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三、解答题(每题15分,共60分)
9. 已知一次函数$y=kx+k$的图象与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象在第一象限交于点$P(4,n)$。求$k,n$的值。
9. 已知一次函数$y=kx+k$的图象与反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象在第一象限交于点$P(4,n)$。求$k,n$的值。
答案
9.$k=\dfrac{3}{5},n=3$
解析
【分析】
本题解题核心是利用函数图象交点的性质：交点的坐标同时满足所有相交函数的解析式。首先将点P的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出n的值，得到点P的完整坐标；再将点P的完整坐标代入一次函数解析式，解关于k的一元一次方程就能求出k的值。
【解析】
解：
∵点$P(4,n)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴把$x=4$，$y=n$代入$y=\frac{12}{x}$，得：
$n=\frac{12}{4}=3$，即点P的坐标为$(4,3)$。
又
∵点$P(4,3)$在一次函数$y=kx+k$的图象上，
∴把$x=4$，$y=3$代入$y=kx+k$，得：
$3=4k+k$，
合并同类项得$5k=3$，
解得$k=\frac{3}{5}$。
【答案】
$k=\dfrac{3}{5},n=3$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式，计算难度低，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题解题核心是利用函数图象交点的性质：交点的坐标同时满足所有相交函数的解析式。首先将点P的横坐标代入反比例函数解析式，即可求出n的值，得到点P的完整坐标；再将点P的完整坐标代入一次函数解析式，解关于k的一元一次方程就能求出k的值。
【解析】
解：
∵点$P(4,n)$在反比例函数$y=\frac{12}{x}$的图象上，
∴把$x=4$，$y=n$代入$y=\frac{12}{x}$，得：
$n=\frac{12}{4}=3$，即点P的坐标为$(4,3)$。
又
∵点$P(4,3)$在一次函数$y=kx+k$的图象上，
∴把$x=4$，$y=3$代入$y=kx+k$，得：
$3=4k+k$，
合并同类项得$5k=3$，
解得$k=\frac{3}{5}$。
【答案】
$k=\dfrac{3}{5},n=3$
【知识点】
反比例函数点的坐标特征；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式，计算难度低，掌握基础概念即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10. 如图，曲线是反比例函数$y=\frac{m-3}{x}$（$m$为常数）的图象的一支.
（1）这个反比例函数的图象的另一支在第几象限？常数$m$的取值范围是什么？
（2）若该函数的图象与正比例函数$y=3x$的图象在第三象限内的交点为$A$，过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$B$.当$△ ABO$的面积为6时，求点$A$的坐标及该图象相应的反比例函数的表达式.
（1）这个反比例函数的图象的另一支在第几象限？常数$m$的取值范围是什么？
（2）若该函数的图象与正比例函数$y=3x$的图象在第三象限内的交点为$A$，过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$B$.当$△ ABO$的面积为6时，求点$A$的坐标及该图象相应的反比例函数的表达式.
答案
10.（1）一，$m＞3$ （2）$A(-2,-6),y=\dfrac{12}{x}$
解析
【分析】
（1）根据反比例函数图象的对称性，已知一支在第三象限，可推出另一支所在象限；再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分布与$k$的符号关系，即可求出$m$的取值范围。
（2）先利用反比例函数中$k$的几何意义，即过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合$△ ABO$的面积求出$k$的值，得到反比例函数表达式；再联立正比例函数与反比例函数的解析式，结合交点在第三象限的条件，即可求出点$A$的坐标。
【解析】
（1）反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，已知该函数图象的一支在第三象限，因此另一支在第一象限。
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图象分布在第一、三象限，本题中$k=m-3$，因此$m-3＞0$，解得$m＞3$。
（2）设点$A$的坐标为$(x,y)$，由于点$A$在第三象限，因此$x＜0$，$y＜0$。
由题意得，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· |x|· |y|=6$，整理得$\frac{1}{2}|xy|=6$，即$|xy|=12$。
因为点$A$在反比例函数图象上，因此$xy=m-3＞0$，所以$xy=12$，即$m-3=12$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
联立$\begin{cases}y=\frac{12}{x}\\y=3x\end{cases}$，可得$3x=\frac{12}{x}$，解得$x^2=4$，即$x=\pm2$。
由于交点$A$在第三象限，$x＜0$，因此$x=-2$，代入$y=3x$得$y=-6$，故点$A$的坐标为$(-2,-6)$。
【答案】
（1）一，$m＞3$ （2）$A(-2,-6),y=\dfrac{12}{x}$
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.反比例函数$k$的几何意义 3.函数交点求解
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，既考查了反比例函数的图象分布规律，也涉及了$k$的几何意义的应用和联立方程求交点的计算，难度适中，熟练掌握反比例函数的核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
（1）根据反比例函数图象的对称性，已知一支在第三象限，可推出另一支所在象限；再结合反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分布与$k$的符号关系，即可求出$m$的取值范围。
（2）先利用反比例函数中$k$的几何意义，即过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$，结合$△ ABO$的面积求出$k$的值，得到反比例函数表达式；再联立正比例函数与反比例函数的解析式，结合交点在第三象限的条件，即可求出点$A$的坐标。
【解析】
（1）反比例函数的图象是关于原点对称的双曲线，已知该函数图象的一支在第三象限，因此另一支在第一象限。
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图象分布在第一、三象限，本题中$k=m-3$，因此$m-3＞0$，解得$m＞3$。
（2）设点$A$的坐标为$(x,y)$，由于点$A$在第三象限，因此$x＜0$，$y＜0$。
由题意得，$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}· |x|· |y|=6$，整理得$\frac{1}{2}|xy|=6$，即$|xy|=12$。
因为点$A$在反比例函数图象上，因此$xy=m-3＞0$，所以$xy=12$，即$m-3=12$，因此反比例函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
联立$\begin{cases}y=\frac{12}{x}\\y=3x\end{cases}$，可得$3x=\frac{12}{x}$，解得$x^2=4$，即$x=\pm2$。
由于交点$A$在第三象限，$x＜0$，因此$x=-2$，代入$y=3x$得$y=-6$，故点$A$的坐标为$(-2,-6)$。
【答案】
（1）一，$m＞3$ （2）$A(-2,-6),y=\dfrac{12}{x}$
【知识点】
1.反比例函数的性质 2.反比例函数$k$的几何意义 3.函数交点求解
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，既考查了反比例函数的图象分布规律，也涉及了$k$的几何意义的应用和联立方程求交点的计算，难度适中，熟练掌握反比例函数的核心性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11. 某新能源汽车销售门店推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，若余款在60个月内结清，则不计算利息.张先生在该门店购买了一辆20万元的新能源汽车，交了首付款后余款平均每月付款y万元，x个月结清.y与x满足某函数关系，其部分对应值如表，请回答下列问题.
(1) 确定y关于x的函数表达式，并求出首付款.
(2) 若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？
(3) 如果张先生打算每月付款0.25万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？
(1) 确定y关于x的函数表达式，并求出首付款.
(2) 若张先生用40个月结清，则平均每月应付多少万元？
(3) 如果张先生打算每月付款0.25万元，那么他能否在规定不计算利息的期限内结算？
答案
11.（1）$y=\dfrac{14}{x},6$ （2）0.35 （3）$56＜60$，能
解析
【分析】
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先观察表格中x与y的对应值，发现二者乘积为定值，因此判断y是x的反比例函数，可通过待定系数法求出函数解析式，解析式中的比例系数即为余款总额，用总车价减去余款可得首付款；第二问直接将x=40代入解析式即可求出每月应付金额；第三问将y=0.25代入解析式求出结清所需的月数，再和免息期限60个月比较大小，即可判断是否能免息结算。
【解析】
(1) 观察表格数据可知：$2×7=14$，$4×3.5=14$，$7×2=14$，$10×1.4=14$，即x与y的乘积为定值，因此y是x的反比例函数。
设y关于x的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将$x=2,y=7$代入得：
$k=xy=2×7=14$
故y关于x的函数表达式为$y=\dfrac{14}{x}$。
由函数意义可知，余款总额为14万元，已知汽车总价20万元，因此首付款为：
$20-14=6$（万元）
(2) 当$x=40$时，代入$y=\dfrac{14}{x}$得：
$y=\dfrac{14}{40}=0.35$（万元）
即平均每月应付0.35万元。
(3) 当$y=0.25$时，代入$y=\dfrac{14}{x}$得：
$0.25=\dfrac{14}{x}$，解得$x=\dfrac{14}{0.25}=56$
因为$56＜60$，因此他能在规定不计算利息的期限内结算。
【答案】
(1) $y=\dfrac{14}{x}$，首付款为6万元；(2) 0.35万元；(3) 能
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，函数值计算
【点评】
本题结合生活消费场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是通过表格数据确定函数类型，求出函数解析式后，结合题干要求代入对应数值计算、比较即可，贴近生活，注重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
本题考查反比例函数的实际应用，解题思路如下：首先观察表格中x与y的对应值，发现二者乘积为定值，因此判断y是x的反比例函数，可通过待定系数法求出函数解析式，解析式中的比例系数即为余款总额，用总车价减去余款可得首付款；第二问直接将x=40代入解析式即可求出每月应付金额；第三问将y=0.25代入解析式求出结清所需的月数，再和免息期限60个月比较大小，即可判断是否能免息结算。
【解析】
(1) 观察表格数据可知：$2×7=14$，$4×3.5=14$，$7×2=14$，$10×1.4=14$，即x与y的乘积为定值，因此y是x的反比例函数。
设y关于x的函数表达式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将$x=2,y=7$代入得：
$k=xy=2×7=14$
故y关于x的函数表达式为$y=\dfrac{14}{x}$。
由函数意义可知，余款总额为14万元，已知汽车总价20万元，因此首付款为：
$20-14=6$（万元）
(2) 当$x=40$时，代入$y=\dfrac{14}{x}$得：
$y=\dfrac{14}{40}=0.35$（万元）
即平均每月应付0.35万元。
(3) 当$y=0.25$时，代入$y=\dfrac{14}{x}$得：
$0.25=\dfrac{14}{x}$，解得$x=\dfrac{14}{0.25}=56$
因为$56＜60$，因此他能在规定不计算利息的期限内结算。
【答案】
(1) $y=\dfrac{14}{x}$，首付款为6万元；(2) 0.35万元；(3) 能
【知识点】
反比例函数的应用，待定系数法求解析式，函数值计算
【点评】
本题结合生活消费场景考查反比例函数的基础应用，解题核心是通过表格数据确定函数类型，求出函数解析式后，结合题干要求代入对应数值计算、比较即可，贴近生活，注重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.8
12. 反比例函数$y_1=\frac{6}{x}, y_2=\frac{n}{x}(n＜0)$的图象如图所示，$P$为$x$轴上不与原点重合的一动点.
（1）当$n=-8$时，过点$P$作$AB// y$轴，分别与$y_1,y_2$的图象交于$A,B$两点，求$S_{△ AOB}$.
（2）延长$BA$到点$D$，使得$DA=AB$，求在点$P$整个运动过程中，点$D$所形成的函数图象相应的表达式（用含有$n$的式子表示）.
（1）当$n=-8$时，过点$P$作$AB// y$轴，分别与$y_1,y_2$的图象交于$A,B$两点，求$S_{△ AOB}$.
（2）延长$BA$到点$D$，使得$DA=AB$，求在点$P$整个运动过程中，点$D$所形成的函数图象相应的表达式（用含有$n$的式子表示）.
答案
12.（1）7 （2）$y=\dfrac{12-n}{x}$
解析
【分析】
（1）求解△AOB的面积时，利用AB平行于y轴的特征，可知A、B两点横坐标相同，结合反比例函数k的几何意义，△AOP和△BOP的面积分别为$\frac{1}{2}|k_1|$和$\frac{1}{2}|k_2|$，两三角形面积之和即为△AOB的面积；也可直接设出点P的坐标，求出A、B坐标得到AB的长度，结合OP的长度用三角形面积公式计算。
（2）求点D的函数表达式时，可先设点P的横坐标为参数，分别写出A、B的坐标，根据DA=AB求出D点坐标与参数的关系，再消去参数即可得到D的函数解析式。
【解析】
（1）当$n=-8$时，$y_2=-\frac{8}{x}$。
设点$P$的坐标为$(a,0)$（$a≠0$），
∵$AB// y$轴，点A在$y_1=\frac{6}{x}$上，点B在$y_2=-\frac{8}{x}$上，
∴$A(a,\frac{6}{a})$，$B(a,-\frac{8}{a})$，
∴$AB=|\frac{6}{a}-(-\frac{8}{a})|=|\frac{14}{a}|$，
又
∵$OP=|a|$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB × OP=\frac{1}{2}× |\frac{14}{a}| × |a|=7$。
（2）设点$P$的坐标为$(t,0)$（$t≠0$），
则$A(t,\frac{6}{t})$，$B(t,\frac{n}{t})$，
∴$AB=\frac{6}{t}-\frac{n}{t}$，
∵$DA=AB$，
∴点D的纵坐标为$\frac{6}{t}+(\frac{6}{t}-\frac{n}{t})=\frac{12-n}{t}$，横坐标为$t$，
设$D(x,y)$，则$x=t$，$y=\frac{12-n}{t}$，
将$t=x$代入得$y=\frac{12-n}{x}$，即点D所形成的函数图象的表达式为$y=\frac{12-n}{x}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{7}$；（2）$\boldsymbol{y=\dfrac{12-n}{x}}$
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.坐标与图形性质
3.函数解析式求法
【点评】
本题将反比例函数性质与几何计算、动点问题结合，解题突破口是抓住平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，合理设参数可以快速建立坐标间的关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
（1）求解△AOB的面积时，利用AB平行于y轴的特征，可知A、B两点横坐标相同，结合反比例函数k的几何意义，△AOP和△BOP的面积分别为$\frac{1}{2}|k_1|$和$\frac{1}{2}|k_2|$，两三角形面积之和即为△AOB的面积；也可直接设出点P的坐标，求出A、B坐标得到AB的长度，结合OP的长度用三角形面积公式计算。
（2）求点D的函数表达式时，可先设点P的横坐标为参数，分别写出A、B的坐标，根据DA=AB求出D点坐标与参数的关系，再消去参数即可得到D的函数解析式。
【解析】
（1）当$n=-8$时，$y_2=-\frac{8}{x}$。
设点$P$的坐标为$(a,0)$（$a≠0$），
∵$AB// y$轴，点A在$y_1=\frac{6}{x}$上，点B在$y_2=-\frac{8}{x}$上，
∴$A(a,\frac{6}{a})$，$B(a,-\frac{8}{a})$，
∴$AB=|\frac{6}{a}-(-\frac{8}{a})|=|\frac{14}{a}|$，
又
∵$OP=|a|$，
∴$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB × OP=\frac{1}{2}× |\frac{14}{a}| × |a|=7$。
（2）设点$P$的坐标为$(t,0)$（$t≠0$），
则$A(t,\frac{6}{t})$，$B(t,\frac{n}{t})$，
∴$AB=\frac{6}{t}-\frac{n}{t}$，
∵$DA=AB$，
∴点D的纵坐标为$\frac{6}{t}+(\frac{6}{t}-\frac{n}{t})=\frac{12-n}{t}$，横坐标为$t$，
设$D(x,y)$，则$x=t$，$y=\frac{12-n}{t}$，
将$t=x$代入得$y=\frac{12-n}{x}$，即点D所形成的函数图象的表达式为$y=\frac{12-n}{x}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{7}$；（2）$\boldsymbol{y=\dfrac{12-n}{x}}$
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.坐标与图形性质
3.函数解析式求法
【点评】
本题将反比例函数性质与几何计算、动点问题结合，解题突破口是抓住平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，合理设参数可以快速建立坐标间的关系，简化计算过程。
【难度系数】
0.7
