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1. 如图，在$△ ABC$中，点D、E分别为边AC、BC上的点，连结AE、BD、DE，AE与BD交于点F，$DE// AB$，$AB=2DE$，则$\frac{DF}{BF}$的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
1. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察到DE//AB，可结合平行线的性质得到两个三角形的对应内角相等，从而判定△ABF与△EDF相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知AB=2DE的条件，即可求出DF与BF的比值。
【解析】
∵ DE//AB，
∴ ∠FAB=∠FED，∠FBA=∠FDE（两直线平行，内错角相等），
∴ △ABF∽△EDF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{BF}$。
又
∵ AB=2DE，即$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DF}{BF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题考查平行线型相似三角形的应用，属于基础题型，解题的关键是识别出由平行构造的X型相似三角形，再利用相似三角形的性质列式求解。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察到DE//AB，可结合平行线的性质得到两个三角形的对应内角相等，从而判定△ABF与△EDF相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，结合已知AB=2DE的条件，即可求出DF与BF的比值。
【解析】
∵ DE//AB，
∴ ∠FAB=∠FED，∠FBA=∠FDE（两直线平行，内错角相等），
∴ △ABF∽△EDF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{BF}$。
又
∵ AB=2DE，即$\frac{DE}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴ $\frac{DF}{BF}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题考查平行线型相似三角形的应用，属于基础题型，解题的关键是识别出由平行构造的X型相似三角形，再利用相似三角形的性质列式求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$□ ABCD$中，E在AB上，CE，BD交于F，若$AE:BE=4:3$，且$BF=2$，求DF的长。
答案
解：由 $AE:BE=4:3$, 得 $BE:AB=BE:CD=3:7$, $\because AB // CD$, $\therefore △ BFE∽ △ DFC$, $\therefore BF:DF=BE:CD=3:7$, $\therefore DF=\frac{7}{3}BF=\frac{14}{3}$.
解析
【分析】
解题时首先从平行四边形的性质入手，平行四边形对边平行且相等，因此AB=CD且AB//CD；结合已知AE:BE=4:3，可求出BE与AB的比值，即BE与CD的比值。再根据AB//CD可得△BFE和△DFC的两组对应角相等，判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知BF的长度即可求出DF的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∵ AE:BE=4:3，
∴ BE:AB=3:(4+3)=3:7，
∴ BE:CD=3:7，
∵ AB//CD，
∴ ∠EBF=∠CDF，∠BEF=∠DCF，
∴ △BFE∽△DFC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ BF:DF=BE:CD=3:7，
又
∵ BF=2，
∴ 2:DF=3:7，
解得 $DF=\frac{2×7}{3}=\frac{14}{3}$。
【答案】
$\dfrac{14}{3}$
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题的核心是结合平行四边形的性质找到相似三角形，利用相似三角形的线段比例关系建立等式求解，有助于学生掌握相似三角形的基本应用方法。
【难度系数】
0.7
解题时首先从平行四边形的性质入手，平行四边形对边平行且相等，因此AB=CD且AB//CD；结合已知AE:BE=4:3，可求出BE与AB的比值，即BE与CD的比值。再根据AB//CD可得△BFE和△DFC的两组对应角相等，判定两个三角形相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知BF的长度即可求出DF的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD，AB//CD，
∵ AE:BE=4:3，
∴ BE:AB=3:(4+3)=3:7，
∴ BE:CD=3:7，
∵ AB//CD，
∴ ∠EBF=∠CDF，∠BEF=∠DCF，
∴ △BFE∽△DFC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴ BF:DF=BE:CD=3:7，
又
∵ BF=2，
∴ 2:DF=3:7，
解得 $DF=\frac{2×7}{3}=\frac{14}{3}$。
【答案】
$\dfrac{14}{3}$
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形应用的基础题型，解题的核心是结合平行四边形的性质找到相似三角形，利用相似三角形的线段比例关系建立等式求解，有助于学生掌握相似三角形的基本应用方法。
【难度系数】
0.7
3. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、AB上的点，且∠ADE=∠B。若AD·BC=10，DE=2，则AB的长为
5
。答案
3. 5
解析
【分析】
解题时首先观察图形，发现△ADE和△ABC有公共角∠A，结合已知条件∠ADE=∠B，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式后变形，将已知的AD·BC=10、DE=2代入即可求出AB的长度。
【解析】
解：在△ADE和△ABC中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角相等}) \\∠ADE=∠B \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$
交叉变形得：$AD· BC=AB· DE$
将$AD· BC=10$，$DE=2$代入上式：
$10=2· AB$
解得$AB=5$
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是准确识别公共角、结合已知等角判定相似，再利用相似的性质建立等式求解，掌握相似的判定和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察图形，发现△ADE和△ABC有公共角∠A，结合已知条件∠ADE=∠B，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式后变形，将已知的AD·BC=10、DE=2代入即可求出AB的长度。
【解析】
解：在△ADE和△ABC中：
$\begin{cases}∠A=∠A \quad (\mathrm{公共角相等}) \\∠ADE=∠B \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）
由相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$
交叉变形得：$AD· BC=AB· DE$
将$AD· BC=10$，$DE=2$代入上式：
$10=2· AB$
解得$AB=5$
【答案】
5
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是准确识别公共角、结合已知等角判定相似，再利用相似的性质建立等式求解，掌握相似的判定和性质即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
4.如图，BD，AC相交于点P，连结AB，BC，CD，DA，∠1=∠2.
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)若AB=8，CD=4，DP=3，求AP的长.
(1)求证：△ADP∽△BCP；
(2)若AB=8，CD=4，DP=3，求AP的长.
答案
(1) 证明: $\because ∠ 1=∠ 2, ∠ DPA=∠ CPB, \therefore △ ADP∽ △ BCP$.
(2) 解: $\because △ ADP∽ △ BCP, \therefore \frac{AP}{BP}=\frac{DP}{CP}. \therefore \frac{AP}{DP}=\frac{BP}{CP}. \because ∠ APB=∠ DPC, \therefore △ APB∽ △ DPC. \therefore \frac{AP}{DP}=\frac{AB}{DC}=2, \therefore AP=2DP=6$.
(2) 解: $\because △ ADP∽ △ BCP, \therefore \frac{AP}{BP}=\frac{DP}{CP}. \therefore \frac{AP}{DP}=\frac{BP}{CP}. \because ∠ APB=∠ DPC, \therefore △ APB∽ △ DPC. \therefore \frac{AP}{DP}=\frac{AB}{DC}=2, \therefore AP=2DP=6$.
解析
【分析】
(1) 要证明△ADP∽△BCP，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定，先找两组对应等角：已知∠1=∠2，再结合BD、AC相交形成的对顶角∠DPA=∠CPB，即可满足相似判定条件。
(2) 求AP的长度，先利用第(1)问的相似结论得到对应边的比例关系，对比例式变形后，结合对顶角∠APB=∠DPC，可证△APB∽△DPC，再利用新的相似三角形的边比例关系，代入已知数值即可求出AP。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠1=∠2（已知），∠DPA=∠CPB（对顶角相等）
∴ △ADP∽△BCP（两角分别相等的两个三角形相似）
(2) 解：
∵ △ADP∽△BCP
∴ 对应边成比例，即$\frac{AP}{BP}=\frac{DP}{CP}$，变形可得$\frac{AP}{DP}=\frac{BP}{CP}$
又
∵ ∠APB=∠DPC（对顶角相等）
∴ △APB∽△DPC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{DC}$
将AB=8，CD=4，DP=3代入得：$\frac{AP}{3}=\frac{8}{4}=2$
解得$AP=2×3=6$
【答案】
(1) △ADP∽△BCP得证；
(2) AP的长为6。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心是利用已知角和对顶角先后推导两组三角形相似，解题时要注意衔接已证的相似结论，通过比例变形找到新的相似关系，熟练掌握相似的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ADP∽△BCP，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”判定，先找两组对应等角：已知∠1=∠2，再结合BD、AC相交形成的对顶角∠DPA=∠CPB，即可满足相似判定条件。
(2) 求AP的长度，先利用第(1)问的相似结论得到对应边的比例关系，对比例式变形后，结合对顶角∠APB=∠DPC，可证△APB∽△DPC，再利用新的相似三角形的边比例关系，代入已知数值即可求出AP。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠1=∠2（已知），∠DPA=∠CPB（对顶角相等）
∴ △ADP∽△BCP（两角分别相等的两个三角形相似）
(2) 解：
∵ △ADP∽△BCP
∴ 对应边成比例，即$\frac{AP}{BP}=\frac{DP}{CP}$，变形可得$\frac{AP}{DP}=\frac{BP}{CP}$
又
∵ ∠APB=∠DPC（对顶角相等）
∴ △APB∽△DPC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{DC}$
将AB=8，CD=4，DP=3代入得：$\frac{AP}{3}=\frac{8}{4}=2$
解得$AP=2×3=6$
【答案】
(1) △ADP∽△BCP得证；
(2) AP的长为6。
【知识点】
1. 相似三角形的判定
2. 相似三角形的性质
3. 对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础综合题，核心是利用已知角和对顶角先后推导两组三角形相似，解题时要注意衔接已证的相似结论，通过比例变形找到新的相似关系，熟练掌握相似的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED，∠EAC=∠DAB，连结BD、CE。若∠ACE=25°，则∠ABD的度数为
25
°。答案
5. 25
解析
【分析】
首先从已知角∠EAC=∠DAB出发，通过角的和差推导得到∠BAC=∠DAE，结合已知的∠ACB=∠AED，可先证明△ABC与△ADE相似，得到对应边成比例的关系；再结合∠DAB=∠EAC的条件，利用两边成比例且夹角相等证明△ABD与△ACE相似，最终根据相似三角形对应角相等即可求出∠ABD的度数。
【解析】
1. 推导相等夹角：
∵ ∠EAC=∠DAB
∴ ∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠BAC=∠DAE
2. 证明第一组相似：
∵ ∠ACB=∠AED，∠BAC=∠DAE
∴ △ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，变形可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
3. 证明第二组相似：
∵ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，且∠DAB=∠EAC
∴ △ABD∽△ACE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
4. 求角度：
由相似三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE
已知∠ACE=25°，故∠ABD=25°
【答案】
25
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于典型的相似三角形模型类考题，核心是通过两次相似的证明建立所求角和已知角的等量关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，能通过已知角的关系找到相似的判定条件。
【难度系数】
0.7
首先从已知角∠EAC=∠DAB出发，通过角的和差推导得到∠BAC=∠DAE，结合已知的∠ACB=∠AED，可先证明△ABC与△ADE相似，得到对应边成比例的关系；再结合∠DAB=∠EAC的条件，利用两边成比例且夹角相等证明△ABD与△ACE相似，最终根据相似三角形对应角相等即可求出∠ABD的度数。
【解析】
1. 推导相等夹角：
∵ ∠EAC=∠DAB
∴ ∠EAC+∠BAE=∠DAB+∠BAE，即∠BAC=∠DAE
2. 证明第一组相似：
∵ ∠ACB=∠AED，∠BAC=∠DAE
∴ △ABC∽△ADE（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，变形可得$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$
3. 证明第二组相似：
∵ $\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，且∠DAB=∠EAC
∴ △ABD∽△ACE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
4. 求角度：
由相似三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE
已知∠ACE=25°，故∠ABD=25°
【答案】
25
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题属于典型的相似三角形模型类考题，核心是通过两次相似的证明建立所求角和已知角的等量关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，能通过已知角的关系找到相似的判定条件。
【难度系数】
0.7
6. 如图，已知$∠ DAB = ∠ EAC$，$∠ ADE = ∠ ABC$. 求证：
(1) $△ ADE ∽ △ ABC$；
(2) $\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$.
(1) $△ ADE ∽ △ ABC$；
(2) $\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$.
答案
(1) 证明: $\because ∠ DAB=∠ EAC, \therefore ∠ DAE=∠ BAC$. 又 $\because ∠ ADE=∠ ABC, \therefore △ ADE∽ △ ABC$.
(2) $\because △ ADE∽ △ ABC, \therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}. \because ∠ DAB=∠ EAC, \therefore △ ADB∽ △ AEC. \therefore \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$.
(2) $\because △ ADE∽ △ ABC, \therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}. \because ∠ DAB=∠ EAC, \therefore △ ADB∽ △ AEC. \therefore \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$.
解析
【分析】
（1）要证明△ADE∽△ABC，已知已有一组对应角∠ADE=∠ABC，只需再推导一组对应角相等即可。由已知∠DAB=∠EAC，两个角同时加上公共角∠BAE，即可得到∠DAE=∠BAC，满足两角分别相等的相似判定条件，即可完成证明。
（2）要证$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$，可先由第(1)问的相似三角形性质得到对应边成比例，推导得出$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，再结合已知∠DAB=∠EAC，满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定条件，证明△ADB∽△AEC，最后根据相似三角形对应边成比例即可得到待证结论。
【解析】
(1) 证明:
$\because ∠ DAB=∠ EAC$，
$\therefore ∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE$，即$∠DAE=∠BAC$，
又$\because ∠ ADE=∠ ABC$，
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$。
(2) 证明:
$\because △ ADE∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，整理得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
$\because ∠ DAB=∠ EAC$，
$\therefore △ ADB∽ △ AEC$，
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 证明成立。
（或直接参考题干给出的参考答案证明过程）
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，核心考查相似三角形判定定理与性质的综合应用，解题的关键是结合已知角的关系推导对应相等的角，再通过相似判定条件得到相似三角形，最后利用相似性质推导边的比例关系，掌握相似的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△ADE∽△ABC，已知已有一组对应角∠ADE=∠ABC，只需再推导一组对应角相等即可。由已知∠DAB=∠EAC，两个角同时加上公共角∠BAE，即可得到∠DAE=∠BAC，满足两角分别相等的相似判定条件，即可完成证明。
（2）要证$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$，可先由第(1)问的相似三角形性质得到对应边成比例，推导得出$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，再结合已知∠DAB=∠EAC，满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定条件，证明△ADB∽△AEC，最后根据相似三角形对应边成比例即可得到待证结论。
【解析】
(1) 证明:
$\because ∠ DAB=∠ EAC$，
$\therefore ∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE$，即$∠DAE=∠BAC$，
又$\because ∠ ADE=∠ ABC$，
$\therefore △ ADE∽ △ ABC$。
(2) 证明:
$\because △ ADE∽ △ ABC$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，整理得$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
$\because ∠ DAB=∠ EAC$，
$\therefore △ ADB∽ △ AEC$，
$\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$。
【答案】
(1) 证明成立；
(2) 证明成立。
（或直接参考题干给出的参考答案证明过程）
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、角的和差运算
【点评】
本题是相似三角形的基础常考题，核心考查相似三角形判定定理与性质的综合应用，解题的关键是结合已知角的关系推导对应相等的角，再通过相似判定条件得到相似三角形，最后利用相似性质推导边的比例关系，掌握相似的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.7
