三角形的性质得到AC的长度；再通过勾股定理计算AD的长度；接着根据直角相等和对顶角相等证明两个三角形相似，利用相似三角形对应边成比例的性质求出BE的表达式；最后代入计算AC与BE的比值即可。
【解析】
设$CD=x$，
$\because \frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，$\therefore BD=2x$，
$\therefore BC=CD+BD=3x$，
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ C=90°$，
$\therefore AC=BC=3x$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{(3x)^2+x^2}=\sqrt{10}x$，
$\because BE⊥ AD$，$\therefore ∠ E=∠ C=90°$，
又$\because ∠ ADC=∠ BDE$（对顶角相等），
$\therefore △ ACD ∽ △ BED$（两角对应相等，两三角形相似），
$\therefore \frac{AC}{BE}=\frac{AD}{BD}$，
代入数值得$\frac{3x}{BE}=\frac{\sqrt{10}x}{2x}$，解得$BE=\frac{3\sqrt{10}x}{5}$，
$\therefore \frac{AC}{BE}=\frac{3x}{\frac{3\sqrt{10}x}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是典型的几何比例求值题，通过设参数的方法可以简化计算过程，解题的核心是准确找到相似三角形，结合勾股定理和相似性质求解，能很好地考查几何综合运用能力。
【难度系数】
0.6

8.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,AD是斜边BC上的高.
(1)求证:$△ ABD∽△ CBA$;
(2)若$AB=6$,$BC=10$,求BD的长.

(1) 证明: $\because AD$ 是斜边 $BC$ 上的高, $\therefore ∠ BDA=90°$. 又 $\because ∠ BAC=90°$, $\therefore ∠ BDA=∠ BAC$. 又 $\because ∠ B=∠ B, \therefore △ ABD∽ △ CBA$.
(2) 解: 由(1)知 $△ ABD∽ △ CBA, \therefore \frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}, \therefore \frac{BD}{6}=\frac{6}{10}, \therefore BD=\frac{18}{5}$.

【分析】
(1) 要证明两个三角形相似，优先采用两角对应相等的判定定理。观察△ABD和△CBA，两个三角形有公共角∠B，再结合已知条件找另一组等角：AD是BC边上的高可得∠BDA=90°，已知∠BAC=90°，即可得到两组角对应相等，完成相似证明。
(2) 借助第一问得到的相似结论，利用相似三角形对应边成比例的性质，列出对应边的比例式，代入已知的AB、BC的长度，即可计算出BD的长度。
【解析】
(1) 证明: $\because AD$ 是斜边 $BC$ 上的高, $\therefore ∠ BDA=90°$. 又 $\because ∠ BAC=90°$, $\therefore ∠ BDA=∠ BAC$. 又 $\because ∠ B=∠ B, \therefore △ ABD∽ △ CBA$.
(2) 解: 由(1)知 $△ ABD∽ △ CBA, \therefore \frac{BD}{BA}=\frac{BA}{BC}$, 将$AB=6$，$BC=10$代入得$\frac{BD}{6}=\frac{6}{10}$, 解得$BD=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}$.
【答案】
(1) $△ ABD∽△ CBA$，证明成立；
(2) $BD=\frac{18}{5}$
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、直角三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，第一问通过公共角加直角的组合判定相似，是相似证明的常见考法；第二问利用相似三角形对应边成比例求解线段长，是相似的典型应用，该图形是相似的经典模型，掌握该模型可提升同类题的解题效率。
【难度系数】
0.8

9.(湖南省中考改编)
(1)如图1,在四边形ABCD中,AB//CD,点P在BC上,∠B=∠APD=90°,求证:△ABP∽△PCD.
(2)探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在边BC上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:△ABP∽△PCD.
(3)应用:如图3,在△ABC中,点P是边BC的中点,点D,E分别在边AB,AC上.若∠B=∠C=∠DPE=45°,BC=8√2,CE=6,求DE的长.

(1) 证明: $\because AB// CD, ∠ B=∠ APD=90°, \therefore ∠ C=90°=∠ B, ∠ BAP+∠ APB=90°, ∠ APB+∠ CPD=90°, \therefore ∠ BAP=∠ CPD, \therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(2) 证明: $\because ∠ B=∠ C=∠ APD, ∠ CPD=180°-∠ APD-∠ APB, ∠ BAP=180°-∠ APB-∠ B, \therefore ∠ CPD=∠ BAP, \therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(3) 解: 由(2)知 $△ BDP∽ △ CPE, \therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}. \because$ 点 $P$ 是 $BC$ 的中点, $BC=8\sqrt{2}, \therefore BP=CP=4\sqrt{2}. \because CE=6, \therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6}, \therefore BD=\frac{16}{3}. \because ∠ B=∠ C=45°, \therefore ∠ A=90°$. 又 $\because BC=8\sqrt{2}, \therefore AC=AB=8, \therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}, AE=AC-CE=8-6=2, \therefore DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\frac{10}{3}$.

【分析】
(1) 要证明△ABP∽△PCD，需证两组对应角相等：首先由AB//CD、∠B=90°可得∠C=90°，即∠B=∠C；再结合∠APD=90°，根据同角的余角相等可推出∠BAP=∠CPD，即可证得相似。
(2) 本题是(1)的一般化情形，仍通过证两组对应角相等证明相似：已知∠B=∠C，再根据平角定义和三角形内角和定理，结合∠B=∠APD的条件，可推导出∠BAP=∠CPD，即可证得△ABP∽△PCD。
(3) 应用第(2)问的结论，先证△BDP∽△CPE，利用相似三角形对应边成比例求出BD的长；再由∠B=∠C=45°判断△ABC为等腰直角三角形，求出AB、AC的长度，进而得到AD、AE的长度，最后在Rt△ADE中用勾股定理计算DE的长度即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AB// CD, ∠ B=∠ APD=90°$,
$\therefore ∠ C=90°=∠ B$,
$\because ∠ BAP+∠ APB=90°, ∠ APB+∠ CPD=90°$,
$\therefore ∠ BAP=∠ CPD$,
$\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(2) 证明：$\because ∠ B=∠ C=∠ APD$,
又$\because ∠ CPD=180°-∠ APD-∠ APB, ∠ BAP=180°-∠ APB-∠ B$,
$\therefore ∠ CPD=∠ BAP$,
$\therefore △ ABP∽ △ PCD$.
(3) 解：由(2)的结论可得$△ BDP∽ △ CPE$,
$\therefore \frac{BD}{CP}=\frac{BP}{CE}$.
$\because$ 点 $P$ 是 $BC$ 的中点, $BC=8\sqrt{2}$,
$\therefore BP=CP=4\sqrt{2}$.
$\because CE=6$,
$\therefore \frac{BD}{4\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{6}$, 解得$BD=\frac{16}{3}$.
$\because ∠ B=∠ C=45°$,
$\therefore ∠ A=180°-45°-45°=90°$, 即$△ ABC$是等腰直角三角形,
又$\because BC=8\sqrt{2}$,
$\therefore AC=AB=BC·\sin45°=8\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=8$,
$\therefore AD=AB-BD=8-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$, $AE=AC-CE=8-6=2$,
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{AD^2+AE^2}=\sqrt{(\frac{8}{3})^2+2^2}=\sqrt{\frac{64}{9}+\frac{36}{9}}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}$.
【答案】
(1) 已证$△ ABP ∽ △ PCD$；
(2) 已证$△ ABP ∽ △ PCD$；
(3) $\frac{10}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题以“一线三等角”相似模型为核心，从特殊到一般逐层设问，既考查了相似三角形的判定方法，也考查了相似性质、等腰直角三角形性质和勾股定理的综合应用，解题时要注意前后设问的关联性，学会迁移前面的结论解决新问题。
【难度系数】
0.6