10. 直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在一直播平台上对一款成本价为50元/件的小商品进行直播销售,如果按60元/件销售,那么可卖出800件.通过市场调查发现,售价每增加5元,销售量减少100件.另外除小商品成本外所需支付的各种费用是2 000元,为了尽快减少库存,并且商店可赢利10 000元.该商店销售这种商品每件售价多少元?

10. 设该商店销售这种商品每件售价$x$元,根据题意,得$(x-50)[800-\frac{100}{5}(x-60)]-2000=10000$.解得$x=70$或$x=80$.$\because$要尽快减少库存,$\therefore x=70$.答:该商店销售这种商品每件售价70元

【分析】
这是一道销售利润类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 明确核心等量关系：总盈利=（单件售价-单件成本）×销售数量 - 其他固定费用；2. 设每件售价为x元，先表示单件利润为$x-50$；3. 再表示销售数量：原销量为800件，售价每涨5元销量减少100件，售价从60元涨到x元的涨幅为$(x-60)$元，减少的销量为$\frac{100}{5}(x-60)$，因此实际销量为$800-\frac{100}{5}(x-60)$；4. 代入等量关系列方程求解；5. 结合“尽快减少库存”的要求，售价越低销量越大、库存减少越快，因此选择数值更小的根作为最终售价。
【解析】
解：设该商店销售这种商品每件售价$x$元。
根据总盈利为10000元的要求列方程：
$(x-50)[800-\frac{100}{5}(x-60)]-2000=10000$
化简得：
$(x-50)(2000-20x)=12000$
整理为标准一元二次方程：
$x^2-150x+5600=0$
因式分解得：
$(x-70)(x-80)=0$
解得$x_1=70$，$x_2=80$
$\because$要尽快减少库存，售价越低销售量越大，库存消耗速度越快
$\therefore$舍去$x=80$，取$x=70$
答：该商店销售这种商品每件售价70元。
【答案】
70元
【知识点】
一元二次方程应用，销售利润计算，实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的销售类应用题，解题关键是找准利润、售价、销量之间的等量关系正确列方程，要特别注意题目中“尽快减少库存”这类实际限制条件，需结合现实意义对求出的根进行筛选，避免漏看条件出现多解错误。
【难度系数】
0.7

11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+3)x+3k=0$.
（1）求证:方程总有两个实数根.
（2）以这个方程的两个实数根作为$△ ABC$中$AB$,$AC$的边长,当$BC=1$时,$△ ABC$是等腰三角形,求此时$k$的值和$△ ABC$的周长.

11. (1) $\Delta=(k+3)^2-4×3k=k^2-6k+9=(k-3)^2$,$\because (k-3)^2≥0$,即$\Delta≥0$,$\therefore$方程有两个实数根
(2) 解$x^2-(k+3)x+3k=0$,得$x=\frac{(k+3)\pm\sqrt{(k-3)^2}}{2}=\frac{(k+3)\pm(k-3)}{2}$.
$\therefore x_1=k,x_2=3$.在$△ ABC$中,$AB,AC$的边长分别为方程的两个实数根,且$BC=1$,$△ ABC$是等腰三角形,
$\therefore$有两种可能的情况:① 当$BC$为底时,$AB=AC=3$,即$k=3$.此时三条边分别为3,3,1,能构成三角形.
② 当$BC$为腰时,$AB=BC=1$或$AC=BC=1$,即$k=1$.此时三条边分别为1,1,3,不能构成三角形,舍去.
综上所述,$k=3$,$△ ABC$的周长为$3+3+1=7$

【分析】
（1）要证明一元二次方程总有两个实数根，核心思路是验证根的判别式$\Delta ≥ 0$，先根据方程系数写出判别式表达式，化简后判断其符号即可。（2）首先求解方程得到两个实根，再结合等腰三角形的性质分类讨论：一是BC为底边时，方程的两个根为等腰三角形的两条腰；二是BC为腰时，方程的其中一个根等于BC的长度。每种情况求出k后，必须用三角形三边关系验证是否能构成三角形，舍去不符合要求的情况，最后计算符合条件的三角形周长。
【解析】
（1）证明：对于一元二次方程$x^2-(k+3)x+3k=0$，
根的判别式$\Delta = [-(k+3)]^2 - 4×1×3k = k^2 + 6k + 9 - 12k = k^2 -6k +9 = (k-3)^2$，
∵ 无论$k$取任意实数，$(k-3)^2 ≥ 0$，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 方程总有两个实数根。
（2）解：解方程$x^2-(k+3)x+3k=0$，
由求根公式得$x = \frac{(k+3)\pm\sqrt{(k-3)^2}}{2} = \frac{(k+3)\pm(k-3)}{2}$，
解得$x_1 = k$，$x_2 = 3$。
已知$AB$、$AC$为方程的两个根，$BC=1$，$△ ABC$为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 当$BC$为底边时，$AB=AC$，即方程两根相等，
∴$k=3$，
此时三角形三边长为3、3、1，满足$3+3＞1$、$3+1＞3$，可构成三角形，
周长为$3+3+1=7$；
② 当$BC$为腰时，方程其中一个根等于1，即$k=1$，
此时三角形三边长为1、1、3，
∵$1+1=2＜3$，不满足三角形三边关系，该情况舍去。
综上，$k$的值为3，$△ ABC$的周长为7。
【答案】
（1）方程总有两个实数根，证明成立；（2）$k=3$，$△ ABC$的周长为7
【知识点】
一元二次方程根的判别式；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题属于代数与几何的综合基础题，考查分类讨论思想的应用，易错点是求出边长后忽略验证三角形三边关系，导致出现多余的错误解。
【难度系数】
0.65

12. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y=\frac{4}{3}x+b(b＞0)$的图象与$x$轴,$y$轴分别交于点$A$,$B$.点$C$位于点$A$右侧的$x$轴上,且$AC=3$,点$D$在$y$轴正半轴上,且$OD=OC$,直线$AE$交$BC$于点$F$.
(1) 点$A$的横坐标为,当点$C$在原点左侧时,$BD=$(均用含$b$的代数式表示);
(2) 当$△ ABD$为等腰三角形时,求$b$的值.

12. (1) $-\frac{3}{4}b,\frac{1}{4}b+3$
(2) 由(1)知$A(-\frac{3}{4}b,0)$,$B(0,b)$.当点$C$在原点左侧时,$\because AC=3$,且$OD=OC$,$\therefore OD=\frac{3}{4}b-3$,即$D(0,\frac{3}{4}b-3)$.① 当$AB=AD$时,点$A$就在$BE$垂直平分线上,显然不成立.② 当$BA=BD$时,则点$E$需在点$B$的上方,$\therefore 3-\frac{3}{4}b＞b$,得$b＜\frac{12}{7}$.在$\mathrm{Rt}△ ABO$中,$AB^2=(\frac{3}{4}b)^2+b^2$,且$BD^2=[(3-\frac{3}{4}b)-b]^2$.$\therefore (\frac{3}{4}b)^2+b^2=[(3-\frac{3}{4}b)-b]^2$.解得$b_1=1$,$b_2=6$(舍去).③ 当$DA=DB$时,即$DA^2=DB^2$.在$\mathrm{Rt}△ AOD$中,$DA^2=(\frac{3}{4}b)^2+(3-\frac{3}{4}b)^2=\frac{9}{8}b^2-\frac{9}{2}b+9$.$DB^2=[b-(3-\frac{3}{4}b)]^2=\frac{49}{16}b^2-\frac{21}{2}b+9$.$\therefore \frac{9}{8}b^2-\frac{9}{2}b+9=\frac{49}{16}b^2-\frac{21}{2}b+9$.解得$b_1=0$(舍去),$b_2=\frac{96}{31}$.综上所述$b$的值为:$1,\frac{96}{17}$或$\frac{96}{31}$

【分析】
(1) 求点A的横坐标，只需令一次函数解析式中y=0，解出x即可；求BD的长度，先根据AC=3求出点C的横坐标，结合C在原点左侧得到OC的长度，再由OD=OC得到OD的长度，最后用OB的长度减去OD的长度即可得到BD。
(2) △ABD为等腰三角形时，需分三种情况讨论：AB=AD、BA=BD、DA=DB，结合各点坐标利用勾股定理表示出三边长度的平方，列方程求解，最后舍去不符合b＞0以及点D在y轴正半轴的解即可。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=\frac{4}{3}x+b$，令$y=0$，则$0=\frac{4}{3}x+b$，解得$x=-\frac{3}{4}b$，即点A的横坐标为$-\frac{3}{4}b$。
点C在A右侧，$AC=3$，因此点C的横坐标为$-\frac{3}{4}b+3$。当C在原点左侧时，$OC=\left|-\frac{3}{4}b+3\right|=\frac{3}{4}b-3$（因为$-\frac{3}{4}b+3＜0$）。由$OD=OC$得$OD=\frac{3}{4}b-3$，点B坐标为$(0,b)$，故$BD=OB-OD=b-(\frac{3}{4}b-3)=\frac{1}{4}b+3$。
(2) 由(1)得$A(-\frac{3}{4}b,0)$，$B(0,b)$，$C(-\frac{3}{4}b+3,0)$，$OD=OC=\left|-\frac{3}{4}b+3\right|$，D在y轴正半轴，故$D(0,\left|-\frac{3}{4}b+3\right|)$，分三种情况讨论：
① 当$AB=AD$时：BD在y轴上，若AB=AD，则点A在BD的垂直平分线上，即A的纵坐标为B、D纵坐标和的一半，A纵坐标为0，而$b＞0$，D纵坐标为正，二者和不可能为0，故该情况不存在。
② 当$BA=BD$时：在$Rt△ ABO$中，$BA^2=OA^2+OB^2=(\frac{3}{4}b)^2+b^2=\frac{25}{16}b^2$，故$BA=\frac{5}{4}b$。
当C在原点右侧时，$OD=3-\frac{3}{4}b$，$BD=\left|\frac{7}{4}b-3\right|$，列方程$\frac{5}{4}b=3-\frac{7}{4}b$，解得$b=1$；若列方程$\frac{5}{4}b=\frac{7}{4}b-3$，解得$b=6$，不符合C在原点右侧的前提，舍去。
当C在原点左侧时，$BD=\frac{1}{4}b+3$，列方程$\frac{5}{4}b=\frac{1}{4}b+3$，解得$b=3$，不符合前提，舍去。
③ 当$DA=DB$时：
若C在原点右侧，$DA^2=(\frac{3}{4}b)^2+(3-\frac{3}{4}b)^2=\frac{9}{8}b^2-\frac{9}{2}b+9$，$DB^2=(\frac{7}{4}b-3)^2=\frac{49}{16}b^2-\frac{21}{2}b+9$，列方程解得$b=\frac{96}{31}$（$b=0$舍去），符合条件。
若C在原点左侧，$DA^2=(\frac{3}{4}b)^2+(\frac{3}{4}b-3)^2=\frac{9}{8}b^2-\frac{9}{2}b+9$，$DB^2=(\frac{1}{4}b+3)^2=\frac{1}{16}b^2+\frac{3}{2}b+9$，列方程解得$b=\frac{96}{17}$（$b=0$舍去），符合条件。
【答案】
(1) $-\frac{3}{4}b$，$\frac{1}{4}b+3$
(2) $b$的值为$1$、$\frac{96}{17}$或$\frac{96}{31}$
【知识点】
一次函数图象性质；等腰三角形分类讨论；勾股定理
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，解题关键是结合坐标表示线段长度，对等腰三角形的腰的情况进行分类讨论，求解后注意检验解是否符合题目的限制条件，避免出现多解或漏解的问题。
【难度系数】
0.4