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13. 在边长$AB=30\ \mathrm{m}$，$AD=20\ \mathrm{m}$的矩形花坛$ABCD$的四周修筑小路.
（1）如图(1)，如果四周小路的宽均相等，且宽为$x$，那么矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似吗？请说明理由.
（2）如图(2)，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽分别为$y$、$z$（$z＞y$），那么当两条小路的宽$y$与$z$的比值为多少时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似（点$A$与点$A'$、点$B$与点$B'$、点$C$与点$C'$、点$D$与点$D'$分别是对应顶点）？请说明理由.
（1）如图(1)，如果四周小路的宽均相等，且宽为$x$，那么矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似吗？请说明理由.
（2）如图(2)，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽分别为$y$、$z$（$z＞y$），那么当两条小路的宽$y$与$z$的比值为多少时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似（点$A$与点$A'$、点$B$与点$B'$、点$C$与点$C'$、点$D$与点$D'$分别是对应顶点）？请说明理由.
答案
13. (1) 不相似，理由如下：根据题意，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{30+2x}{30}=1+\frac{x}{15}$，$\frac{A'D'}{AD}=\frac{20+2x}{20}=1+\frac{x}{10}$. 因为$\frac{A'B'}{AB}≠\frac{A'D'}{AD}$，所以矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似.
(2) 当小路的宽$y$与$z$的比值为$\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似.
理由如下：由矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似(点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点)，得$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$，即$\frac{30+2z}{30}=\frac{20+2y}{20}$，解得$\frac{y}{z}=\frac{2}{3}$.
所以，当小路的宽$y$与$z$的比值为$\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似.
(2) 当小路的宽$y$与$z$的比值为$\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似.
理由如下：由矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似(点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'分别是对应顶点)，得$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$，即$\frac{30+2z}{30}=\frac{20+2y}{20}$，解得$\frac{y}{z}=\frac{2}{3}$.
所以，当小路的宽$y$与$z$的比值为$\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似.
解析
【分析】
（1）判断两个矩形是否相似时，因为矩形的四个角都是直角，已经满足对应角相等的条件，所以只需判断对应边是否成比例即可。先分别表示出大矩形的长和宽，再计算长的比值、宽的比值，比较两个比值是否相等就能得出结论。
（2）题目已经明确了两个矩形的对应顶点，因此对应边的关系是确定的：$A'B'$与$AB$是对应长，$A'D'$与$AD$是对应宽。根据相似多边形对应边成比例的性质列出等式，化简等式即可求出$y$与$z$的比值。
【解析】
（1）矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似，理由如下：
由题意可知，矩形$A'B'C'D'$的长$A'B'=30+2x$，宽$A'D'=20+2x$。
对应长边的比值：$\frac{A'B'}{AB}=\frac{30+2x}{30}=1+\frac{x}{15}$，
对应宽边的比值：$\frac{A'D'}{AD}=\frac{20+2x}{20}=1+\frac{x}{10}$。
因为$x＞0$，所以$\frac{x}{15}≠\frac{x}{10}$，即$\frac{A'B'}{AB}≠\frac{A'D'}{AD}$，不满足相似多边形对应边成比例的要求，因此两个矩形不相似。
（2）当$\frac{y}{z}=\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似，理由如下：
若两个矩形相似，对应边成比例，即$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$。
其中$A'B'=30+2z$，$A'D'=20+2y$，代入比例式得：
$\frac{30+2z}{30}=\frac{20+2y}{20}$，
化简等式两边：左边为$1+\frac{z}{15}$，右边为$1+\frac{y}{10}$，因此$\frac{z}{15}=\frac{y}{10}$，
整理得$10z=15y$，即$\frac{y}{z}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$。
因此当$y$与$z$的比值为$\frac{2}{3}$时，两个矩形相似。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；
(2) 当$\frac{y}{z}=\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似，理由见解析。
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似多边形的判定，解题的关键是明确矩形已经满足对应角相等的条件，只需验证对应边成比例即可；第二问要注意题目给出的对应顶点关系，避免列错对应边的比例式，按照比例的基本性质化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
（1）判断两个矩形是否相似时，因为矩形的四个角都是直角，已经满足对应角相等的条件，所以只需判断对应边是否成比例即可。先分别表示出大矩形的长和宽，再计算长的比值、宽的比值，比较两个比值是否相等就能得出结论。
（2）题目已经明确了两个矩形的对应顶点，因此对应边的关系是确定的：$A'B'$与$AB$是对应长，$A'D'$与$AD$是对应宽。根据相似多边形对应边成比例的性质列出等式，化简等式即可求出$y$与$z$的比值。
【解析】
（1）矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似，理由如下：
由题意可知，矩形$A'B'C'D'$的长$A'B'=30+2x$，宽$A'D'=20+2x$。
对应长边的比值：$\frac{A'B'}{AB}=\frac{30+2x}{30}=1+\frac{x}{15}$，
对应宽边的比值：$\frac{A'D'}{AD}=\frac{20+2x}{20}=1+\frac{x}{10}$。
因为$x＞0$，所以$\frac{x}{15}≠\frac{x}{10}$，即$\frac{A'B'}{AB}≠\frac{A'D'}{AD}$，不满足相似多边形对应边成比例的要求，因此两个矩形不相似。
（2）当$\frac{y}{z}=\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似，理由如下：
若两个矩形相似，对应边成比例，即$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$。
其中$A'B'=30+2z$，$A'D'=20+2y$，代入比例式得：
$\frac{30+2z}{30}=\frac{20+2y}{20}$，
化简等式两边：左边为$1+\frac{z}{15}$，右边为$1+\frac{y}{10}$，因此$\frac{z}{15}=\frac{y}{10}$，
整理得$10z=15y$，即$\frac{y}{z}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$。
因此当$y$与$z$的比值为$\frac{2}{3}$时，两个矩形相似。
【答案】
(1) 不相似，理由见解析；
(2) 当$\frac{y}{z}=\frac{2}{3}$时，矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似，理由见解析。
【知识点】
相似多边形的判定；矩形的性质；比例的基本性质
【点评】
本题重点考查相似多边形的判定，解题的关键是明确矩形已经满足对应角相等的条件，只需验证对应边成比例即可；第二问要注意题目给出的对应顶点关系，避免列错对应边的比例式，按照比例的基本性质化简即可得到结果。
【难度系数】
0.7
14. 已知一张矩形纸片ABCD，将其按如图所示的方式折叠，使边DA落在边DC上，点A落在点H处，折痕为DE；使边CB落在边CD上，点B落在点G处，折痕为CF.
（1）证明：四边形ADHE是正方形.
（2）如果矩形HEFG与矩形ABCD相似，AD=1，求CD的长.
（1）证明：四边形ADHE是正方形.
（2）如果矩形HEFG与矩形ABCD相似，AD=1，求CD的长.
答案
14. (1) 略.
(2) 提示：由折叠的性质，得$DH=AD=1$，$CG=BC=1$.
设CD的长为$x$，则$AB=x$，$HG=x-2$.
由四边形ADHE是正方形，得$EH=AD=1$.
又由矩形HEFG与矩形ABCD相似，得$\frac{EH}{BA}=\frac{HG}{AD}$，即$\frac{1}{x}=\frac{x-2}{1}$，解得$x=\sqrt{2}+1$或$x=1-\sqrt{2}$(舍去).
所以，$CD=\sqrt{2}+1$.
(2) 提示：由折叠的性质，得$DH=AD=1$，$CG=BC=1$.
设CD的长为$x$，则$AB=x$，$HG=x-2$.
由四边形ADHE是正方形，得$EH=AD=1$.
又由矩形HEFG与矩形ABCD相似，得$\frac{EH}{BA}=\frac{HG}{AD}$，即$\frac{1}{x}=\frac{x-2}{1}$，解得$x=\sqrt{2}+1$或$x=1-\sqrt{2}$(舍去).
所以，$CD=\sqrt{2}+1$.
解析
【分析】
（1）要证明四边形ADHE是正方形，先利用矩形ABCD的性质得到∠A、∠ADC均为直角，再结合折叠的性质得到∠DHE=∠A=90°、AD=DH，先判定该四边形是矩形，再根据“一组邻边相等的矩形是正方形”即可完成证明。
（2）首先根据折叠的性质得到DH=AD=1、CG=BC=1，设CD的长为x，即可表示出HG的长度；再结合（1）的结论得到EH的长度，最后根据相似多边形对应边成比例列方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到CD的长。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
由折叠的性质可得：∠DHE=∠A=90°，AD=DH，
∴∠A=∠ADC=∠DHE=90°，
∴四边形ADHE是矩形，
又
∵AD=DH，
∴矩形ADHE是正方形。
（2）解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=1，AB=CD，
由折叠的性质得：DH=AD=1，CG=BC=1，
设CD的长为$x$，则$HG=CD-DH-CG=x-2$，
由（1）知四边形ADHE是正方形，
∴$EH=AD=1$，
∵矩形HEFG与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，即$\frac{EH}{BA}=\frac{HG}{AD}$，代入得$\frac{1}{x}=\frac{x-2}{1}$，
整理得$x^2-2x-1=0$，
解得$x=\sqrt{2}+1$或$x=1-\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去）。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$CD=\sqrt{2}+1$
【知识点】
正方形的判定，折叠的性质，相似多边形的性质
【点评】
本题综合了折叠变换、正方形判定、相似多边形性质三个考点，解题时要注意折叠前后对应边、对应角相等，利用相似多边形对应边成比例建立方程是解题的关键，求解后要注意结合实际意义验证根的合理性。
【难度系数】
0.65
（1）要证明四边形ADHE是正方形，先利用矩形ABCD的性质得到∠A、∠ADC均为直角，再结合折叠的性质得到∠DHE=∠A=90°、AD=DH，先判定该四边形是矩形，再根据“一组邻边相等的矩形是正方形”即可完成证明。
（2）首先根据折叠的性质得到DH=AD=1、CG=BC=1，设CD的长为x，即可表示出HG的长度；再结合（1）的结论得到EH的长度，最后根据相似多边形对应边成比例列方程求解，舍去不符合实际意义的负根即可得到CD的长。
【解析】
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=90°，
由折叠的性质可得：∠DHE=∠A=90°，AD=DH，
∴∠A=∠ADC=∠DHE=90°，
∴四边形ADHE是矩形，
又
∵AD=DH，
∴矩形ADHE是正方形。
（2）解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=1，AB=CD，
由折叠的性质得：DH=AD=1，CG=BC=1，
设CD的长为$x$，则$HG=CD-DH-CG=x-2$，
由（1）知四边形ADHE是正方形，
∴$EH=AD=1$，
∵矩形HEFG与矩形ABCD相似，
∴对应边成比例，即$\frac{EH}{BA}=\frac{HG}{AD}$，代入得$\frac{1}{x}=\frac{x-2}{1}$，
整理得$x^2-2x-1=0$，
解得$x=\sqrt{2}+1$或$x=1-\sqrt{2}$（线段长度为正，舍去）。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$CD=\sqrt{2}+1$
【知识点】
正方形的判定，折叠的性质，相似多边形的性质
【点评】
本题综合了折叠变换、正方形判定、相似多边形性质三个考点，解题时要注意折叠前后对应边、对应角相等，利用相似多边形对应边成比例建立方程是解题的关键，求解后要注意结合实际意义验证根的合理性。
【难度系数】
0.65
