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5. 如图，在$□ ABCD$的对角线$BD$上任取一点$P$，过$P$引一直线分别与$BA$、$DC$两边的延长线交于点$E$、$G$，又与$BC$、$AD$两边交于点$F$、$H$. 求证：$\frac{PE}{PG}=\frac{PF}{PH}$.
答案
5. 证明: $\because$ 在 $□ ABCD$ 中. $AB // CD, AD // BC, \therefore \frac{PE}{PG} = \frac{PB}{PD}, \frac{PF}{PH} = \frac{PB}{PD}, \therefore \frac{PE}{PG} = \frac{PF}{PH}.$
解析
【分析】
要证明$\frac{PE}{PG}=\frac{PF}{PH}$，可采用找中间比等量代换的思路：首先由平行四边形的性质可知两组对边分别平行，结合平行线分线段成比例的结论，先推导$\frac{PE}{PG}$与对角线$BD$上的线段比$\frac{PB}{PD}$的关系，再推导$\frac{PF}{PH}$与$\frac{PB}{PD}$的关系，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB // CD$，$AD // BC$，
∵$AB // CD$（即$BE // DG$），根据平行线分线段成比例可得$\frac{PE}{PG} = \frac{PB}{PD}$，
∵$AD // BC$（即$BF // DH$），根据平行线分线段成比例可得$\frac{PF}{PH} = \frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{PE}{PG} = \frac{PF}{PH}$。
【答案】
证明: $\because$ 在 $□ ABCD$ 中, $AB // CD, AD // BC, \therefore \frac{PE}{PG} = \frac{PB}{PD}, \frac{PF}{PH} = \frac{PB}{PD}, \therefore \frac{PE}{PG} = \frac{PF}{PH}.$
【知识点】
平行四边形的性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题是比例式证明的典型基础题，解题核心是利用平行四边形的平行性质，找到公共中间比作为等量代换的桥梁，能帮助学生掌握比例式证明的常用技巧。
【难度系数】
0.7
要证明$\frac{PE}{PG}=\frac{PF}{PH}$，可采用找中间比等量代换的思路：首先由平行四边形的性质可知两组对边分别平行，结合平行线分线段成比例的结论，先推导$\frac{PE}{PG}$与对角线$BD$上的线段比$\frac{PB}{PD}$的关系，再推导$\frac{PF}{PH}$与$\frac{PB}{PD}$的关系，最后通过等量代换即可得证。
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB // CD$，$AD // BC$，
∵$AB // CD$（即$BE // DG$），根据平行线分线段成比例可得$\frac{PE}{PG} = \frac{PB}{PD}$，
∵$AD // BC$（即$BF // DH$），根据平行线分线段成比例可得$\frac{PF}{PH} = \frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{PE}{PG} = \frac{PF}{PH}$。
【答案】
证明: $\because$ 在 $□ ABCD$ 中, $AB // CD, AD // BC, \therefore \frac{PE}{PG} = \frac{PB}{PD}, \frac{PF}{PH} = \frac{PB}{PD}, \therefore \frac{PE}{PG} = \frac{PF}{PH}.$
【知识点】
平行四边形的性质、平行线分线段成比例
【点评】
本题是比例式证明的典型基础题，解题核心是利用平行四边形的平行性质，找到公共中间比作为等量代换的桥梁，能帮助学生掌握比例式证明的常用技巧。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,D为AC中点,$AE ⊥ BD$,E为垂足.求证:$∠ CBD=∠ ECD$. 
答案
6. 证明: $\because ∠ AED = ∠ BAD = 90°, ∠ ADE = ∠ BDA, \therefore △ ADE ∽ △ BDA, \therefore \frac{AD}{BD} = \frac{DE}{AD}, \therefore AD^2 = DE · DB. \because D$ 为 $AC$ 中点, $\therefore AD = CD. \therefore CD^2 = DE · DB, \therefore \frac{CD}{DE} = \frac{DB}{CD}, \because ∠ CDE = ∠ BDC, \therefore △ CDE ∽ △ BDC, \therefore ∠ CBD = ∠ ECD.$
解析
【分析】
要证明∠CBD=∠ECD，可通过证明两个角所在的三角形相似求解。首先结合已知的垂直条件和公共角，先证明△ADE∽△BDA，得到乘积式AD²=DE·DB；再利用D是AC中点的性质，将AD替换为CD，得到CD²=DE·DB，转化为比例式后，结合△CDE和△BDC的公共角，即可证明这两个三角形相似，最终由相似三角形对应角相等得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ ∠AED = ∠BAD = 90°，∠ADE = ∠BDA（公共角）
∴ △ADE ∽ △BDA（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}$，即 $AD^2 = DE · DB$
∵ D为AC中点，
∴ AD = CD
∴ $CD^2 = DE · DB$，变形可得 $\frac{CD}{DE}=\frac{DB}{CD}$
又
∵ ∠CDE = ∠BDC（公共角）
∴ △CDE ∽ △BDC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ ∠CBD = ∠ECD（相似三角形的对应角相等）
【答案】
∠CBD=∠ECD，得证
【知识点】
相似三角形的判定与性质，线段中点的定义
【点评】
本题是利用相似证明角相等的典型习题，解题的核心是先通过第一组相似得到比例乘积式，再结合中点条件转化线段，推导得到第二组相似，侧重考察对相似判定定理的应用和比例式的转化能力。
【难度系数】
0.7
要证明∠CBD=∠ECD，可通过证明两个角所在的三角形相似求解。首先结合已知的垂直条件和公共角，先证明△ADE∽△BDA，得到乘积式AD²=DE·DB；再利用D是AC中点的性质，将AD替换为CD，得到CD²=DE·DB，转化为比例式后，结合△CDE和△BDC的公共角，即可证明这两个三角形相似，最终由相似三角形对应角相等得到待证结论。
【解析】
证明：
∵ ∠AED = ∠BAD = 90°，∠ADE = ∠BDA（公共角）
∴ △ADE ∽ △BDA（两角分别相等的两个三角形相似）
∴ $\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{AD}$，即 $AD^2 = DE · DB$
∵ D为AC中点，
∴ AD = CD
∴ $CD^2 = DE · DB$，变形可得 $\frac{CD}{DE}=\frac{DB}{CD}$
又
∵ ∠CDE = ∠BDC（公共角）
∴ △CDE ∽ △BDC（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
∴ ∠CBD = ∠ECD（相似三角形的对应角相等）
【答案】
∠CBD=∠ECD，得证
【知识点】
相似三角形的判定与性质，线段中点的定义
【点评】
本题是利用相似证明角相等的典型习题，解题的核心是先通过第一组相似得到比例乘积式，再结合中点条件转化线段，推导得到第二组相似，侧重考察对相似判定定理的应用和比例式的转化能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,D在BC上,连结AD,作$BF⊥ AD$分别交AD,AC于点E,F.若$BD=4DC$,取AB的中点G,连结CG交AD于点M.求证:
(1)$GM=2MC$;
(2)$AG^2=AF· AC$.
(1)$GM=2MC$;
(2)$AG^2=AF· AC$.
答案
7. (1)证明:如图
,过点G作$GH // AD$交BC于点H. $\because AG = BG, \therefore BH = DH. \because BD = 4DC$,设$DC = k$,则$BD = 4k, \therefore BH = DH = 2k. \because GH // AD, \therefore \frac{GM}{MC} = \frac{HD}{DC} = \frac{2k}{k} = \frac{2}{1}, \therefore GM = 2MC.$(2)如图,过点C作$CN ⊥ AC$交AD的延长线于点N,则$CN // AG, \therefore △ AGM ∽ △ NCM, \therefore \frac{AG}{NC} = \frac{GM}{CM}.$ 由(1)知$GM = 2MC, \therefore AG = 2NC. \because ∠ BAC = ∠ AEB = 90°, \therefore ∠ ABF = ∠ CAN = 90° - ∠ BAE, \therefore △ ACN ∽ △ BAF, \therefore \frac{AF}{CN} = \frac{AB}{AC}. \because AB = 2AG, \therefore \frac{AF}{CN} = \frac{2AG}{AC}, \therefore 2CN · AG = AF · AC, \therefore AG^2 = AF · AC.$
解析
【分析】
(1) 要证明GM=2MC，本质是求线段比GM:MC=2:1。对于同一直线上的线段比例问题，我们可以通过作平行线，利用平行线分线段成比例定理将其转化为其他线段的比例关系。已知G是AB中点，且BD=4DC，因此过G作GH//AD交BC于H，可先由平行线分线段成比例的推论得到H是BD中点，计算出HD与DC的比值，即可得到GM与MC的比值，完成证明。
(2) 要证明乘积式AG²=AF·AC，通常先将其转化为比例式$\frac{AG}{AF}=\frac{AC}{AG}$，需要结合相似三角形的性质推导比例关系。已知∠BAC=90°，BF⊥AD，可推出∠ABF=∠CAD（同角的余角相等），因此过C作CN⊥AC交AD延长线于N，既可以构造出与△BAF相似的△ACN，又能得到AG//CN，结合(1)的线段比例关系替换对应线段，即可推导得到待证结论。
【解析】
(1) 过点G作$GH // AD$交BC于点H。
∵ G是AB的中点，即$AG = BG$，$GH // AD$，
∴ BH = DH。
∵ $BD = 4DC$，设$DC = k$，则$BD = 4k$，
∴ $BH = DH = \frac{1}{2}BD = 2k$。
∵ $GH // AD$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{GM}{MC} = \frac{HD}{DC} = \frac{2k}{k} = 2$，
∴ $GM = 2MC$。
(2) 过点C作$CN ⊥ AC$交AD的延长线于点N。
∵ $∠BAC = 90°$，$CN ⊥ AC$，
∴ $∠BAC = ∠ACN = 90°$，
∴ $CN // AG$，
∴ $△ AGM ∽ △ NCM$，
∴ $\frac{AG}{NC} = \frac{GM}{CM}$。
由(1)知$GM = 2MC$，
∴ $AG = 2NC$。
∵ $∠ BAC = ∠ AEB = 90°$，
∴ $∠ ABF + ∠BAE = 90°$，$∠ CAN + ∠BAE = 90°$，
∴ $∠ ABF = ∠ CAN$。
又
∵ $∠BAF = ∠ACN = 90°$，
∴ $△ ACN ∽ △ BAF$，
∴ $\frac{AF}{CN} = \frac{AB}{AC}$。
∵ G是AB中点，即$AB = 2AG$，代入得：
$\frac{AF}{CN} = \frac{2AG}{AC}$，
交叉相乘得$2CN · AG = AF · AC$，
将$CN = \frac{1}{2}AG$代入上式，化简得$AG^2 = AF · AC$。
【答案】
(1)证明:如图,过点G作$GH // AD$交BC于点H. $\because AG = BG, \therefore BH = DH. \because BD = 4DC$,设$DC = k$,则$BD = 4k, \therefore BH = DH = 2k. \because GH // AD, \therefore \frac{GM}{MC} = \frac{HD}{DC} = \frac{2k}{k} = \frac{2}{1}, \therefore GM = 2MC.$
(2)如图,过点C作$CN ⊥ AC$交AD的延长线于点N,则$CN // AG, \therefore △ AGM ∽ △ NCM, \therefore \frac{AG}{NC} = \frac{GM}{CM}.$ 由(1)知$GM = 2MC, \therefore AG = 2NC. \because ∠ BAC = ∠ AEB = 90°, \therefore ∠ ABF = ∠ CAN = 90° - ∠ BAE, \therefore △ ACN ∽ △ BAF, \therefore \frac{AF}{CN} = \frac{AB}{AC}. \because AB = 2AG, \therefore \frac{AF}{CN} = \frac{2AG}{AC}, \therefore 2CN · AG = AF · AC, \therefore AG^2 = AF · AC.$
【知识点】
1.平行线分线段成比例
2.相似三角形的判定与性质
3.直角三角形的性质
【点评】
本题是比例式、乘积式证明的典型题型，解题核心是通过合理添加辅助线，将待证的线段关系转化为平行线分线段成比例或者相似三角形的比例关系，体现了转化思想在几何证明中的应用，需要熟练掌握辅助线的构造方法和相似三角形的判定规则。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明GM=2MC，本质是求线段比GM:MC=2:1。对于同一直线上的线段比例问题，我们可以通过作平行线，利用平行线分线段成比例定理将其转化为其他线段的比例关系。已知G是AB中点，且BD=4DC，因此过G作GH//AD交BC于H，可先由平行线分线段成比例的推论得到H是BD中点，计算出HD与DC的比值，即可得到GM与MC的比值，完成证明。
(2) 要证明乘积式AG²=AF·AC，通常先将其转化为比例式$\frac{AG}{AF}=\frac{AC}{AG}$，需要结合相似三角形的性质推导比例关系。已知∠BAC=90°，BF⊥AD，可推出∠ABF=∠CAD（同角的余角相等），因此过C作CN⊥AC交AD延长线于N，既可以构造出与△BAF相似的△ACN，又能得到AG//CN，结合(1)的线段比例关系替换对应线段，即可推导得到待证结论。
【解析】
(1) 过点G作$GH // AD$交BC于点H。
∵ G是AB的中点，即$AG = BG$，$GH // AD$，
∴ BH = DH。
∵ $BD = 4DC$，设$DC = k$，则$BD = 4k$，
∴ $BH = DH = \frac{1}{2}BD = 2k$。
∵ $GH // AD$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{GM}{MC} = \frac{HD}{DC} = \frac{2k}{k} = 2$，
∴ $GM = 2MC$。
(2) 过点C作$CN ⊥ AC$交AD的延长线于点N。
∵ $∠BAC = 90°$，$CN ⊥ AC$，
∴ $∠BAC = ∠ACN = 90°$，
∴ $CN // AG$，
∴ $△ AGM ∽ △ NCM$，
∴ $\frac{AG}{NC} = \frac{GM}{CM}$。
由(1)知$GM = 2MC$，
∴ $AG = 2NC$。
∵ $∠ BAC = ∠ AEB = 90°$，
∴ $∠ ABF + ∠BAE = 90°$，$∠ CAN + ∠BAE = 90°$，
∴ $∠ ABF = ∠ CAN$。
又
∵ $∠BAF = ∠ACN = 90°$，
∴ $△ ACN ∽ △ BAF$，
∴ $\frac{AF}{CN} = \frac{AB}{AC}$。
∵ G是AB中点，即$AB = 2AG$，代入得：
$\frac{AF}{CN} = \frac{2AG}{AC}$，
交叉相乘得$2CN · AG = AF · AC$，
将$CN = \frac{1}{2}AG$代入上式，化简得$AG^2 = AF · AC$。
【答案】
(1)证明:如图
,过点G作$GH // AD$交BC于点H. $\because AG = BG, \therefore BH = DH. \because BD = 4DC$,设$DC = k$,则$BD = 4k, \therefore BH = DH = 2k. \because GH // AD, \therefore \frac{GM}{MC} = \frac{HD}{DC} = \frac{2k}{k} = \frac{2}{1}, \therefore GM = 2MC.$(2)如图,过点C作$CN ⊥ AC$交AD的延长线于点N,则$CN // AG, \therefore △ AGM ∽ △ NCM, \therefore \frac{AG}{NC} = \frac{GM}{CM}.$ 由(1)知$GM = 2MC, \therefore AG = 2NC. \because ∠ BAC = ∠ AEB = 90°, \therefore ∠ ABF = ∠ CAN = 90° - ∠ BAE, \therefore △ ACN ∽ △ BAF, \therefore \frac{AF}{CN} = \frac{AB}{AC}. \because AB = 2AG, \therefore \frac{AF}{CN} = \frac{2AG}{AC}, \therefore 2CN · AG = AF · AC, \therefore AG^2 = AF · AC.$
【知识点】
1.平行线分线段成比例
2.相似三角形的判定与性质
3.直角三角形的性质
【点评】
本题是比例式、乘积式证明的典型题型，解题核心是通过合理添加辅助线，将待证的线段关系转化为平行线分线段成比例或者相似三角形的比例关系，体现了转化思想在几何证明中的应用，需要熟练掌握辅助线的构造方法和相似三角形的判定规则。
【难度系数】
0.6
