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一、选择题(每题5分,共20分)
1. 已知$\odot O$的半径为5,点P在$\odot O$外,则OP的长可能是 （
A.3
B.4
C.5
D.6
1. 已知$\odot O$的半径为5,点P在$\odot O$外,则OP的长可能是 （
D
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查点与圆的位置关系的判定，解题时首先回忆点在不同位置时，点到圆心的距离和圆半径的大小关系，再结合题干给出的半径数值，确定OP的取值范围，最后对比选项选出符合要求的结果即可。
【解析】
点与圆的位置关系对应如下判定规则：
1. 点在圆内：点到圆心的距离$d＜$圆半径$r$；
2. 点在圆上：点到圆心的距离$d=$圆半径$r$；
3. 点在圆外：点到圆心的距离$d＞$圆半径$r$。
已知$\odot O$的半径$r=5$，点$P$在$\odot O$外，因此$OP＞5$。
逐一分析选项：A选项$3＜5$、B选项$4＜5$、C选项$5=5$均不符合要求，只有D选项$6＞5$满足条件。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础题，核心考查点与圆位置关系的判定，熟练掌握不同位置下点到圆心距离和半径的大小关系，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
本题考查点与圆的位置关系的判定，解题时首先回忆点在不同位置时，点到圆心的距离和圆半径的大小关系，再结合题干给出的半径数值，确定OP的取值范围，最后对比选项选出符合要求的结果即可。
【解析】
点与圆的位置关系对应如下判定规则：
1. 点在圆内：点到圆心的距离$d＜$圆半径$r$；
2. 点在圆上：点到圆心的距离$d=$圆半径$r$；
3. 点在圆外：点到圆心的距离$d＞$圆半径$r$。
已知$\odot O$的半径$r=5$，点$P$在$\odot O$外，因此$OP＞5$。
逐一分析选项：A选项$3＜5$、B选项$4＜5$、C选项$5=5$均不符合要求，只有D选项$6＞5$满足条件。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题是基础题，核心考查点与圆位置关系的判定，熟练掌握不同位置下点到圆心距离和半径的大小关系，就能快速准确解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，半径为5的$\odot O$中，圆心O到弦AB的距离OE为4，则弦AB的长是为 （
A.4
B.6
C.8
D.10
B
）A.4
B.6
C.8
D.10
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知圆心O到弦AB的距离OE与AB垂直，首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可得AB=2AE，只需求出AE的长度就能得到AB的长。接下来连接半径OA，可构造出直角三角形OAE，已知OA和OE的长度，借助勾股定理即可算出AE的长度，最终求出AB。
【解析】
连接OA，
∵OE⊥AB，且OE经过圆心O，
∴根据垂径定理可得：$AE=EB=\frac{1}{2}AB$，$△ OAE$为直角三角形。
已知$\odot O$的半径$OA=5$，$OE=4$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴$AB=2AE=2×3=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题核心是掌握“过圆心作弦的垂线构造直角三角形”的常用辅助线思路，结合垂径定理和勾股定理即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，已知圆心O到弦AB的距离OE与AB垂直，首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可得AB=2AE，只需求出AE的长度就能得到AB的长。接下来连接半径OA，可构造出直角三角形OAE，已知OA和OE的长度，借助勾股定理即可算出AE的长度，最终求出AB。
【解析】
连接OA，
∵OE⊥AB，且OE经过圆心O，
∴根据垂径定理可得：$AE=EB=\frac{1}{2}AB$，$△ OAE$为直角三角形。
已知$\odot O$的半径$OA=5$，$OE=4$，
在$Rt△ OAE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{OA^2-OE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
∴$AB=2AE=2×3=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，解题核心是掌握“过圆心作弦的垂线构造直角三角形”的常用辅助线思路，结合垂径定理和勾股定理即可快速求出结果。
【难度系数】
0.8
3. 有下列说法:① 任何三角形有且只有一个外接圆;② 任何圆有且只有一个内接三角形;③ 三角形的外心不一定在三角形内;④ 三角形的外心到三角形三边的距离相等;⑤ 经过三点确定一个圆.其中,真命题有 (
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
C
)A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
3.C
解析
【分析】
本题考查三角形外接圆、外心的性质以及确定圆的条件相关知识，解题时需逐个判断5个说法的正误，统计真命题的数量即可得到答案。首先回忆相关核心概念：三角形的外接圆是经过三角形三个顶点的圆，外心是三角形三边垂直平分线的交点，确定圆的前提是三个点不在同一直线上，接下来逐一验证每个说法即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法的正误：
① 三角形的三个顶点不共线，由"不在同一直线上的三点确定唯一的圆"，可知任何三角形有且只有一个外接圆，该说法正确；
② 圆上有无数个点，任意选取三个不共线的点都可构成该圆的一个内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，该说法错误；
③ 锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，因此三角形的外心不一定在三角形内，该说法正确；
④ 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它的性质是到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心，该说法错误；
⑤ 只有经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，共线的三点无法确定圆，该说法错误。
综上，真命题为①③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的外接圆与外心；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确区分外心和内心的性质、牢记确定圆的前提条件，避免混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.7
本题考查三角形外接圆、外心的性质以及确定圆的条件相关知识，解题时需逐个判断5个说法的正误，统计真命题的数量即可得到答案。首先回忆相关核心概念：三角形的外接圆是经过三角形三个顶点的圆，外心是三角形三边垂直平分线的交点，确定圆的前提是三个点不在同一直线上，接下来逐一验证每个说法即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法的正误：
① 三角形的三个顶点不共线，由"不在同一直线上的三点确定唯一的圆"，可知任何三角形有且只有一个外接圆，该说法正确；
② 圆上有无数个点，任意选取三个不共线的点都可构成该圆的一个内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，该说法错误；
③ 锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，因此三角形的外心不一定在三角形内，该说法正确；
④ 三角形的外心是三边垂直平分线的交点，它的性质是到三角形三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心，该说法错误；
⑤ 只有经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，共线的三点无法确定圆，该说法错误。
综上，真命题为①③，共2个。
【答案】
C
【知识点】
三角形的外接圆与外心；确定圆的条件
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是准确区分外心和内心的性质、牢记确定圆的前提条件，避免混淆概念导致判断错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角，若∠DAE=56°，则∠BOD的度数是（
A.$124°$
B.$112°$
C.$114°$
D.$126°$
B
）A.$124°$
B.$112°$
C.$114°$
D.$126°$
答案
4.B
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步，观察到∠DAE是圆内接四边形ABCD的外角，根据圆内接四边形的性质“外角等于它的内对角”，可以先求出∠C的度数；第二步，∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠C是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入∠C的度数即可求出∠BOD的大小。
【解析】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAE是它的一个外角
∴∠DAE=∠C（圆内接四边形的外角等于其内对角）
∵∠DAE=56°
∴∠C=56°
又
∵∠C是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角
∴∠BOD=2∠C=2×56°=112°
故选：B
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握圆内接四边形的外角性质和圆周角与圆心角的数量关系，找准对应角即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题思路分两步：第一步，观察到∠DAE是圆内接四边形ABCD的外角，根据圆内接四边形的性质“外角等于它的内对角”，可以先求出∠C的度数；第二步，∠BOD是弧BD对应的圆心角，∠C是弧BD对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入∠C的度数即可求出∠BOD的大小。
【解析】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAE是它的一个外角
∴∠DAE=∠C（圆内接四边形的外角等于其内对角）
∵∠DAE=56°
∴∠C=56°
又
∵∠C是弧BD所对的圆周角，∠BOD是弧BD所对的圆心角
∴∠BOD=2∠C=2×56°=112°
故选：B
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质、圆周角定理
【点评】
本题是圆相关性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握圆内接四边形的外角性质和圆周角与圆心角的数量关系，找准对应角即可快速求解。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每题5分,共20分)
5. 如图,已知$\odot I$是$△ ABC$的内切圆,点$I$是内心,若$∠ A=28°$,则$∠ BIC=$
(第5题)
(第6题)
(第7题)
(第8题)
5. 如图,已知$\odot I$是$△ ABC$的内切圆,点$I$是内心,若$∠ A=28°$,则$∠ BIC=$
104
°. (第5题) (第6题) (第7题) (第8题)答案
5. 104
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三条角平分线的交点，由此可得IB、IC分别平分∠ABC、∠ACB。再结合三角形内角和为180°，先求出∠ABC与∠ACB的和，再求出它们一半的和，最后在△BIC中用内角和定理即可求出∠BIC的度数。
【解析】
∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-28°=152°$
∴$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×152°=76°$
在△IBC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-76°=104°$
【答案】
104
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握三角形内心的定义与性质，结合三角形内角和定理进行角度的转化计算即可。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三条角平分线的交点，由此可得IB、IC分别平分∠ABC、∠ACB。再结合三角形内角和为180°，先求出∠ABC与∠ACB的和，再求出它们一半的和，最后在△BIC中用内角和定理即可求出∠BIC的度数。
【解析】
∵⊙I是△ABC的内切圆，点I是△ABC的内心
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB
∴$∠ IBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ ICB=\frac{1}{2}∠ ACB$
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-28°=152°$
∴$∠ IBC+∠ ICB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×152°=76°$
在△IBC中，由三角形内角和定理得：
$∠ BIC=180°-(∠ IBC+∠ ICB)=180°-76°=104°$
【答案】
104
【知识点】
三角形内心的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握三角形内心的定义与性质，结合三角形内角和定理进行角度的转化计算即可。
【难度系数】
0.8
6. 如图,过圆外一点A作$\odot O$的切线AB,AC,切点分别是B,C,连接BC.过BC上一点D作$\odot O$的切线,分别交AB,AC于点E,F.若$∠ A=90°$,$△ AEF$的周长为4,则BC的长为
$2\sqrt{2}$
.答案
6. $2\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：①首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，由此可将△AEF的周长转化为AB与AC的长度和；②结合AB、AC是过A的两条切线，可得AB=AC，再结合△AEF周长为4，即可求出AB、AC的长度；③已知∠A=90°，△ABC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AB、AC是⊙O的切线，切点分别为B、C
∴根据切线长定理，得$AB=AC$
又
∵EF是⊙O的切线，切点为D
∴$EB=ED$，$FC=FD$
∵△AEF的周长为4
∴$AE + EF + AF = 4$
将EF拆分为$ED+DF$，代入得：
$AE + ED + DF + AF = 4$
将ED替换为EB，DF替换为FC，得：
$AE + EB + FC + AF = (AE+EB) + (AF+FC) = AB + AC = 4$
∵$AB=AC$
∴$AB=AC=2$
又
∵$∠ A=90°$
∴在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
切线长定理；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题的核心是利用切线长定理进行线段的等量代换，将未知的三角形周长转化为已知切线的长度和，再结合直角三角形的性质计算边长，是圆与三角形结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：①首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，由此可将△AEF的周长转化为AB与AC的长度和；②结合AB、AC是过A的两条切线，可得AB=AC，再结合△AEF周长为4，即可求出AB、AC的长度；③已知∠A=90°，△ABC是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵AB、AC是⊙O的切线，切点分别为B、C
∴根据切线长定理，得$AB=AC$
又
∵EF是⊙O的切线，切点为D
∴$EB=ED$，$FC=FD$
∵△AEF的周长为4
∴$AE + EF + AF = 4$
将EF拆分为$ED+DF$，代入得：
$AE + ED + DF + AF = 4$
将ED替换为EB，DF替换为FC，得：
$AE + EB + FC + AF = (AE+EB) + (AF+FC) = AB + AC = 4$
∵$AB=AC$
∴$AB=AC=2$
又
∵$∠ A=90°$
∴在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
切线长定理；等腰直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题的核心是利用切线长定理进行线段的等量代换，将未知的三角形周长转化为已知切线的长度和，再结合直角三角形的性质计算边长，是圆与三角形结合的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在正方形ABCD中,AB=1,BA为半径作圆弧,交CB的延长线于点E,阴影部分面积为
$\frac{π}{4}$
.答案
7. $\frac{π}{4}$
解析
【分析】
解题时首先观察图形构成，明确阴影部分为扇形：第一步根据正方形的性质得到∠ABC=90°，进而推出邻补角∠ABE=90°，即扇形的圆心角为90°；第二步确定扇形的半径等于正方形边长AB=1；第三步代入扇形面积公式计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=1
∴∠ABC=90°，AB=1
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°
由题意可知，阴影部分是圆心为B，半径r=AB=1，圆心角为90°的扇形
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=90°，r=1得：
$S_{阴影}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$
【答案】
$\frac{π}{4}$
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是准确判断阴影部分对应的扇形的圆心角度数和半径，熟练掌握扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形构成，明确阴影部分为扇形：第一步根据正方形的性质得到∠ABC=90°，进而推出邻补角∠ABE=90°，即扇形的圆心角为90°；第二步确定扇形的半径等于正方形边长AB=1；第三步代入扇形面积公式计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AB=1
∴∠ABC=90°，AB=1
∴∠ABE=180°-∠ABC=90°
由题意可知，阴影部分是圆心为B，半径r=AB=1，圆心角为90°的扇形
根据扇形面积公式$S=\frac{nπ r^2}{360}$（其中n为圆心角度数，r为半径），代入n=90°，r=1得：
$S_{阴影}=\frac{90π×1^2}{360}=\frac{π}{4}$
【答案】
$\frac{π}{4}$
【知识点】
正方形的性质，扇形面积计算，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题核心是准确判断阴影部分对应的扇形的圆心角度数和半径，熟练掌握扇形面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为1 cm²，则该半圆的直径为
$2\sqrt{5}$
cm.答案
8. $2\sqrt{5}$(提示:如图
,设大正方形边长为2x,在Rt△ABC中,根据勾股定理可得大圆半径AC=$\sqrt{5}x$,连接AD,则AD=AC=$\sqrt{5}x$,在Rt△AFD中,利用勾股定理可得方程$(\sqrt{5}x)^2=(x+1)^2+1^2$,求得x即可得解)解析
【分析】
解题时首先利用小正方形的面积求出其边长为1cm；结合圆的性质可知半圆的所有半径长度相等，这是建立等量关系的关键；再根据图形的对称性，设大正方形的边长为2x，分别在Rt△AEC和Rt△AFD中用勾股定理表示出半径AC、AD的平方，令二者相等列方程求解得到x的值，进而求出半径，最终得到半圆的直径。
【解析】
∵小正方形的面积为1 cm²，
∴小正方形的边长为1 cm。
设大正方形的边长为2x cm，由图形对称性可得，圆心A到大正方形底边右顶点E的距离为x cm。
连接AC、AD，二者均为半圆的半径，故AC=AD。
在Rt△AEC中，AE=x cm，EC=2x cm，根据勾股定理：
$AC^2=AE^2+EC^2=x^2+(2x)^2=5x^2$
在Rt△AFD中，AF=AE+EF=(x+1) cm，FD=1 cm，根据勾股定理：
$AD^2=AF^2+FD^2=(x+1)^2+1^2$
∵AC=AD，
∴$AC^2=AD^2$，即：
$5x^2=(x+1)^2+1$
展开整理得：$2x^2-x-1=0$
因式分解得：$(2x+1)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$（边长为正数，舍去）
∴半圆的半径$AC=\sqrt{5}x=\sqrt{5}×1=\sqrt{5}$ cm
∴半圆的直径为$2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ cm
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题型，解题核心是利用圆半径相等的性质搭建等量关系，结合勾股定理列方程求解，能够很好地考查数形结合思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用小正方形的面积求出其边长为1cm；结合圆的性质可知半圆的所有半径长度相等，这是建立等量关系的关键；再根据图形的对称性，设大正方形的边长为2x，分别在Rt△AEC和Rt△AFD中用勾股定理表示出半径AC、AD的平方，令二者相等列方程求解得到x的值，进而求出半径，最终得到半圆的直径。
【解析】
∵小正方形的面积为1 cm²，
∴小正方形的边长为1 cm。
设大正方形的边长为2x cm，由图形对称性可得，圆心A到大正方形底边右顶点E的距离为x cm。
连接AC、AD，二者均为半圆的半径，故AC=AD。
在Rt△AEC中，AE=x cm，EC=2x cm，根据勾股定理：
$AC^2=AE^2+EC^2=x^2+(2x)^2=5x^2$
在Rt△AFD中，AF=AE+EF=(x+1) cm，FD=1 cm，根据勾股定理：
$AD^2=AF^2+FD^2=(x+1)^2+1^2$
∵AC=AD，
∴$AC^2=AD^2$，即：
$5x^2=(x+1)^2+1$
展开整理得：$2x^2-x-1=0$
因式分解得：$(2x+1)(x-1)=0$
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{1}{2}$（边长为正数，舍去）
∴半圆的半径$AC=\sqrt{5}x=\sqrt{5}×1=\sqrt{5}$ cm
∴半圆的直径为$2×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$ cm
【答案】
$2\sqrt{5}$
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；圆的基本性质
【点评】
本题是几何与方程结合的典型题型，解题核心是利用圆半径相等的性质搭建等量关系，结合勾股定理列方程求解，能够很好地考查数形结合思想和方程思想的应用能力。
【难度系数】
0.6
