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9. 如图,每个小正方形的边长均为1,则图中的三角形与图中△ABC相似的是 (
A.△FBE
B.△BED
C.△DFE
D.△ABE
B
)A.△FBE
B.△BED
C.△DFE
D.△ABE
答案
9.B
解析
【分析】要判断哪个三角形与△ABC相似，首先利用勾股定理计算△ABC的三边长，得到三边的比例关系，再分别计算各选项中三角形的三边长，求出对应三边的比例，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”的判定定理，找到比例与△ABC一致的三角形即可。
【解析】设每个小正方形的边长为1，首先计算△ABC的三边长：
边BC的长度为2；
由勾股定理得：$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
因此△ABC的三边长度之比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
接下来分别计算各选项三角形的三边之比：
A. △FBE：$BF=3$，$BE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与△ABC三边比不相等，两三角形不相似；
B. △BED：$BD=1$，$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，两三角形相似；
C. △DFE：$DF=2$，$DE=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2}$，三边比为$1:1:\sqrt{2}$，与△ABC三边比不相等，两三角形不相似；
D. △ABE：$AE=1$，$BE=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{10}$，三边比为$1:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，与△ABC三边比不相等，两三角形不相似。
综上，符合要求的是△BED。
【答案】B
【知识点】勾股定理、相似三角形的判定
【点评】本题解题核心是先通过勾股定理准确计算各三角形边长，再利用三边成比例的相似判定规则判断，计算边长时要注意对应坐标差的取值，避免计算失误。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1，首先计算△ABC的三边长：
边BC的长度为2；
由勾股定理得：$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
因此△ABC的三边长度之比为$\sqrt{2}:2:\sqrt{10}=1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$。
接下来分别计算各选项三角形的三边之比：
A. △FBE：$BF=3$，$BE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$EF=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，三边比为$\sqrt{2}:\sqrt{5}:3$，与△ABC三边比不相等，两三角形不相似；
B. △BED：$BD=1$，$DE=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BE=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，三边比为$1:\sqrt{2}:\sqrt{5}$，与△ABC三边比相等，两三角形相似；
C. △DFE：$DF=2$，$DE=\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2}$，三边比为$1:1:\sqrt{2}$，与△ABC三边比不相等，两三角形不相似；
D. △ABE：$AE=1$，$BE=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{10}$，三边比为$1:\sqrt{5}:\sqrt{10}$，与△ABC三边比不相等，两三角形不相似。
综上，符合要求的是△BED。
【答案】B
【知识点】勾股定理、相似三角形的判定
【点评】本题解题核心是先通过勾股定理准确计算各三角形边长，再利用三边成比例的相似判定规则判断，计算边长时要注意对应坐标差的取值，避免计算失误。
【难度系数】0.7
10. 甲三角形的三边分别为$1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$，乙三角形的三边分别为$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$5$，则甲、乙两个三角形（
A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断是否相似
A
）A.一定相似
B.一定不相似
C.不一定相似
D.无法判断是否相似
答案
10.A
解析
【分析】
要判断两个三角形是否相似，可优先选用三边对应成比例的相似判定定理，本题已知两个三角形的所有边长，适合用该定理解题。解题思路如下：第一步先将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列，保证小边对小边、中边对中边、大边对大边，避免对应边匹配错误；第二步分别计算三组对应边的比值，若三组比值完全相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
先将两个三角形的三边按从小到大的顺序排序：
甲三角形三边：$1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$
乙三角形三边：$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$5$
分别计算三组对应边的比值：
小边比值：$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
中边比值：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
大边比值：$\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
三组对应边的比值完全相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可知甲、乙两个三角形一定相似。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的三边判定、二次根式化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是正确匹配两个三角形的对应边，再通过计算比值验证是否满足判定条件，注意不要搞反对应边顺序导致判断失误。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否相似，可优先选用三边对应成比例的相似判定定理，本题已知两个三角形的所有边长，适合用该定理解题。解题思路如下：第一步先将两个三角形的三边分别按从小到大的顺序排列，保证小边对小边、中边对中边、大边对大边，避免对应边匹配错误；第二步分别计算三组对应边的比值，若三组比值完全相等，则两个三角形相似，否则不相似。
【解析】
先将两个三角形的三边按从小到大的顺序排序：
甲三角形三边：$1$、$\sqrt{2}$、$\sqrt{5}$
乙三角形三边：$\sqrt{5}$、$\sqrt{10}$、$5$
分别计算三组对应边的比值：
小边比值：$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
中边比值：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
大边比值：$\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$
三组对应边的比值完全相等，根据“三边对应成比例的两个三角形相似”，可知甲、乙两个三角形一定相似。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形的三边判定、二次根式化简
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题核心是正确匹配两个三角形的对应边，再通过计算比值验证是否满足判定条件，注意不要搞反对应边顺序导致判断失误。
【难度系数】
0.7
11.如图,已知四边形ABCD,连结BD.请判断AB与CD的位置关系,并说明理由.
答案
11. 解:$AB// CD$. 理由如下:根据题图，得$AB=14,AD=28,BD=21,BC=42,DC=31.5,\therefore \frac{AD}{BC}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$，$\frac{AB}{BD}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3},\frac{BD}{DC}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AD}{BC}=\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}, \therefore △ADB ∽ △BCD,\therefore ∠ABD=∠BDC,\therefore AB// CD.$
解析
【分析】
要判断AB与CD的位置关系，通常可通过角的数量关系推导，若要证平行需证明内错角相等。题目给出了各边的长度，因此可先通过三边成比例判定两个三角形相似，借助相似三角形对应角相等得到内错角相等，最终推导出两直线的位置关系。解题时先整理△ADB和△BCD的各边长度，再计算对应边的比值判断是否成比例即可。
【解析】
根据题图可得各边长度：$AB=14,AD=28,BD=21,BC=42,DC=31.5$。
计算对应边的比值：
$\frac{AD}{BC}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$，
$\frac{AB}{BD}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$，
$\frac{BD}{DC}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$，
因此$\frac{AD}{BC}=\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ADB ∽ △ BCD$。
由相似三角形对应角相等，得$∠ ABD=∠ BDC$，$∠ ABD$和$∠ BDC$是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角，内错角相等则两直线平行，故$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、平行线判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将相似三角形的判定、性质与平行线判定结合考查，解题关键是准确找到对应边计算比值，通过相似得到等角进而判断直线位置关系，能有效巩固基础判定定理的应用。
【难度系数】
0.7
要判断AB与CD的位置关系，通常可通过角的数量关系推导，若要证平行需证明内错角相等。题目给出了各边的长度，因此可先通过三边成比例判定两个三角形相似，借助相似三角形对应角相等得到内错角相等，最终推导出两直线的位置关系。解题时先整理△ADB和△BCD的各边长度，再计算对应边的比值判断是否成比例即可。
【解析】
根据题图可得各边长度：$AB=14,AD=28,BD=21,BC=42,DC=31.5$。
计算对应边的比值：
$\frac{AD}{BC}=\frac{28}{42}=\frac{2}{3}$，
$\frac{AB}{BD}=\frac{14}{21}=\frac{2}{3}$，
$\frac{BD}{DC}=\frac{21}{31.5}=\frac{2}{3}$，
因此$\frac{AD}{BC}=\frac{AB}{BD}=\frac{BD}{DC}$，根据三边对应成比例的两个三角形相似，可得$△ ADB ∽ △ BCD$。
由相似三角形对应角相等，得$∠ ABD=∠ BDC$，$∠ ABD$和$∠ BDC$是直线AB、CD被直线BD所截形成的内错角，内错角相等则两直线平行，故$AB// CD$。
【答案】
$AB// CD$
【知识点】
相似三角形判定、相似三角形性质、平行线判定
【点评】
本题是几何基础综合题，将相似三角形的判定、性质与平行线判定结合考查，解题关键是准确找到对应边计算比值，通过相似得到等角进而判断直线位置关系，能有效巩固基础判定定理的应用。
【难度系数】
0.7
12.如图,等腰三角形ABC中,$AB=AC$,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上一点,且满足$AB^2=DB· CE$.
(1)试说明$△ ADB∽ △ EAC$;
(2)若$∠ BAC=40°$,求$∠ DAE$的度数.
(1)试说明$△ ADB∽ △ EAC$;
(2)若$∠ BAC=40°$,求$∠ DAE$的度数.
答案
12. (1) 解: $\because AB^2 = DB · CE, AB= AC,\therefore \frac{AC}{CE}=\frac{DB}{AB},∠ABC=∠ACB,$ $\therefore ∠ABD=∠ACE, \therefore △ADB∽ △EAC;$ (2) $\because △ADB∽ △EAC,$ $\therefore ∠E=∠DAB. \because ∠BAC=40°,$ $AB=AC, \therefore ∠DCA=70°=∠E+∠CAE, \therefore ∠DAE = ∠DAB + ∠CAE+∠BAC=(∠E+∠CAE)+40°=110°.$
解析
【分析】
(1) 要证明△ADB∽△EAC，先从已知条件出发：由AB=AC可得等腰三角形底角相等，进而推出底角的邻补角∠ABD=∠ACE；再将已知的等积式$AB^2=DB·CE$结合AB=AC转化为比例式，即可得到两组对应边成比例且夹角相等，满足相似三角形的判定条件。
(2) 求∠DAE的度数时，先利用第一问的相似结论得到对应角相等，再结合等腰三角形内角和算出底角的度数，最后通过角的拆分与等量代换，结合三角形外角性质即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB^2 = DB · CE$，且$AB= AC$，
$\therefore \frac{AC}{CE}=\frac{DB}{AB}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB$，
又$\because ∠ABD=180°-∠ABC$，$∠ACE=180°-∠ACB$，
$\therefore ∠ABD=∠ACE$，
$\therefore △ADB∽ △EAC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
$\because △ADB∽ △EAC$，
$\therefore ∠DAB=∠E$，
$\because AB=AC$，$∠BAC=40°$，
$\therefore ∠ACB=\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
由三角形外角性质可得：$∠ACB=∠E+∠CAE=70°$，
$\because ∠DAE = ∠DAB + ∠CAE+∠BAC$，
将$∠DAB$替换为$∠E$，代入得：
$∠DAE=∠E+∠CAE+∠BAC=70°+40°=110°$。
【答案】
(1) △ADB∽△EAC得证；
(2) $\boldsymbol{∠DAE=110°}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形与等腰三角形结合的典型基础题，解题核心是掌握等积式转比例式的方法，同时要熟练运用角的等量代换技巧，能很好地巩固相似判定及性质的相关知识。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ADB∽△EAC，先从已知条件出发：由AB=AC可得等腰三角形底角相等，进而推出底角的邻补角∠ABD=∠ACE；再将已知的等积式$AB^2=DB·CE$结合AB=AC转化为比例式，即可得到两组对应边成比例且夹角相等，满足相似三角形的判定条件。
(2) 求∠DAE的度数时，先利用第一问的相似结论得到对应角相等，再结合等腰三角形内角和算出底角的度数，最后通过角的拆分与等量代换，结合三角形外角性质即可求出结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB^2 = DB · CE$，且$AB= AC$，
$\therefore \frac{AC}{CE}=\frac{DB}{AB}$，
$\because AB=AC$，
$\therefore ∠ABC=∠ACB$，
又$\because ∠ABD=180°-∠ABC$，$∠ACE=180°-∠ACB$，
$\therefore ∠ABD=∠ACE$，
$\therefore △ADB∽ △EAC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
(2) 解：
$\because △ADB∽ △EAC$，
$\therefore ∠DAB=∠E$，
$\because AB=AC$，$∠BAC=40°$，
$\therefore ∠ACB=\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{180°-40°}{2}=70°$，
由三角形外角性质可得：$∠ACB=∠E+∠CAE=70°$，
$\because ∠DAE = ∠DAB + ∠CAE+∠BAC$，
将$∠DAB$替换为$∠E$，代入得：
$∠DAE=∠E+∠CAE+∠BAC=70°+40°=110°$。
【答案】
(1) △ADB∽△EAC得证；
(2) $\boldsymbol{∠DAE=110°}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角性质
【点评】
本题是相似三角形与等腰三角形结合的典型基础题，解题核心是掌握等积式转比例式的方法，同时要熟练运用角的等量代换技巧，能很好地巩固相似判定及性质的相关知识。
【难度系数】
0.7
13.(衡阳市期末)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△ABC和△DEF的顶点都在格点上,$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$是△DEF边上的5个格点.请按要求完成下列各题:
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的顶点为$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中的3个格点,并且与△ABC相似.
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(3)画一个三角形,使它的顶点为$P_1,P_2,P_3,P_4,P_5$中的3个格点,并且与△ABC相似.
答案
13. (1) 证明:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5, \therefore AB^2 + AC^2 = BC^2. \therefore △ABC$是直角三角形.
(2) 解: $△ABC∽ △DEF$. 理由:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,DE=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2},EF= 2\sqrt{10},\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \therefore △ABC∽ △DEF.$
(3) 图略.
(2) 解: $△ABC∽ △DEF$. 理由:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,DE=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2},EF= 2\sqrt{10},\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \therefore △ABC∽ △DEF.$
(3) 图略.
解析
【分析】
(1) 要证明△ABC是直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：先借助网格用勾股定理算出△ABC三边的长度，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
(2) 判断两个三角形是否相似，可先算出△DEF的三边长度，再验证两个三角形的三组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似（SSS相似判定定理）。
(3) 要从5个格点中选3个构成与△ABC相似的三角形，只需保证所选三点组成的三角形三边之比和△ABC的三边之比相等即可，可先计算各点连线的长度，筛选出符合比例要求的三点后连线即可。
【解析】
(1) 证明：设小正方形的边长为1，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ $AB^2+AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25=BC^2$，
∴ 由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形。
(2) 解：△ABC∽△DEF，理由如下：
根据勾股定理计算△DEF的三边：
$DE=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，
由三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEF。
(3) 选取$P_2、P_4、P_5$三点（答案不唯一），计算得该三角形三边长为$\sqrt{2}、2\sqrt{2}、\sqrt{10}$，三边比为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC三边比一致，连线即可，画图略。
【答案】
(1) 证明:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5, \therefore AB^2 + AC^2 = BC^2. \therefore △ABC$是直角三角形.
(2) $△ABC∽ △DEF$. 理由:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,DE=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2},EF= 2\sqrt{10},\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \therefore △ABC∽ △DEF.$
(3) 图略.
【知识点】
勾股定理及逆定理，相似三角形的判定，格点图形计算
【点评】
本题结合网格考查直角三角形、相似三角形的判定，解题核心是利用勾股定理准确计算各三角形边长，再结合对应定理推导结论，第三问为开放性问题，只要满足三边对应成比例即可，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明△ABC是直角三角形，可使用勾股定理的逆定理：先借助网格用勾股定理算出△ABC三边的长度，再验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方即可。
(2) 判断两个三角形是否相似，可先算出△DEF的三边长度，再验证两个三角形的三组对应边是否成比例，若成比例则两个三角形相似（SSS相似判定定理）。
(3) 要从5个格点中选3个构成与△ABC相似的三角形，只需保证所选三点组成的三角形三边之比和△ABC的三边之比相等即可，可先计算各点连线的长度，筛选出符合比例要求的三点后连线即可。
【解析】
(1) 证明：设小正方形的边长为1，根据勾股定理：
$AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ $AB^2+AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20+5=25=BC^2$，
∴ 由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形。
(2) 解：△ABC∽△DEF，理由如下：
根据勾股定理计算△DEF的三边：
$DE=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$DF=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$EF=\sqrt{2^2+6^2}=2\sqrt{10}$，
计算对应边的比值：
$\frac{AB}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{5}{2\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}$，
由三边对应成比例的两个三角形相似，可得△ABC∽△DEF。
(3) 选取$P_2、P_4、P_5$三点（答案不唯一），计算得该三角形三边长为$\sqrt{2}、2\sqrt{2}、\sqrt{10}$，三边比为$1:2:\sqrt{5}$，与△ABC三边比一致，连线即可，画图略。
【答案】
(1) 证明:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5, \therefore AB^2 + AC^2 = BC^2. \therefore △ABC$是直角三角形.
(2) $△ABC∽ △DEF$. 理由:根据勾股定理,得$AB=2\sqrt{5},AC=\sqrt{5},BC=5,DE=4\sqrt{2},DF=2\sqrt{2},EF= 2\sqrt{10},\therefore \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{BC}{EF}=\frac{\sqrt{10}}{4}. \therefore △ABC∽ △DEF.$
(3) 图略.
【知识点】
勾股定理及逆定理，相似三角形的判定，格点图形计算
【点评】
本题结合网格考查直角三角形、相似三角形的判定，解题核心是利用勾股定理准确计算各三角形边长，再结合对应定理推导结论，第三问为开放性问题，只要满足三边对应成比例即可，侧重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
