1. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是高线，$AF$是中线，则下列说法中错误的是（）

A.$BF=CF$
B.$∠ C+∠ CAD=90°$
C.$∠ BAF=∠ CAF$
D.$S_{△ ABC}=2S_{△ ABF}$

1. C

2. 如图，$△ ABC$三边的中线$AD$，$BE$，$CF$相交于点$G$，且$AG:GD=2:1$。若$S_{△ ABC}=12$，则图中阴影部分的面积是（）

A.3
B.4
C.5
D.6

2. B

3. 已知△ABC。
(1)①如图1，若P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，则∠P与∠A之间的数量关系是。
②如图2，若P是∠ABC和∠ACE的平分线的交点，则∠P与∠A之间的数量关系是。
③如图3，若P是∠CBF和∠BCE的平分线的交点，则∠P与∠A之间的数量关系是。
(2)运用所得到的结论，解决下面的问题：如图4，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，连结AO。若∠BOC=130°，则∠BAC=，∠BAO=。

3. (1)①$∠ P=90°+\frac{1}{2}∠ A$ ②$∠ P=\frac{1}{2}∠ A$
③$∠ P=90°-\frac{1}{2}∠ A$
(2)$80°\ \ 40°$
【解析】（1）① 因为 BP 平分 $∠ ABC, CP$ 平分$∠ ACB$，
所以$∠ PBC=\frac{1}{2}∠ ABC,∠ BCP=\frac{1}{2}∠ ACB$。
因为$∠ P=180°-∠ PBC-∠ BCP$，
所以$∠ P=180°-\frac{1}{2}∠ ABC-\frac{1}{2}∠ ACB$
$=180°-\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ A)$
$=90°+\frac{1}{2}∠ A$。
②③略
(2) 因为 BO, CO 分别为 $∠ ABC$ 与 $∠ ACB$ 的平分线，
所以 AO 是 $∠ BAC$ 的平分线，所以 $∠ BAO = \frac{1}{2}∠ BAC$。
因为$∠ BOC=130°$，
所以由(1)得$\frac{1}{2}∠ BAC=∠ BOC-90°$，
所以$∠ BAC=80°$,所以$∠ BAO=\frac{1}{2}∠ BAC=40°$。

4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,用尺规作图法作出射线$AE$,$AE$交$BC$于点$D$,$CD=2$,$P$为$AB$上一动点,则$PD$长度的最小值为（）

A.2
B.3
C.4
D.5

4. A

5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以$A,B$为圆心，大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧相交于点$M,N$，作直线$MN$分别交$AB,AC$于点$D,E$，连结$CD$。若$CE=\frac{1}{3}AE=1$，则$CD=$。

5. $\frac{\sqrt{24}}{2}$
【解析】如图,连结 BE，
因为 $CE=\frac{1}{3}AE=1$，
所以 $AE=3$,所以 $AC=4$。
由作图可知 MN 垂直平分线段AB，
所以 $BE=AE=3$。
因为$∠ ACB=90°$，
所以 $BC=\sqrt{BE^2-CE^2}=\sqrt{8}$，
$CD=\frac{1}{2} AB$，
所以 $AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+(\sqrt{8})^2}=\sqrt{24}$，
所以 $CD=\frac{\sqrt{24}}{2}$。