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5. 如图，已知五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'、点E与点E'分别是对应顶点，相似比为$\frac{3}{4}$，CD=1.2 cm，那么C'D'的长为
1.6
cm.答案
5. 1.6.
解析
【分析】
本题考查相似多边形的相关计算，解题思路如下：首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例，且比值等于相似比；其次结合题意确定CD和C'D'是一组对应边，题目给出的相似比是五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的比为$\frac{3}{4}$，由此可得到CD与C'D'的比例关系；最后将已知的CD长度代入比例式计算即可得到结果，解题时需注意相似比的前后项对应，避免把比例写反。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，CD和C'D'是对应边，二者的相似比为$\frac{3}{4}$
∴$\frac{CD}{C'D'}=\frac{3}{4}$
把$CD=1.2\mathrm{cm}$代入比例式，可得：
$\frac{1.2}{C'D'}=\frac{3}{4}$
解得：$C'D'=1.2×\frac{4}{3}=1.6\mathrm{cm}$
【答案】
1.6
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.比例计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似多边形对应边成比例性质的直接应用，解题关键是找准对应边，明确相似比的对应关系，只要掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查相似多边形的相关计算，解题思路如下：首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例，且比值等于相似比；其次结合题意确定CD和C'D'是一组对应边，题目给出的相似比是五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的比为$\frac{3}{4}$，由此可得到CD与C'D'的比例关系；最后将已知的CD长度代入比例式计算即可得到结果，解题时需注意相似比的前后项对应，避免把比例写反。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，CD和C'D'是对应边，二者的相似比为$\frac{3}{4}$
∴$\frac{CD}{C'D'}=\frac{3}{4}$
把$CD=1.2\mathrm{cm}$代入比例式，可得：
$\frac{1.2}{C'D'}=\frac{3}{4}$
解得：$C'D'=1.2×\frac{4}{3}=1.6\mathrm{cm}$
【答案】
1.6
【知识点】
1.相似多边形的性质
2.比例计算
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似多边形对应边成比例性质的直接应用，解题关键是找准对应边，明确相似比的对应关系，只要掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
6. 在矩形ABCD中，AB＞BC，E、F分别为AB、CD的中点。如果矩形ABCD与矩形EFCB相似，那么它们的相似比为
$\sqrt{2}$
。答案
6. $\sqrt{2}$.
解析
【分析】解题时先利用相似多边形的核心性质“对应边成比例”，结合矩形和中点的特征解题：第一步先设出矩形ABCD的长和宽，再根据中点表示出小矩形EFCB的短边长度；第二步根据两个矩形相似，找准对应边（大矩形的长对应小矩形的长，大矩形的宽对应小矩形的宽），列出比例式；第三步化简比例式计算边长比，即得到相似比。
【解析】设矩形ABCD的长$AB=y$，宽$BC=x$。
∵E是AB的中点，
∴$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{y}{2}$。
∵矩形ABCD∽矩形EFCB，根据相似多边形对应边成比例，可得对应边比例关系：
$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{EB}$
将边长代入比例式：
$\frac{y}{x}=\frac{x}{\frac{y}{2}}$
交叉相乘化简：
$y·\frac{y}{2}=x^2$，即$\frac{y^2}{2}=x^2$，整理得$y^2=2x^2$。
∵边长为正数，两边同时开方得$\frac{y}{x}=\sqrt{2}$，即矩形ABCD与矩形EFCB的相似比为$\sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】相似多边形的性质、矩形的性质
【点评】本题易错点是混淆相似矩形的对应边，只要抓住“长对长、宽对宽”的对应原则列出比例式，就能顺利求解。
【难度系数】0.6
【解析】设矩形ABCD的长$AB=y$，宽$BC=x$。
∵E是AB的中点，
∴$EB=\frac{1}{2}AB=\frac{y}{2}$。
∵矩形ABCD∽矩形EFCB，根据相似多边形对应边成比例，可得对应边比例关系：
$\frac{AB}{BC}=\frac{BC}{EB}$
将边长代入比例式：
$\frac{y}{x}=\frac{x}{\frac{y}{2}}$
交叉相乘化简：
$y·\frac{y}{2}=x^2$，即$\frac{y^2}{2}=x^2$，整理得$y^2=2x^2$。
∵边长为正数，两边同时开方得$\frac{y}{x}=\sqrt{2}$，即矩形ABCD与矩形EFCB的相似比为$\sqrt{2}$。
【答案】$\sqrt{2}$
【知识点】相似多边形的性质、矩形的性质
【点评】本题易错点是混淆相似矩形的对应边，只要抓住“长对长、宽对宽”的对应原则列出比例式，就能顺利求解。
【难度系数】0.6
7. 四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，点A与点$A_1$、点B与点$B_1$、点C与点$C_1$、点D与点$D_1$分别是对应顶点。已知$\frac{AB}{A_1B_1}=k$，现给出以下两个说法：①四边形ABCD和四边形$A_1B_1C_1D_1$的面积比等于$k^2$；②四边形ABCD和四边形$A_1B_1C_1D_1$的两条对角线的和之比等于k。其中，说法正确的是________。（填序号）
答案
7. ①②.
解析
【分析】
要判断两个说法是否正确，需结合相似多边形的性质逐步分析：首先明确两个四边形相似，相似比$k=\frac{AB}{A_1B_1}$。对于说法①，直接利用相似多边形面积比和相似比的关系验证；对于说法②，先明确相似多边形对应对角线的比等于相似比，再通过等比性质推导两条对角线和的比值即可。
【解析】
解：已知四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
1. 验证说法①：根据相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此两个四边形的面积比为$k^2$，故①正确。
2. 验证说法②：相似多边形的对应线段（包含对应对角线）的比等于相似比。设四边形ABCD的对角线为AC、BD，四边形$A_1B_1C_1D_1$的对应对角线为$A_1C_1$、$B_1D_1$，则$\frac{AC}{A_1C_1}=k$，$\frac{BD}{B_1D_1}=k$。根据等比性质可得$\frac{AC+BD}{A_1C_1+B_1D_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$，即两条对角线的和之比等于k，故②正确。
综上，①②均正确。
【答案】
①②
【知识点】
相似多边形的性质；等比性质
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，解题核心是掌握相似比与对应线段比、面积比的关系，注意对应线段的和的比也等于相似比，熟练掌握性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断两个说法是否正确，需结合相似多边形的性质逐步分析：首先明确两个四边形相似，相似比$k=\frac{AB}{A_1B_1}$。对于说法①，直接利用相似多边形面积比和相似比的关系验证；对于说法②，先明确相似多边形对应对角线的比等于相似比，再通过等比性质推导两条对角线和的比值即可。
【解析】
解：已知四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似，相似比$\frac{AB}{A_1B_1}=k$。
1. 验证说法①：根据相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，因此两个四边形的面积比为$k^2$，故①正确。
2. 验证说法②：相似多边形的对应线段（包含对应对角线）的比等于相似比。设四边形ABCD的对角线为AC、BD，四边形$A_1B_1C_1D_1$的对应对角线为$A_1C_1$、$B_1D_1$，则$\frac{AC}{A_1C_1}=k$，$\frac{BD}{B_1D_1}=k$。根据等比性质可得$\frac{AC+BD}{A_1C_1+B_1D_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=k$，即两条对角线的和之比等于k，故②正确。
综上，①②均正确。
【答案】
①②
【知识点】
相似多边形的性质；等比性质
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题，解题核心是掌握相似比与对应线段比、面积比的关系，注意对应线段的和的比也等于相似比，熟练掌握性质即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
8. 如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'、点D与点D'、点E与点E'分别是对应顶点，且五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'的周长之比为2：3. 如果AE=4，那么A'E'=
6
.答案
8. 6.
解析
【分析】
本题考查相似多边形性质的应用，解题思路如下：首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的周长比等于相似比，且对应边的比等于相似比。结合题中给出的两个五边形的周长比，可先确定相似比，再找到AE的对应边是A'E'，列出比例式代入已知边长即可求解，解题时注意不要将比例的前后项写反。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，且周长之比为2:3，
∴两个五边形的相似比为2:3，根据相似多边形的性质，对应边的比等于相似比，即$\frac{AE}{A'E'}=\frac{2}{3}$。
将AE=4代入比例式，得$\frac{4}{A'E'}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$2A'E'=4×3=12$，
解得$A'E'=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似多边形的性质，比例运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对相似多边形基本性质的掌握，只要牢记相似多边形周长比等于相似比、对应边成比例，准确找到对应边列出比例式即可求解，做题时注意避免将对应边的比例关系写反。
【难度系数】
0.85
本题考查相似多边形性质的应用，解题思路如下：首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的周长比等于相似比，且对应边的比等于相似比。结合题中给出的两个五边形的周长比，可先确定相似比，再找到AE的对应边是A'E'，列出比例式代入已知边长即可求解，解题时注意不要将比例的前后项写反。
【解析】
解：
∵五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，且周长之比为2:3，
∴两个五边形的相似比为2:3，根据相似多边形的性质，对应边的比等于相似比，即$\frac{AE}{A'E'}=\frac{2}{3}$。
将AE=4代入比例式，得$\frac{4}{A'E'}=\frac{2}{3}$，
交叉相乘得：$2A'E'=4×3=12$，
解得$A'E'=6$。
【答案】
6
【知识点】
相似多边形的性质，比例运算
【点评】
本题属于基础题，重点考查对相似多边形基本性质的掌握，只要牢记相似多边形周长比等于相似比、对应边成比例，准确找到对应边列出比例式即可求解，做题时注意避免将对应边的比例关系写反。
【难度系数】
0.85
9. 如图，在菱形ABCD中，$∠ ABC=60°$，$AB=a$，E、F是对角线BD上的点(E、F不与B、D重合)，连接AE、EC、AF、CF。如果四边形ECFA是菱形，且与菱形ABCD相似，那么菱形ECFA的边长是
$\frac{\sqrt{3}}{3}a$
.(用含a的代数式表示)答案
9. $\frac{\sqrt{3}}{3}a$.
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先利用菱形ABCD的性质和∠ABC=60°的条件，判定△ABC为等边三角形，求出对角线AC的长度，同时得到菱形ABCD的两条对角线的比值；第二步，根据相似多边形的性质，两个菱形相似时，对角线的比值等于对应边的相似比，结合图形判断菱形ECFA的长、短对角线；第三步，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可求出菱形ECFA的边长。
【解析】
设AC与BD交于点O。
1. 求菱形ABCD的对角线长度：
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=a，∠ABC=60°，
∴ AB=BC，AC⊥BD，$AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
∴ △ABC是等边三角形，即$AC=AB=a$，故$AO=\frac{1}{2}a$。
由勾股定理得$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{a^2-(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
∴ $BD=2BO=\sqrt{3}a$，即菱形ABCD的短对角线$AC=a$，长对角线$BD=\sqrt{3}a$，对角线之比为$1:\sqrt{3}$。
2. 结合相似性质求菱形ECFA的对角线：
∵ 菱形ECFA与菱形ABCD相似，
∴ 菱形ECFA的短对角线与长对角线之比也为$1:\sqrt{3}$。
∵ 菱形ECFA的对角线为AC和EF，且EF在BD上，$EF＜BD=\sqrt{3}a$，
∴ AC是菱形ECFA的长对角线，即$AC=a$，故短对角线$EF=\frac{AC}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$。
3. 求菱形ECFA的边长：
设菱形ECFA的边长为x，由菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理：
$x^2=(\frac{AC}{2})^2+(\frac{EF}{2})^2$，
代入$AC=a$、$EF=\frac{\sqrt{3}a}{3}$得：
$x^2=(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{\frac{\sqrt{3}a}{3}}{2})^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}=\frac{a^2}{3}$，
∵ 边长为正，
∴$x=\sqrt{\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}a$
【知识点】
菱形的性质；相似多边形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于菱形与相似结合的中等题，解题的关键是明确两个相似菱形的对角线对应关系，结合特殊角度下菱形的对角线与边长的关系，利用勾股定理求解，需要注意不要混淆相似图形的对应线段，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：第一步，先利用菱形ABCD的性质和∠ABC=60°的条件，判定△ABC为等边三角形，求出对角线AC的长度，同时得到菱形ABCD的两条对角线的比值；第二步，根据相似多边形的性质，两个菱形相似时，对角线的比值等于对应边的相似比，结合图形判断菱形ECFA的长、短对角线；第三步，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理即可求出菱形ECFA的边长。
【解析】
设AC与BD交于点O。
1. 求菱形ABCD的对角线长度：
∵ 四边形ABCD是菱形，AB=a，∠ABC=60°，
∴ AB=BC，AC⊥BD，$AO=OC=\frac{1}{2}AC$，$∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=30°$，
∴ △ABC是等边三角形，即$AC=AB=a$，故$AO=\frac{1}{2}a$。
由勾股定理得$BO=\sqrt{AB^2-AO^2}=\sqrt{a^2-(\frac{1}{2}a)^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
∴ $BD=2BO=\sqrt{3}a$，即菱形ABCD的短对角线$AC=a$，长对角线$BD=\sqrt{3}a$，对角线之比为$1:\sqrt{3}$。
2. 结合相似性质求菱形ECFA的对角线：
∵ 菱形ECFA与菱形ABCD相似，
∴ 菱形ECFA的短对角线与长对角线之比也为$1:\sqrt{3}$。
∵ 菱形ECFA的对角线为AC和EF，且EF在BD上，$EF＜BD=\sqrt{3}a$，
∴ AC是菱形ECFA的长对角线，即$AC=a$，故短对角线$EF=\frac{AC}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$。
3. 求菱形ECFA的边长：
设菱形ECFA的边长为x，由菱形对角线互相垂直平分，结合勾股定理：
$x^2=(\frac{AC}{2})^2+(\frac{EF}{2})^2$，
代入$AC=a$、$EF=\frac{\sqrt{3}a}{3}$得：
$x^2=(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{\frac{\sqrt{3}a}{3}}{2})^2=\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}=\frac{a^2}{3}$，
∵ 边长为正，
∴$x=\sqrt{\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{3}}{3}a$
【知识点】
菱形的性质；相似多边形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于菱形与相似结合的中等题，解题的关键是明确两个相似菱形的对角线对应关系，结合特殊角度下菱形的对角线与边长的关系，利用勾股定理求解，需要注意不要混淆相似图形的对应线段，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
