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一、选择题(每题5分,共20分)
1. 在下列函数中,$y$是$x$的反比例函数的是 （
A.$y=\dfrac{x}{3}$
B.$y=\dfrac{3}{x+1}$
C.$y=\dfrac{3}{x}$
D.$y=3x$
1. 在下列函数中,$y$是$x$的反比例函数的是 （
C
）A.$y=\dfrac{x}{3}$
B.$y=\dfrac{3}{x+1}$
C.$y=\dfrac{3}{x}$
D.$y=3x$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断哪个函数是反比例函数，首先需要牢记反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。解题时我们先明确反比例函数的核心特征：①等号右侧是分式形式，②分母是单独的自变量$x$，③分子是不为0的常数。接下来我们逐个分析选项，排除不符合特征的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数，叫做$y$关于$x$的反比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{3}x$，是正比例函数（属于一次函数），不符合反比例函数的形式，排除；
选项B：$y=\dfrac{3}{x+1}$，分母为$x+1$，不是单独的自变量$x$，因此不是$y$关于$x$的反比例函数，排除；
选项C：$y=\dfrac{3}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=3≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数，符合要求；
选项D：$y=3x$，是正比例函数（属于一次函数），不符合反比例函数的形式，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.正比例函数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的标准形式，注意区分反比例函数与正比例函数的形式，同时要注意反比例函数的分母必须是自变量$x$本身，不能含有其他常数项。
【难度系数】
0.9
要判断哪个函数是反比例函数，首先需要牢记反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数叫做反比例函数。解题时我们先明确反比例函数的核心特征：①等号右侧是分式形式，②分母是单独的自变量$x$，③分子是不为0的常数。接下来我们逐个分析选项，排除不符合特征的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆反比例函数的定义：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数，叫做$y$关于$x$的反比例函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=\dfrac{x}{3}=\dfrac{1}{3}x$，是正比例函数（属于一次函数），不符合反比例函数的形式，排除；
选项B：$y=\dfrac{3}{x+1}$，分母为$x+1$，不是单独的自变量$x$，因此不是$y$关于$x$的反比例函数，排除；
选项C：$y=\dfrac{3}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=3≠0$，是$y$关于$x$的反比例函数，符合要求；
选项D：$y=3x$，是正比例函数（属于一次函数），不符合反比例函数的形式，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.反比例函数的定义
2.正比例函数的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是熟练掌握反比例函数的标准形式，注意区分反比例函数与正比例函数的形式，同时要注意反比例函数的分母必须是自变量$x$本身，不能含有其他常数项。
【难度系数】
0.9
2. 如果反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(2,-6)$，那么这个函数的图象应在 （
A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第三、四象限
D.第二、四象限
D
）A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第三、四象限
D.第二、四象限
答案
2.D
解析
【分析】
要判断反比例函数图象所在的象限，核心是确定比例系数$k$的正负，反比例函数图象的分布由$k$的符号直接决定。已知函数图象过点$(2,-6)$，点在函数图象上则其坐标满足函数解析式，因此我们可以先将点的坐标代入解析式求出$k$的值，再根据$k$的正负对应反比例函数的象限性质即可得出答案。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(2,-6)$
∴ 将$x=2$，$y=-6$代入解析式，得：
$-6=\frac{k}{2}$
解得$k=2×(-6)=-12$
∵ $k=-12＜0$
根据反比例函数的性质：当$k＜0$时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限
∴ 该函数图象在第二、四象限，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，考查待定系数法求反比例函数系数以及反比例函数图象的性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断反比例函数图象所在的象限，核心是确定比例系数$k$的正负，反比例函数图象的分布由$k$的符号直接决定。已知函数图象过点$(2,-6)$，点在函数图象上则其坐标满足函数解析式，因此我们可以先将点的坐标代入解析式求出$k$的值，再根据$k$的正负对应反比例函数的象限性质即可得出答案。
【解析】
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象过点$(2,-6)$
∴ 将$x=2$，$y=-6$代入解析式，得：
$-6=\frac{k}{2}$
解得$k=2×(-6)=-12$
∵ $k=-12＜0$
根据反比例函数的性质：当$k＜0$时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限
∴ 该函数图象在第二、四象限，故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，考查待定系数法求反比例函数系数以及反比例函数图象的性质，熟练掌握相关基础知识点即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 函数$y=kx+1$与函数$y=-\frac{k}{x}(k≠0)$在同一平面直角坐标系中的图象大致是（
C
）答案
3.C
解析
【分析】
本题需结合一次函数和反比例函数的图象性质，通过分类讨论参数$k$的正负，逐一排除不符合的选项：首先先根据一次函数的常数项确定它与$y$轴的交点位置，排除错误选项；再分别讨论$k＞0$和$k＜0$时，两个函数图象的象限分布，和剩余选项对比即可得到正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=kx+1$的基础特征：
当$x=0$时，$y=1$，因此该一次函数与$y$轴交于$(0,1)$，交点在$y$轴正半轴，观察选项可知D的一次函数交$y$轴负半轴，首先排除D。
2. 分情况讨论$k$的取值：
① 当$k＞0$时：
一次函数$y=kx+1$斜率为正，且交$y$轴正半轴，因此图象经过第一、二、三象限；
此时反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的比例系数为$-k＜0$，图象应位于第二、四象限，选项A中反比例函数在第一、三象限，不符合要求，排除A。
② 当$k＜0$时：
一次函数$y=kx+1$斜率为负，且交$y$轴正半轴，因此图象经过第一、二、四象限；
此时反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的比例系数为$-k＞0$，图象应位于第一、三象限，选项B中反比例函数在第二、四象限，不符合要求，排除B；选项C的图象特征完全符合该情况。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；反比例函数的图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，解题核心是熟练掌握两类函数的图象和参数的对应关系，通过分类讨论、逐项排除即可快速得到结果，能有效考查对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题需结合一次函数和反比例函数的图象性质，通过分类讨论参数$k$的正负，逐一排除不符合的选项：首先先根据一次函数的常数项确定它与$y$轴的交点位置，排除错误选项；再分别讨论$k＞0$和$k＜0$时，两个函数图象的象限分布，和剩余选项对比即可得到正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数$y=kx+1$的基础特征：
当$x=0$时，$y=1$，因此该一次函数与$y$轴交于$(0,1)$，交点在$y$轴正半轴，观察选项可知D的一次函数交$y$轴负半轴，首先排除D。
2. 分情况讨论$k$的取值：
① 当$k＞0$时：
一次函数$y=kx+1$斜率为正，且交$y$轴正半轴，因此图象经过第一、二、三象限；
此时反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的比例系数为$-k＜0$，图象应位于第二、四象限，选项A中反比例函数在第一、三象限，不符合要求，排除A。
② 当$k＜0$时：
一次函数$y=kx+1$斜率为负，且交$y$轴正半轴，因此图象经过第一、二、四象限；
此时反比例函数$y=-\frac{k}{x}$的比例系数为$-k＞0$，图象应位于第一、三象限，选项B中反比例函数在第二、四象限，不符合要求，排除B；选项C的图象特征完全符合该情况。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象性质；反比例函数的图象性质；分类讨论思想
【点评】
本题是函数图象判断的常规题型，解题核心是熟练掌握两类函数的图象和参数的对应关系，通过分类讨论、逐项排除即可快速得到结果，能有效考查对函数图象性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
4. 如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数$y=\frac{3}{x}$图象经过点B，则△OAC 与△BAD 的面积之差$S_{△ OAC} - S_{△ BAD}$为（
A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
B
）A.1
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
答案
4.B
解析
【分析】
本题是反比例函数与等腰直角三角形结合的综合题，解题可按以下思路开展：1. 设参数表示两个等腰直角三角形的直角边长，分别写出两个三角形的面积，得到面积差的代数式；2. 用所设参数表示出点B的横、纵坐标；3. 利用反比例函数上的点横纵坐标乘积等于k的性质，建立参数之间的关系，整体代入面积差的代数式即可求出结果，无需计算参数的具体值。
【解析】
设等腰直角△OAC的直角边长为$a$，等腰直角△BAD的直角边长为$b$。
根据等腰直角三角形面积公式可得：
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}a^2$，$S_{△ BAD}=\frac{1}{2}b^2$，
因此面积差$S_{△ OAC}-S_{△ BAD}=\frac{1}{2}(a^2 - b^2)$。
由图可知：点A坐标为$(a,a)$，点B的横坐标为$a + b$，纵坐标为$a - b$，即$B(a + b,a - b)$。
∵点B在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，
∴将点B坐标代入解析式得：$(a + b)(a - b)=3$，
根据平方差公式化简得$a^2 - b^2=3$。
将$a^2 - b^2=3$代入面积差的表达式：
$S_{△ OAC}-S_{△ BAD}=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，平方差公式
【点评】
本题考查了代数与几何的综合应用，解题过程中运用了参数思想和整体代入思想，不需要求出参数的具体数值，通过反比例函数的性质建立参数关系即可求解，是反比例函数综合题的典型考法。
【难度系数】
0.6
本题是反比例函数与等腰直角三角形结合的综合题，解题可按以下思路开展：1. 设参数表示两个等腰直角三角形的直角边长，分别写出两个三角形的面积，得到面积差的代数式；2. 用所设参数表示出点B的横、纵坐标；3. 利用反比例函数上的点横纵坐标乘积等于k的性质，建立参数之间的关系，整体代入面积差的代数式即可求出结果，无需计算参数的具体值。
【解析】
设等腰直角△OAC的直角边长为$a$，等腰直角△BAD的直角边长为$b$。
根据等腰直角三角形面积公式可得：
$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}a^2$，$S_{△ BAD}=\frac{1}{2}b^2$，
因此面积差$S_{△ OAC}-S_{△ BAD}=\frac{1}{2}(a^2 - b^2)$。
由图可知：点A坐标为$(a,a)$，点B的横坐标为$a + b$，纵坐标为$a - b$，即$B(a + b,a - b)$。
∵点B在反比例函数$y=\frac{3}{x}$的图象上，
∴将点B坐标代入解析式得：$(a + b)(a - b)=3$，
根据平方差公式化简得$a^2 - b^2=3$。
将$a^2 - b^2=3$代入面积差的表达式：
$S_{△ OAC}-S_{△ BAD}=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，平方差公式
【点评】
本题考查了代数与几何的综合应用，解题过程中运用了参数思想和整体代入思想，不需要求出参数的具体数值，通过反比例函数的性质建立参数关系即可求解，是反比例函数综合题的典型考法。
【难度系数】
0.6
二、填空题（每题5分，共20分）
5. 当$m=$
5. 当$m=$
$-3$
时，$y=(m-3)x^{|m|-4}$是反比例函数，且它的图象经过二、四象限。答案
5.$-3$
解析
【分析】
要解决这道题，需结合反比例函数的定义和图像性质分步推导：首先回忆反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$），因此第一步要根据x的指数为-1、系数不为0列出关于m的方程和不等式，初步得到m的可能取值；再根据图像经过二、四象限的性质，得到系数小于0，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义和性质分步求解：
1. 由反比例函数自变量次数要求可得：$|m|-4=-1$，
解该方程得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$。
2. 由反比例函数系数不为0的要求可得：$m-3\ne0$，即$m\ne3$，因此排除$m=3$，剩余候选值$m=-3$。
3. 由函数图像经过二、四象限的性质可得：系数$m-3＜0$，
代入$m=-3$验证：$-3-3=-6＜0$，完全符合条件。
综上可得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图像与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题时需注意不要遗漏反比例函数系数不为0的隐含条件，同时要准确掌握图像所在象限和系数符号的对应关系，避免出现多解或错解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需结合反比例函数的定义和图像性质分步推导：首先回忆反比例函数的标准形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数，$k\ne0$），因此第一步要根据x的指数为-1、系数不为0列出关于m的方程和不等式，初步得到m的可能取值；再根据图像经过二、四象限的性质，得到系数小于0，筛选出符合条件的m值即可。
【解析】
根据反比例函数的定义和性质分步求解：
1. 由反比例函数自变量次数要求可得：$|m|-4=-1$，
解该方程得$|m|=3$，即$m=3$或$m=-3$。
2. 由反比例函数系数不为0的要求可得：$m-3\ne0$，即$m\ne3$，因此排除$m=3$，剩余候选值$m=-3$。
3. 由函数图像经过二、四象限的性质可得：系数$m-3＜0$，
代入$m=-3$验证：$-3-3=-6＜0$，完全符合条件。
综上可得$m=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
反比例函数的定义；反比例函数的图像与性质
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题型，解题时需注意不要遗漏反比例函数系数不为0的隐含条件，同时要准确掌握图像所在象限和系数符号的对应关系，避免出现多解或错解。
【难度系数】
0.7
6. 已知反比例函数 $ y = \frac{2k - 3}{x} $，当 $ x ＜ 0 $ 时，y 随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是
$k＞\dfrac{3}{2}$
。答案
6.$k＞\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
拿到本题首先要回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$），当$m＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题明确给出$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，说明函数的比例系数为正，据此列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{2k - 3}{x}$，
根据题意，当$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，结合反比例函数的性质可得：
$2k-3＞0$
解该不等式：
移项得$2k＞3$，
两边同时除以2得$k＞\frac{3}{2}$。
【答案】
$k＞\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对反比例函数增减性的应用，解题时要注意反比例函数的增减性是限定在同一象限内的变化规律，本题已给出$x＜0$的范围，直接对应性质列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先要回忆反比例函数的增减性规律：对于反比例函数$y=\frac{m}{x}$（$m$为常数且$m≠0$），当$m＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小；当$m＜0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而增大。本题明确给出$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，说明函数的比例系数为正，据此列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{2k - 3}{x}$，
根据题意，当$x＜0$时$y$随$x$的增大而减小，结合反比例函数的性质可得：
$2k-3＞0$
解该不等式：
移项得$2k＞3$，
两边同时除以2得$k＞\frac{3}{2}$。
【答案】
$k＞\dfrac{3}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础考查题，核心是对反比例函数增减性的应用，解题时要注意反比例函数的增减性是限定在同一象限内的变化规律，本题已给出$x＜0$的范围，直接对应性质列不等式求解即可。
【难度系数】
0.8
7. 反比例函数 $y=\frac{1500}{x}$ 可以表示许多实际问题中变量之间的关系，如九年级的学生为公益项目捐款1500元，平均每人捐款x元，该年级的学生数y（人）可以表示为 $y=\frac{1500}{x}$。请再举一例：
略
。答案
解：面积为1500 m²的矩形场地，矩形的一边长为x m，与其相邻的另一边长为y m，则y可以表示为$y=\frac{1500}{x}$。
（答案不唯一，符合实际意义且两个变量的乘积为1500即可）
（答案不唯一，符合实际意义且两个变量的乘积为1500即可）
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确反比例函数$y=\frac{1500}{x}$的本质特征：将表达式变形可得$xy=1500$，即两个变量x、y的乘积为固定值1500，同时x、y在实际问题中都应为正数，具备实际含义。所以解题时只需要结合生活场景，找到总量为1500的两个相关联的量，分别对应x和y，满足二者乘积为1500即可。
【解析】
首先对反比例函数表达式变形，可得$xy=1500$，说明我们所举实例需要满足：两个相关联的变量的乘积为定值1500，且两个变量均为正数、符合实际意义。
我们可以构造几何类实例：矩形的面积=长×宽，若矩形面积固定为1500$\mathrm{m^2}$，设一边长为$x\ \mathrm{m}$，相邻的另一边长为$y\ \mathrm{m}$，则根据面积公式可得$xy=1500$，整理即得$y=\frac{1500}{x}$，符合题目要求。也可构造其他场景，如总路程1500米的行程问题、总总价1500元的购物问题等，只要满足要求均可。
【答案】
面积为1500 $\mathrm{m^2}$的矩形场地，矩形的一边长为$x$ m，与其相邻的另一边长为$y$ m，则y可以表示为$y=\frac{1500}{x}$（答案不唯一，符合实际意义且两个变量的乘积为1500即可）
【知识点】
反比例函数的实际意义；反比例函数的定义
【点评】
本题是开放性试题，核心考查对反比例函数本质的理解，需要结合生活或学习中的常见场景构造实例，注意变量的取值要符合实际，不能出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确反比例函数$y=\frac{1500}{x}$的本质特征：将表达式变形可得$xy=1500$，即两个变量x、y的乘积为固定值1500，同时x、y在实际问题中都应为正数，具备实际含义。所以解题时只需要结合生活场景，找到总量为1500的两个相关联的量，分别对应x和y，满足二者乘积为1500即可。
【解析】
首先对反比例函数表达式变形，可得$xy=1500$，说明我们所举实例需要满足：两个相关联的变量的乘积为定值1500，且两个变量均为正数、符合实际意义。
我们可以构造几何类实例：矩形的面积=长×宽，若矩形面积固定为1500$\mathrm{m^2}$，设一边长为$x\ \mathrm{m}$，相邻的另一边长为$y\ \mathrm{m}$，则根据面积公式可得$xy=1500$，整理即得$y=\frac{1500}{x}$，符合题目要求。也可构造其他场景，如总路程1500米的行程问题、总总价1500元的购物问题等，只要满足要求均可。
【答案】
面积为1500 $\mathrm{m^2}$的矩形场地，矩形的一边长为$x$ m，与其相邻的另一边长为$y$ m，则y可以表示为$y=\frac{1500}{x}$（答案不唯一，符合实际意义且两个变量的乘积为1500即可）
【知识点】
反比例函数的实际意义；反比例函数的定义
【点评】
本题是开放性试题，核心考查对反比例函数本质的理解，需要结合生活或学习中的常见场景构造实例，注意变量的取值要符合实际，不能出现无意义的情况。
【难度系数】
0.8
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，C在y轴正半轴上，反比例函数$y=\frac{12}{x}$经过顶点B，若C为AO的中点，则菱形ABCD的面积为
$8$
。答案
8.8
解析
【分析】
解题时首先回忆菱形的核心性质：对角线互相垂直平分，结合A、C都在y轴上的特点，可知菱形的一条对角线AC为竖直方向，另一条对角线BD为水平方向。我们可以通过设参数表示出A、C的坐标，进而得到点B的纵坐标，代入反比例函数解析式求出点B的横坐标，再利用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算，计算过程中参数会自动抵消，即可得到最终面积。
【解析】
设点C的坐标为$(0,m)$（$m＞0$），
∵ C是AO的中点，点A在y轴正半轴上，
∴ 点A的坐标为$(0,2m)$，则对角线$AC=2m - m = m$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ 对角线AC、BD互相垂直平分，
∵ AC在y轴（竖直方向），
∴ BD为水平方向，AC的中点即为BD的中点，
AC的中点坐标为$(0,\frac{2m+m}{2})=(0,\frac{3m}{2})$，因此点B的纵坐标为$\frac{3m}{2}$。
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{12}{x}$上，将$y=\frac{3m}{2}$代入解析式得：
$\frac{3m}{2}=\frac{12}{x}$，解得$x=\frac{8}{m}$，即点B的横坐标为$\frac{8}{m}$。
由BD关于y轴对称，得对角线$BD=2×\frac{8}{m}=\frac{16}{m}$。
根据菱形面积公式：$S=\frac{1}{2}× AC× BD$，代入得：
$S=\frac{1}{2}× m× \frac{16}{m}=8$。
【答案】
8
【知识点】
菱形的性质；反比例函数的图象与性质；菱形面积计算
【点评】
本题结合了菱形性质与反比例函数的应用，解题关键是利用菱形对角线互相垂直平分的特征得到点B的纵坐标，设参后无需计算参数具体值，通过抵消即可求出面积，侧重对几何性质和函数性质结合应用的考查。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆菱形的核心性质：对角线互相垂直平分，结合A、C都在y轴上的特点，可知菱形的一条对角线AC为竖直方向，另一条对角线BD为水平方向。我们可以通过设参数表示出A、C的坐标，进而得到点B的纵坐标，代入反比例函数解析式求出点B的横坐标，再利用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算，计算过程中参数会自动抵消，即可得到最终面积。
【解析】
设点C的坐标为$(0,m)$（$m＞0$），
∵ C是AO的中点，点A在y轴正半轴上，
∴ 点A的坐标为$(0,2m)$，则对角线$AC=2m - m = m$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ 对角线AC、BD互相垂直平分，
∵ AC在y轴（竖直方向），
∴ BD为水平方向，AC的中点即为BD的中点，
AC的中点坐标为$(0,\frac{2m+m}{2})=(0,\frac{3m}{2})$，因此点B的纵坐标为$\frac{3m}{2}$。
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{12}{x}$上，将$y=\frac{3m}{2}$代入解析式得：
$\frac{3m}{2}=\frac{12}{x}$，解得$x=\frac{8}{m}$，即点B的横坐标为$\frac{8}{m}$。
由BD关于y轴对称，得对角线$BD=2×\frac{8}{m}=\frac{16}{m}$。
根据菱形面积公式：$S=\frac{1}{2}× AC× BD$，代入得：
$S=\frac{1}{2}× m× \frac{16}{m}=8$。
【答案】
8
【知识点】
菱形的性质；反比例函数的图象与性质；菱形面积计算
【点评】
本题结合了菱形性质与反比例函数的应用，解题关键是利用菱形对角线互相垂直平分的特征得到点B的纵坐标，设参后无需计算参数具体值，通过抵消即可求出面积，侧重对几何性质和函数性质结合应用的考查。
【难度系数】
0.6
