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10.中国有着深远的沙画历史，如图是一幅沙画，在制作沙画过程中没有用到的数学知识是（
A.面动成体
B.线动成面
C.点动成线
D.线与线相交成点
A
）A.面动成体
B.线动成面
C.点动成线
D.线与线相交成点
答案
10.A
解析
【分析】
解题时首先回忆点、线、面、体的运动相关结论：点动成线、线动成面、面动成体，线与线相交得到点。再结合沙画是平面创作的特点，逐一判断每个选项是否符合沙画的创作过程：沙粒可以看作点，移动撒沙的过程对应点动成线；沙线移动铺开成色块对应线动成面；不同沙线交汇位置对应线线相交成点；而面动成体是平面运动得到立体图形，沙画为平面作品，创作过程没有形成立体的步骤，因此没有用到该知识。
【解析】
沙画是在平面载体上创作的平面作品，逐一分析选项：
1. 细小的沙粒可看作点，创作时移动撒沙，点的运动形成线条，用到了“点动成线”，C选项不符合题意；
2. 绘制时沙线连续移动可以形成不同的色块面，用到了“线动成面”，B选项不符合题意；
3. 创作时不同的线条交汇的位置就是交点，用到了“线与线相交成点”，D选项不符合题意；
4. “面动成体”是指平面运动后形成立体图形，沙画创作全程是平面操作，没有形成立体的过程，没有用到该知识，A选项符合题意。
【答案】
A
【知识点】
点动成线；线动成面；面动成体
【点评】
本题结合沙画创作的实际场景考查点、线、面、体的相关原理，引导学生关注数学知识在生活中的应用，解题时需要结合实际场景判断对应的数学原理。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆点、线、面、体的运动相关结论：点动成线、线动成面、面动成体，线与线相交得到点。再结合沙画是平面创作的特点，逐一判断每个选项是否符合沙画的创作过程：沙粒可以看作点，移动撒沙的过程对应点动成线；沙线移动铺开成色块对应线动成面；不同沙线交汇位置对应线线相交成点；而面动成体是平面运动得到立体图形，沙画为平面作品，创作过程没有形成立体的步骤，因此没有用到该知识。
【解析】
沙画是在平面载体上创作的平面作品，逐一分析选项：
1. 细小的沙粒可看作点，创作时移动撒沙，点的运动形成线条，用到了“点动成线”，C选项不符合题意；
2. 绘制时沙线连续移动可以形成不同的色块面，用到了“线动成面”，B选项不符合题意；
3. 创作时不同的线条交汇的位置就是交点，用到了“线与线相交成点”，D选项不符合题意；
4. “面动成体”是指平面运动后形成立体图形，沙画创作全程是平面操作，没有形成立体的过程，没有用到该知识，A选项符合题意。
【答案】
A
【知识点】
点动成线；线动成面；面动成体
【点评】
本题结合沙画创作的实际场景考查点、线、面、体的相关原理，引导学生关注数学知识在生活中的应用，解题时需要结合实际场景判断对应的数学原理。
【难度系数】
0.8
11.已知正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的体积是（
A.$27\mathrm{cm}^3$
B.$27π\mathrm{cm}^3$
C.$18\mathrm{cm}^3$
D.$18π\mathrm{cm}^3$
B
）A.$27\mathrm{cm}^3$
B.$27π\mathrm{cm}^3$
C.$18\mathrm{cm}^3$
D.$18π\mathrm{cm}^3$
答案
11.B
解析
【分析】
解题时首先要明确平面图形旋转后对应的立体图形：正方形绕其中一条边旋转一周会得到圆柱。接下来确定圆柱的关键参数，本题以AB为旋转轴，正方形边长为3cm，因此圆柱的底面半径和高都等于正方形的边长3cm，最后代入圆柱体积公式计算，再匹配对应选项即可。
【解析】
将正方形ABCD以直线AB为轴旋转一周，得到的几何体是圆柱，该圆柱的底面半径$r=3\mathrm{cm}$，高$h=3\mathrm{cm}$。
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数值计算：
$V=π× 3^2× 3=27π\mathrm{cm}^3$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算
【点评】
本题重点考查平面旋转形成立体图形的判断，以及圆柱体积公式的应用，解题核心是准确识别旋转后的几何体形状，找准对应的参数代入公式计算。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平面图形旋转后对应的立体图形：正方形绕其中一条边旋转一周会得到圆柱。接下来确定圆柱的关键参数，本题以AB为旋转轴，正方形边长为3cm，因此圆柱的底面半径和高都等于正方形的边长3cm，最后代入圆柱体积公式计算，再匹配对应选项即可。
【解析】
将正方形ABCD以直线AB为轴旋转一周，得到的几何体是圆柱，该圆柱的底面半径$r=3\mathrm{cm}$，高$h=3\mathrm{cm}$。
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，代入数值计算：
$V=π× 3^2× 3=27π\mathrm{cm}^3$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
面动成体；圆柱体积计算
【点评】
本题重点考查平面旋转形成立体图形的判断，以及圆柱体积公式的应用，解题核心是准确识别旋转后的几何体形状，找准对应的参数代入公式计算。
【难度系数】
0.8
12.如图,一个六棱柱的底面是一个六边形,侧面都是长方形,六边形每条边长为5cm,侧棱长为4cm.
(1)这个六棱柱有多少条棱,它们的长度总和是多少?
(2)这个六棱柱的侧面积是多少?
(1)这个六棱柱有多少条棱,它们的长度总和是多少?
(2)这个六棱柱的侧面积是多少?
答案
12.(1)解:18条棱,长度总和是$5×12+4×6=84$(cm).
(2)侧面积为$4×5×6=120(\mathrm{cm}^2)$.
(2)侧面积为$4×5×6=120(\mathrm{cm}^2)$.
解析
【分析】
（1）解决第一问首先要明确六棱柱的棱的构成：六棱柱有上下2个六边形底面，每个底面有6条边，另外有6条连接上下底面对应顶点的侧棱，总棱数可通过这两部分相加得到。计算棱长总和时，分别算出上下底面所有边的总长度、侧棱的总长度，再求和即可。
（2）解决第二问要知道六棱柱的6个侧面都是长方形，长方形的长是底面六边形的边长，宽是侧棱的长度，先算出1个侧面的面积，再乘6就能得到总侧面积。
【解析】
（1）计算棱的数量：
六棱柱上下两个底面各有6条棱，侧棱有6条，总棱数为 $6×2 + 6 = 18$（条）。
计算棱长总和：
上下底面的棱每条长5cm，这部分总长度为 $5× 12 = 60$（cm）；
侧棱每条长4cm，这部分总长度为 $4×6 = 24$（cm）；
棱长总和为 $60 + 24 = 84$（cm）。
（2）计算侧面积：
每个侧面是长为5cm、宽为4cm的长方形，单个侧面面积为 $5×4 = 20$（$\mathrm{cm}^2$）；
共有6个侧面，总侧面积为 $20×6 = 120$（$\mathrm{cm}^2$）。
【答案】
(1) 18条棱，长度总和是$84\mathrm{cm}$；
(2) 侧面积是$120\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
棱柱的特征；棱长和计算；棱柱侧面积计算
【点评】
本题考查棱柱基础性质的应用，解题的关键是清晰区分棱柱的底面棱、侧棱的特点，以及侧面的形状特征，计算时注意不要漏乘对应的数量即可。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先要明确六棱柱的棱的构成：六棱柱有上下2个六边形底面，每个底面有6条边，另外有6条连接上下底面对应顶点的侧棱，总棱数可通过这两部分相加得到。计算棱长总和时，分别算出上下底面所有边的总长度、侧棱的总长度，再求和即可。
（2）解决第二问要知道六棱柱的6个侧面都是长方形，长方形的长是底面六边形的边长，宽是侧棱的长度，先算出1个侧面的面积，再乘6就能得到总侧面积。
【解析】
（1）计算棱的数量：
六棱柱上下两个底面各有6条棱，侧棱有6条，总棱数为 $6×2 + 6 = 18$（条）。
计算棱长总和：
上下底面的棱每条长5cm，这部分总长度为 $5× 12 = 60$（cm）；
侧棱每条长4cm，这部分总长度为 $4×6 = 24$（cm）；
棱长总和为 $60 + 24 = 84$（cm）。
（2）计算侧面积：
每个侧面是长为5cm、宽为4cm的长方形，单个侧面面积为 $5×4 = 20$（$\mathrm{cm}^2$）；
共有6个侧面，总侧面积为 $20×6 = 120$（$\mathrm{cm}^2$）。
【答案】
(1) 18条棱，长度总和是$84\mathrm{cm}$；
(2) 侧面积是$120\mathrm{cm}^2$。
【知识点】
棱柱的特征；棱长和计算；棱柱侧面积计算
【点评】
本题考查棱柱基础性质的应用，解题的关键是清晰区分棱柱的底面棱、侧棱的特点，以及侧面的形状特征，计算时注意不要漏乘对应的数量即可。
【难度系数】
0.8
13.如图，正方形ABCD的边长为2.将正方形绕直线l旋转一周，所得圆柱从前面看得到的平面图形的周长为多少？
答案
13. 解:从前面看是一个长为4,宽为2的长方形,所以它的周长为12.
解析
【分析】
解题时首先根据“面动成体”的原理，明确正方形绕直线l旋转后得到圆柱；再确定圆柱从前面看的平面图形（主视图）是长方形；接着推导长方形的长和宽：正方形边长为2，也就是圆柱的底面半径为2，因此底面直径为4，即长方形的长为4，长方形的宽等于圆柱的高，也就是正方形的边长2；最后用长方形周长公式计算即可。
【解析】
解：1. 正方形ABCD绕直线l旋转一周得到圆柱，从前面观察该圆柱，得到的平面图形是长方形。
2. 确定长方形的长：圆柱底面半径等于正方形边长2，因此底面直径为$2×2=4$，即长方形的长为4。
3. 确定长方形的宽：长方形的宽等于圆柱的高，也就是正方形的边长2。
4. 根据长方形周长公式$C=(长+宽)×2$，代入数值计算得$(4+2)×2=12$。
【答案】
12
【知识点】
面动成体，几何体的视图，长方形周长计算
【点评】
本题结合旋转操作考查几何体的形成、视图识别和周长计算，解题的关键是准确对应旋转后圆柱的参数与主视图的边长，不要混淆底面半径和直径。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据“面动成体”的原理，明确正方形绕直线l旋转后得到圆柱；再确定圆柱从前面看的平面图形（主视图）是长方形；接着推导长方形的长和宽：正方形边长为2，也就是圆柱的底面半径为2，因此底面直径为4，即长方形的长为4，长方形的宽等于圆柱的高，也就是正方形的边长2；最后用长方形周长公式计算即可。
【解析】
解：1. 正方形ABCD绕直线l旋转一周得到圆柱，从前面观察该圆柱，得到的平面图形是长方形。
2. 确定长方形的长：圆柱底面半径等于正方形边长2，因此底面直径为$2×2=4$，即长方形的长为4。
3. 确定长方形的宽：长方形的宽等于圆柱的高，也就是正方形的边长2。
4. 根据长方形周长公式$C=(长+宽)×2$，代入数值计算得$(4+2)×2=12$。
【答案】
12
【知识点】
面动成体，几何体的视图，长方形周长计算
【点评】
本题结合旋转操作考查几何体的形成、视图识别和周长计算，解题的关键是准确对应旋转后圆柱的参数与主视图的边长，不要混淆底面半径和直径。
【难度系数】
0.8
14.(核心素养·推理能力)由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.观察下图,然后填表并探索规律.
(1)数一数每个多面体的顶点、面、棱数,填入下表:
(2)观察上表,你能发现一个多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系式是
(3)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是
(4)某个玻璃饰品的外形是一个简单的多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为$x$,八边形的个数为$y$,则$x+y=$
(1)数一数每个多面体的顶点、面、棱数,填入下表:
(2)观察上表,你能发现一个多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系式是
$E=V+F-2$
;(3)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是
20
;(4)某个玻璃饰品的外形是一个简单的多面体,它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数为$x$,八边形的个数为$y$,则$x+y=$
14
.答案
14.(1)4 4 6 8 6 12 6 5 9 10 7 15
(2)$E=V+F-2$
(3)20
(4)14
(2)$E=V+F-2$
(3)20
(4)14
解析
【分析】
这道题围绕多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)三个量展开，解题思路如下：1.第(1)问按顺序观察每个多面体，分别数出对应三个量，避免重复或遗漏；2.第(2)问用第(1)问得到的四组数据做运算，寻找三个量之间的恒等关系，总结规律；3.第(3)问代入第(2)问得到的关系式，结合题设条件列方程求解；4.第(4)问先根据顶点数和每个顶点的棱数算出总棱数（注意每条棱被2个顶点共用，需除以2），再代入关系式求出总面数，即x+y的值。
【解析】
(1) 依次计数四个多面体的对应量：
第一个四面体：顶点4，面4，棱6；
第二个长方体：顶点8，面6，棱12；
第三个五棱锥：顶点6，面5，棱9；
第四个五棱柱：顶点10，面7，棱15；
填表结果依次为4、4、6、8、6、12、6、5、9、10、7、15。
(2) 代入四组数据验证：
$4+4-2=6$，$8+6-2=12$，$6+5-2=9$，$10+7-2=15$，均符合$V+F-2=E$，因此关系式为$E=V+F-2$。
(3) 由题意得$F=V+8$，$E=30$，代入关系式：
$30=V+(V+8)-2$
$30=2V+6$
解得$V=12$，则$F=12+8=20$。
(4) 每条棱被2个顶点共用，总棱数$E=\frac{24×3}{2}=36$，代入关系式$V+F-E=2$：
$24+F-36=2$
解得$F=14$，总面数为三角形和八边形个数之和，即$x+y=14$。
【答案】
(1)4 4 6 8 6 12 6 5 9 10 7 15
(2)$E=V+F-2$
(3)20
(4)14
【知识点】
多面体构成，欧拉公式，规律探究
【点评】
本题从基础计数入手，引导学生自主推导多面体顶点、面、棱的数量关系，再结合公式解决实际应用问题，既考查观察计数能力，也锻炼规律探究和公式灵活运用能力，解题时注意棱的共用属性，避免计算棱数时出错。
【难度系数】
0.6
这道题围绕多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)三个量展开，解题思路如下：1.第(1)问按顺序观察每个多面体，分别数出对应三个量，避免重复或遗漏；2.第(2)问用第(1)问得到的四组数据做运算，寻找三个量之间的恒等关系，总结规律；3.第(3)问代入第(2)问得到的关系式，结合题设条件列方程求解；4.第(4)问先根据顶点数和每个顶点的棱数算出总棱数（注意每条棱被2个顶点共用，需除以2），再代入关系式求出总面数，即x+y的值。
【解析】
(1) 依次计数四个多面体的对应量：
第一个四面体：顶点4，面4，棱6；
第二个长方体：顶点8，面6，棱12；
第三个五棱锥：顶点6，面5，棱9；
第四个五棱柱：顶点10，面7，棱15；
填表结果依次为4、4、6、8、6、12、6、5、9、10、7、15。
(2) 代入四组数据验证：
$4+4-2=6$，$8+6-2=12$，$6+5-2=9$，$10+7-2=15$，均符合$V+F-2=E$，因此关系式为$E=V+F-2$。
(3) 由题意得$F=V+8$，$E=30$，代入关系式：
$30=V+(V+8)-2$
$30=2V+6$
解得$V=12$，则$F=12+8=20$。
(4) 每条棱被2个顶点共用，总棱数$E=\frac{24×3}{2}=36$，代入关系式$V+F-E=2$：
$24+F-36=2$
解得$F=14$，总面数为三角形和八边形个数之和，即$x+y=14$。
【答案】
(1)4 4 6 8 6 12 6 5 9 10 7 15
(2)$E=V+F-2$
(3)20
(4)14
【知识点】
多面体构成，欧拉公式，规律探究
【点评】
本题从基础计数入手，引导学生自主推导多面体顶点、面、棱的数量关系，再结合公式解决实际应用问题，既考查观察计数能力，也锻炼规律探究和公式灵活运用能力，解题时注意棱的共用属性，避免计算棱数时出错。
【难度系数】
0.6
