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10. 如图，一张矩形报纸的边$AB=2$，$BC=m$，直线$l_1 ⊥ AD$，与边$BC$、$AD$分别交于点$E$、$F$，先将报纸沿直线$l_1$折叠，边$AB$落在直线$l_2$上，再将报纸沿直线$l_2$折叠，边$CD$落在直线$l_1$上。如果矩形$ABEF$与矩形$BCDA$相似，那么$m$的值为________。
答案
10. $2\sqrt{3}$. 提示：根据题意，$AF=\frac{1}{3}m$. 再由矩形ABEF与矩形BCDA相似，得$AF:AB=AB:BC$，即$\frac{1}{3}m:2=2:m$，解得$m=2\sqrt{3}$.
解析
【分析】
首先根据两次折叠的操作特征，可得出矩形的边AD被两条虚线$l_1$、$l_2$平均分成三等份，从而得到AF的长度为AD的三分之一；再结合矩形ABEF与矩形BCDA相似的条件，利用相似多边形对应边成比例的性质，列出比例式，求解即可得到m的值，注意m为线段长度，需取正值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，$AB=2$，$BC=m$，
∴$AD=BC=m$，
根据两次折叠的性质可知，AD被$l_1$、$l_2$分为三等份，
∴$AF=\frac{1}{3}AD=\frac{m}{3}$，
∵矩形ABEF与矩形BCDA相似，且矩形各内角均为直角，
∴对应边成比例，即$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
将$AF=\frac{m}{3}$，$AB=2$，$BC=m$代入得：
$\frac{\frac{m}{3}}{2}=\frac{2}{m}$，
交叉相乘得：$\frac{m^2}{3}=4$，
整理得$m^2=12$，
∵$m＞0$，
∴$m=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质、相似多边形的性质、比例的运算
【点评】
本题解题的关键是结合折叠的特征得出AF的长度，再根据相似矩形的性质准确找到对应边列出比例式求解，求解时要注意线段长度为正数，需舍去负根。
【难度系数】
0.6
首先根据两次折叠的操作特征，可得出矩形的边AD被两条虚线$l_1$、$l_2$平均分成三等份，从而得到AF的长度为AD的三分之一；再结合矩形ABEF与矩形BCDA相似的条件，利用相似多边形对应边成比例的性质，列出比例式，求解即可得到m的值，注意m为线段长度，需取正值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，$AB=2$，$BC=m$，
∴$AD=BC=m$，
根据两次折叠的性质可知，AD被$l_1$、$l_2$分为三等份，
∴$AF=\frac{1}{3}AD=\frac{m}{3}$，
∵矩形ABEF与矩形BCDA相似，且矩形各内角均为直角，
∴对应边成比例，即$\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
将$AF=\frac{m}{3}$，$AB=2$，$BC=m$代入得：
$\frac{\frac{m}{3}}{2}=\frac{2}{m}$，
交叉相乘得：$\frac{m^2}{3}=4$，
整理得$m^2=12$，
∵$m＞0$，
∴$m=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$。
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
折叠的性质、相似多边形的性质、比例的运算
【点评】
本题解题的关键是结合折叠的特征得出AF的长度，再根据相似矩形的性质准确找到对应边列出比例式求解，求解时要注意线段长度为正数，需舍去负根。
【难度系数】
0.6
三、解答题
11. 在图中，画出四边形ABCD的一个相似四边形，使得它与原四边形ABCD的相似比为2.
11. 在图中，画出四边形ABCD的一个相似四边形，使得它与原四边形ABCD的相似比为2.
答案
解：
画法如下：
1. 在网格平面内任取一点作为位似中心O；
2. 作射线OA、OB、OC、OD；
3. 分别在射线OA、OB、OC、OD上取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=2$；
4. 顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'D'$、$D'A'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求的与原四边形ABCD相似、相似比为2的四边形。
注：画法不唯一，只要所作四边形对应角与原四边形相等，各对应边长为原四边形对应边长的2倍，均符合要求。
画法如下：
1. 在网格平面内任取一点作为位似中心O；
2. 作射线OA、OB、OC、OD；
3. 分别在射线OA、OB、OC、OD上取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=2$；
4. 顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'D'$、$D'A'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求的与原四边形ABCD相似、相似比为2的四边形。
注：画法不唯一，只要所作四边形对应角与原四边形相等，各对应边长为原四边形对应边长的2倍，均符合要求。
解析
【分析】
要画出与四边形ABCD相似、相似比为2的四边形，首先明确相似比为2的含义：新四边形的各对应边长是原四边形的2倍，对应角与原四边形相等。作图时可优先选择简便的位似法：先确定位似中心，再根据位似比2确定原四边形各顶点的对应点，最后顺次连接对应点即可；也可以通过数网格计算原四边形各边的长度、夹角，将边长扩大2倍后对应绘制，只要满足相似的要求即可。
【解析】
我们采用位似法作图，步骤如下：
1. 在网格平面内任取一点作为位似中心O；
2. 作射线OA、OB、OC、OD；
3. 分别在射线OA、OB、OC、OD上取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=2$；
4. 顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'D'$、$D'A'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求。
注：画法不唯一，只要所作四边形对应角与原四边形相等，各对应边长为原四边形对应边长的2倍，均符合要求。
【答案】
画法如下：
1. 在网格平面内任取一点作为位似中心O；
2. 作射线OA、OB、OC、OD；
3. 分别在射线OA、OB、OC、OD上取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=2$；
4. 顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'D'$、$D'A'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求的与原四边形ABCD相似、相似比为2的四边形。
注：画法不唯一，只要所作四边形对应角与原四边形相等，各对应边长为原四边形对应边长的2倍，均符合要求。
【知识点】
相似多边形特征、位似作图、相似比应用
【点评】
本题属于基础作图题，考查相似图形的绘制能力，可选的作图方式灵活，解题时要注意相似比的对应关系，避免将新图形与原图形的比例搞反，作图时需满足相似图形对应角相等、对应边成比例的核心要求。
【难度系数】
0.8
要画出与四边形ABCD相似、相似比为2的四边形，首先明确相似比为2的含义：新四边形的各对应边长是原四边形的2倍，对应角与原四边形相等。作图时可优先选择简便的位似法：先确定位似中心，再根据位似比2确定原四边形各顶点的对应点，最后顺次连接对应点即可；也可以通过数网格计算原四边形各边的长度、夹角，将边长扩大2倍后对应绘制，只要满足相似的要求即可。
【解析】
我们采用位似法作图，步骤如下：
1. 在网格平面内任取一点作为位似中心O；
2. 作射线OA、OB、OC、OD；
3. 分别在射线OA、OB、OC、OD上取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=2$；
4. 顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'D'$、$D'A'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求。
注：画法不唯一，只要所作四边形对应角与原四边形相等，各对应边长为原四边形对应边长的2倍，均符合要求。
【答案】
画法如下：
1. 在网格平面内任取一点作为位似中心O；
2. 作射线OA、OB、OC、OD；
3. 分别在射线OA、OB、OC、OD上取点$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，使得$\frac{OA'}{OA}=\frac{OB'}{OB}=\frac{OC'}{OC}=\frac{OD'}{OD}=2$；
4. 顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'D'$、$D'A'$，所得四边形$A'B'C'D'$即为所求的与原四边形ABCD相似、相似比为2的四边形。
注：画法不唯一，只要所作四边形对应角与原四边形相等，各对应边长为原四边形对应边长的2倍，均符合要求。
【知识点】
相似多边形特征、位似作图、相似比应用
【点评】
本题属于基础作图题，考查相似图形的绘制能力，可选的作图方式灵活，解题时要注意相似比的对应关系，避免将新图形与原图形的比例搞反，作图时需满足相似图形对应角相等、对应边成比例的核心要求。
【难度系数】
0.8
12. 如图，已知$□ ABCD$与$□ EMFC$相似，点A与点E、点B与点M、点C与点F、点D与点C分别是对应顶点。已知点E在边CD的延长线上，点F在边BC的延长线上，$AB=4$，$BC=6$，$∠ A=130°$。
（1）求$∠ M$的度数。
（2）如果$ME=3$，求$DE$的长。
（1）求$∠ M$的度数。
（2）如果$ME=3$，求$DE$的长。
答案
12. (1) $∠M=50°$. (2) $DE=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
（1）首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，再根据相似多边形对应角相等的性质，结合已知的对应顶点关系，可得∠M与∠B相等，即可求出∠M的度数。
（2）先根据平行四边形对边相等的性质得到ABCD各边的长度，再利用相似多边形对应边成比例的性质求出CE的长度，最后结合E在CD延长线的位置关系，通过DE=CE-CD计算即可得到DE的长。
【解析】
（1）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠A=130°，
平行四边形邻角互补，
∴ $∠ B=180°-∠ A=180°-130°=50°$，
∵ $□ABCD$与$□EMFC$相似，点B与点M是对应顶点，相似多边形对应角相等，
∴ $∠ M=∠ B=50°$。
（2）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对边相等，
∴ $CD=AB=4$，$AD=BC=6$，
∵ $□ABCD$与$□EMFC$相似，点A与点E、点D与点C是对应顶点，相似多边形对应边成比例，
∴ $\frac{AB}{ME}=\frac{AD}{EC}$，
将$AB=4$，$ME=3$，$AD=6$代入比例式，得$\frac{4}{3}=\frac{6}{EC}$，
解得$EC=\frac{6×3}{4}=\frac{9}{2}$，
∵ 点E在CD的延长线上，
∴ $DE=EC-CD=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠M=50°}$；（2）$\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题是相似多边形和平行四边形性质的基础综合题，解题核心是准确找到相似图形的对应角和对应边，再结合相关性质列式求解。
【难度系数】
0.7
（1）首先利用平行四边形邻角互补的性质求出∠B的度数，再根据相似多边形对应角相等的性质，结合已知的对应顶点关系，可得∠M与∠B相等，即可求出∠M的度数。
（2）先根据平行四边形对边相等的性质得到ABCD各边的长度，再利用相似多边形对应边成比例的性质求出CE的长度，最后结合E在CD延长线的位置关系，通过DE=CE-CD计算即可得到DE的长。
【解析】
（1）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠A=130°，
平行四边形邻角互补，
∴ $∠ B=180°-∠ A=180°-130°=50°$，
∵ $□ABCD$与$□EMFC$相似，点B与点M是对应顶点，相似多边形对应角相等，
∴ $∠ M=∠ B=50°$。
（2）
∵ 四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对边相等，
∴ $CD=AB=4$，$AD=BC=6$，
∵ $□ABCD$与$□EMFC$相似，点A与点E、点D与点C是对应顶点，相似多边形对应边成比例，
∴ $\frac{AB}{ME}=\frac{AD}{EC}$，
将$AB=4$，$ME=3$，$AD=6$代入比例式，得$\frac{4}{3}=\frac{6}{EC}$，
解得$EC=\frac{6×3}{4}=\frac{9}{2}$，
∵ 点E在CD的延长线上，
∴ $DE=EC-CD=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠M=50°}$；（2）$\boldsymbol{DE=\frac{1}{2}}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似多边形的性质
【点评】
本题是相似多边形和平行四边形性质的基础综合题，解题核心是准确找到相似图形的对应角和对应边，再结合相关性质列式求解。
【难度系数】
0.7
